Esercizio 173massa, molla e smorzatore con tre smorzamenti

---

1. Smorzamento critico

Il polinomio caratteristico è $2\lambda^2 + c\lambda + 8 = 0$, con discriminante $\Delta = c^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = c^2 - 64$. Si annulla per $c = 8$: $$c_{cr} = 2\sqrt{k\,m} = 2\sqrt{8 \cdot 2} = 2 \cdot 4 = 8 \ \text{N}\cdot\text{s/m}$$ Quindi $c = 10$ è sovrasmorzato ($\Delta = 36 > 0$), $c = 8$ è critico ($\Delta = 0$), $c = 2$ è sottosmorzato ($\Delta = -60 < 0$). La pulsazione propria è $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{4} = 2$ rad/s.

Per comodità, dividendo per $2$ l'equazione diventa $x'' + \frac c2\,x' + 4x = 0$.

2. I tre problemi di Cauchy

Caso $c = 10$: sovrasmorzato

$x'' + 5x' + 4x = 0$, quindi $\lambda^2 + 5\lambda + 4 = 0$ con $\lambda = \frac{-5 \pm 3}{2}$, cioè $\lambda_1 = -1$ e $\lambda_2 = -4$: $$x(t) = c_1\,e^{-t} + c_2\,e^{-4t}, \qquad x'(t) = -c_1\,e^{-t} - 4c_2\,e^{-4t}$$ Condizioni iniziali (con $e^0 = 1$): $$\begin{cases} c_1 + c_2 = 0{,}1 \\ -c_1 - 4c_2 = 0 \end{cases}$$ Dalla seconda $c_1 = -4c_2$; nella prima $-4c_2 + c_2 = -3c_2 = 0{,}1$, quindi $c_2 = -\frac1{30}$ e $c_1 = \frac4{30} = \frac2{15}$: $$x(t) = \frac2{15}\,e^{-t} - \frac1{30}\,e^{-4t}$$ Controllo: $x(0) = \frac{4}{30} - \frac1{30} = \frac{3}{30} = 0{,}1$ ✓ e $x'(0) = -\frac2{15} + \frac4{30} = 0$ ✓.

Caso $c = 8$: critico

$x'' + 4x' + 4x = 0$, $\lambda^2 + 4\lambda + 4 = (\lambda + 2)^2$, radice doppia $\lambda = -2$: $$x(t) = (c_1 + c_2\,t)\,e^{-2t}, \qquad x'(t) = \big(c_2 - 2c_1 - 2c_2\,t\big)e^{-2t}$$ $x(0) = c_1 = 0{,}1$ e $x'(0) = c_2 - 2c_1 = 0$, quindi $c_2 = 0{,}2$: $$x(t) = (0{,}1 + 0{,}2\,t)\,e^{-2t}$$

Caso $c = 2$: sottosmorzato

$x'' + x' + 4x = 0$, $\lambda^2 + \lambda + 4 = 0$ con $\Delta = 1 - 16 = -15$, quindi $\lambda = -\frac12 \pm i\,\frac{\sqrt{15}}{2}$: $\alpha = -\frac12$ e $\omega_d = \frac{\sqrt{15}}2$. $$x(t) = e^{-t/2}\big(c_1\cos\omega_d t + c_2\sin\omega_d t\big), \qquad x'(t) = e^{-t/2}\Big[\big(-\tfrac12 c_1 + \omega_d c_2\big)\cos\omega_d t + \big(-\tfrac12 c_2 - \omega_d c_1\big)\sin\omega_d t\Big]$$ In $t = 0$: $x(0) = c_1 = 0{,}1$ e $x'(0) = -\frac12 c_1 + \omega_d c_2 = 0$, quindi $c_2 = \frac{c_1}{2\omega_d} = \frac{0{,}1}{\sqrt{15}} \approx 0{,}0258$: $$x(t) = e^{-t/2}\left(0{,}1\cos\frac{\sqrt{15}\,t}{2} + \frac{0{,}1}{\sqrt{15}}\sin\frac{\sqrt{15}\,t}{2}\right)$$ (verificato con Python, dsolve: coincide con la forma $\frac{1}{150}e^{-t/2}\big(15\cos\omega_d t + \sqrt{15}\sin\omega_d t\big)$.)

Quale oscilla? Solo l'ultimo. Per $c = 10$: $\frac{2}{15}e^{-t} > \frac1{30}e^{-4t}$ per ogni $t \ge 0$ (perché $4e^{-t} > e^{-4t}$ quando $e^{3t} > \frac14$), quindi $x > 0$ sempre. Per $c = 8$: $0{,}1 + 0{,}2t > 0$ per ogni $t \ge 0$. In entrambi i casi la massa torna a $0$ senza oltrepassare l'equilibrio. Il critico torna a zero più in fretta del sovrasmorzato: per esempio a $t = 1$ s, $x = 0{,}3\,e^{-2} \approx 0{,}041$ m contro $x = \frac2{15}e^{-1} - \frac1{30}e^{-4} \approx 0{,}0484$ m.

3. Il caso $c = 2$ nel dettaglio

Pulsazione smorzata. $\omega_d = \frac{\sqrt{15}}2 \approx 1{,}936$ rad/s, poco meno di $\omega_0 = 2$ rad/s. Il periodo è $T_d = \frac{2\pi}{\omega_d} \approx 3{,}245$ s (il periodo del sistema senza smorzatore sarebbe $T_0 = \pi \approx 3{,}142$ s).

Primo passaggio per l'equilibrio. $x(t) = 0 \iff 0{,}1\cos\omega_d t + \frac{0{,}1}{\sqrt{15}}\sin\omega_d t = 0 \iff \tan(\omega_d t) = -\sqrt{15}$ (il fattore $e^{-t/2}$ non si annulla). La prima soluzione positiva è $\omega_d t = \pi - \arctan\sqrt{15} \approx 3{,}1416 - 1{,}3181 = 1{,}8235$, quindi $$t \approx \frac{1{,}8235}{1{,}9365} \approx 0{,}942 \ \text{s}$$ (prima il coseno è positivo e dopo diventa negativo, $\tan$ è negativa nel secondo quadrante.)

Riduzione dell'ampiezza. Da un massimo al successivo passano $T_d$ secondi. I massimi stanno sulla curva $e^{-t/2}$ (a meno di una costante), quindi il rapporto tra due massimi consecutivi è $$e^{-T_d/2} = e^{-\pi/\omega_d} \approx e^{-1{,}6223} \approx 0{,}197$$ Ogni oscillazione completa riduce l'ampiezza a circa il $20\%$ della precedente. Partendo da ferma, la massa raggiunge il punto più lontano dall'altra parte dopo mezzo periodo, $t = \frac{\pi}{\omega_d} \approx 1{,}622$ s, con $x \approx -0{,}0444$ m, pari a $-0{,}1\,e^{-0{,}811}$.

---

Errori comuni

• Calcolare $c_{cr}$ come $2\sqrt{k/m}$ o come $\sqrt{km}$: $c_{cr}$ annulla $c^2 - 4mk$, quindi vale $2\sqrt{mk} = 8$, non $4$.
• Leggere $c$ come coefficiente di $x'$ senza dividere per $m$: nella forma $x'' + \frac c2\,x' + 4x = 0$ il coefficiente di $x'$ è $\frac c2$, non $c$.
• Nel caso critico scrivere $c_1 e^{-2t} + c_2 e^{-2t}$ invece di $(c_1 + c_2t)e^{-2t}$.
• Nel sottosmorzato usare $\omega_0 = 2$ al posto di $\omega_d = \frac{\sqrt{15}}2$ negli argomenti di seno e coseno.