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Note per Studenti Esercizio 58 · asintoti obliqui con radici, arcotangente e logaritmo

Esercizio 58asintoti obliqui con radici, arcotangente e logaritmo

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Testo. Determinare, se esiste, l'asintoto obliquo a +∞+\infty di

f1(x)=x2−1+3arctan⁡x,f2(x)=x2−1+log⁡xf_1(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 3\arctan x, \qquad f_2(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \log x

Teoria: Asintoti di una funzionex = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →, paragrafo "Asintoti obliqui".

Il metodo

y=mx+qy = mx + q è asintoto obliquo a +∞+\infty se e solo se:

  1. lim⁡x→+∞f(x)=±∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty;
  2. lim⁡x→+∞f(x)x=m∈R\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb{R}, m≠0m \ne 0;
  3. lim⁡x→+∞[f(x)−mx]=q∈R\lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx] = q \in \mathbb{R}.

Si controllano nell'ordine; se uno fallisce, l'asintoto obliquo non c'è.

1. f1(x)=x2−1+3arctan⁡xf_1(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 3\arctan x

Punto 1. x2−1→+∞\sqrt{x^2 - 1} \to +\infty e 3arctan⁡x→3⋅π23\arctan x \to 3 \cdot \frac{\pi}{2} (asintoto orizzontale dell'arcotangente), quindi f1(x)→+∞+32π=+∞f_1(x) \to +\infty + \frac32\pi = +\infty ✓.

Punto 2. x2−1∼x2=x\sqrt{x^2 - 1} \sim \sqrt{x^2} = x (per x>0x > 0, x2=∣x∣=x\sqrt{x^2} = |x| = x), e 3arctan⁡x3\arctan x è limitato, quindi o(x)o(x):

lim⁡x→+∞x2−1+3arctan⁡xx=lim⁡x→+∞x+o(x)x=1=m≠0 ✓\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 1} + 3\arctan x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + o(x)}{x} = 1 = m \ne 0 \ ✓

Punto 3.

lim⁡x→+∞[f1(x)−x]=lim⁡x→+∞[(x2−1−x)+3arctan⁡x]\lim_{x \to +\infty} \left[f_1(x) - x\right] = \lim_{x \to +\infty} \left[\left(\sqrt{x^2 - 1} - x\right) + 3\arctan x\right]

Il primo pezzo è una differenza di termini asintotici (x2−1∼x\sqrt{x^2 - 1} \sim x): forma +∞−∞+\infty - \infty che si scioglie con la razionalizzazione (moltiplicare e dividere per la somma):

x2−1−x=(x2−1)−x2x2−1+x=−1x2−1+x→−1+∞=0\sqrt{x^2 - 1} - x = \frac{(x^2 - 1) - x^2}{\sqrt{x^2 - 1} + x} = \frac{-1}{\sqrt{x^2 - 1} + x} \to \frac{-1}{+\infty} = 0

Quindi

q=0+3⋅π2=32π ✓q = 0 + 3 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac32\pi \ ✓

Conclusione: f1f_1 ha asintoto obliquo a +∞+\infty

y=x+32πy = x + \frac32\pi

Grafico interattivo: f₁ si appoggia alla retta y = x + 3π/2 (la distanza tende a 0), f₂ cresce con pendenza 1 ma si allontana da ogni retta y = x + q perché f₂ − x ≈ log x

Verifica numerica. f1(x)−xf_1(x) - x vale ≈4,363\approx 4{,}363 per x=10x = 10, ≈4,7089\approx 4{,}7089 per x=1000x = 1000, ≈4,712385\approx 4{,}712385 per x=106x = 10^6; 32π≈4,712389\frac32\pi \approx 4{,}712389 ✓.

2. f2(x)=x2−1+log⁡xf_2(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \log x

Punto 1. +∞+∞=+∞+\infty + \infty = +\infty ✓.

Punto 2. log⁡x=o(x)\log x = o(x) per la gerarchia, quindi

lim⁡x→+∞x2−1+log⁡xx=lim⁡x→+∞x+o(x)x=1=m≠0 ✓\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 1} + \log x}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + o(x)}{x} = 1 = m \ne 0 \ ✓

Punto 3.

lim⁡x→+∞[f2(x)−x]=lim⁡x→+∞[(x2−1−x)⏟→0+log⁡x⏟→+∞]=+∞\lim_{x \to +\infty} \left[f_2(x) - x\right] = \lim_{x \to +\infty} \left[\underbrace{\left(\sqrt{x^2 - 1} - x\right)}_{\to 0} + \underbrace{\log x}_{\to +\infty}\right] = +\infty

Il limite non è un numero reale: il punto 3 fallisce ✗.

Conclusione: f2f_2 non ha asintoto obliquo a +∞+\infty. Però f2(x)x→1\frac{f_2(x)}{x} \to 1: f2f_2 ha crescita lineare a +∞+\infty. Esistono quindi funzioni a crescita lineare senza asintoto obliquo: il grafico cresce "con pendenza 11", ma si allontana da ogni retta y=x+qy = x + q (la distanza log⁡x−(qualcosa→0)\log x - (\text{qualcosa} \to 0) va all'infinito, lentamente).

Verifica numerica. f2(x)−x≈2,25f_2(x) - x \approx 2{,}25 per x=10x = 10, ≈6,91\approx 6{,}91 per x=1000x = 1000, ≈13,8\approx 13{,}8 per x=106x = 10^6: cresce come log⁡x\log x ✓.

Errori comuni

  • Fermarsi al punto 2: m≠0m \ne 0 non basta, bisogna calcolare anche qq e verificare che sia finito.
  • Sbagliare il limite di x2−1−x\sqrt{x^2 - 1} - x sostituendo con gli asintotici (x−x=0x - x = 0 è il risultato giusto per caso, ma il ragionamento non è lecito: o(x)−o(x)o(x) - o(x) non è 00); si razionalizza.
  • Dimenticare il contributo dell'arcotangente a qq: 3arctan⁡x→32π3\arctan x \to \frac32\pi, non 00.

Versione ripasso

Testo. Determinare, se esiste, l'asintoto obliquo a +∞+\infty di f1(x)=x2−1+3arctan⁡xf_1(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 3\arctan x e f2(x)=x2−1+log⁡xf_2(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \log x.

Metodo: Asintoti obliquix = x0 è asintoto verticale se il limite destro o sinistro in x0 è infinito; y = ℓ è orizzontale se f → ℓ per x → ±∞; y = mx + q è obliquo se f(x)/x → m ≠ 0 e f(x) − mx → q.Asintoti di una funzione →.

  1. lim⁡x→+∞f(x)=±∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = \pm\infty
  2. lim⁡x→+∞f(x)x=m∈R∖{0}\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m \in \mathbb{R} \setminus \{0\}
  3. lim⁡x→+∞[f(x)−mx]=q∈R\lim_{x \to +\infty} [f(x) - mx] = q \in \mathbb{R}

1. f1(x)=x2−1+3arctan⁡xf_1(x) = \sqrt{x^2 - 1} + 3\arctan x

  1. Limite: +∞+32π=+∞+\infty + \frac{3}{2}\pi = +\infty ✓.
  2. Coefficiente mm: x2−1+3arctan⁡xx→xx=1=m\frac{\sqrt{x^2-1} + 3\arctan x}{x} \to \frac{x}{x} = 1 = m ✓.
  3. Coefficiente qq: lim⁡x→+∞(x2−1−x)+3arctan⁡x=0+32π=q\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 - 1} - x) + 3\arctan x = 0 + \frac{3}{2}\pi = q La differenza x2−1−x\sqrt{x^2 - 1} - x si risolve razionalizzando: x2−1−x2x2−1+x=−1x2−1+x→0\frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}+x} = \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}+x} \to 0. Risultato: Asintoto obliquo y=x+32πy = x + \frac{3}{2}\pi.

2. f2(x)=x2−1+log⁡xf_2(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \log x

  1. Limite: +∞+∞=+∞+\infty + \infty = +\infty ✓.
  2. Coefficiente mm: x2−1+log⁡xx→1=m\frac{\sqrt{x^2-1} + \log x}{x} \to 1 = m (poiché log⁡x=o(x)\log x = o(x)) ✓.
  3. Coefficiente qq: lim⁡x→+∞(x2−1−x)+log⁡x=0+∞=+∞\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 - 1} - x) + \log x = 0 + \infty = +\infty Risultato: Nessun asintoto obliquo. Funzione a crescita lineareLa funzione tende all'infinito come una retta (f(x)/x→mf(x)/x \to m), ma la distanza da ogni retta y=mx+qy=mx+q diverge..

Errori comuni

  • Fermarsi al calcolo di mm: mm finito non garantisce l'esistenza dell'asintoto.
  • Calcolare x2−1−x\sqrt{x^2-1}-x come x−x=0x-x=0: è un errore formale, occorre razionalizzare.
  • Dimenticare il contributo di termini che non tendono a 00 nel calcolo di qq.

Teoria collegata