Derivate successive e funzioni di classe $C^n$

Prerequisiti: Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →, Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata → (classi $C^0$ e $C^1$).

L'idea

Se $f$ è derivabile, la sua derivata $f'$ è a sua volta una funzione, e si può provare a derivarla.

Esempio. $f(x) = e^{3x} + \cos(2x)$, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

• $f'(x) = 3e^{3x} - 2\sin(2x)$ (regola della catena: $D e^{3x} = 3e^{3x}$, $D\cos(2x) = -\sin(2x)\cdot 2$);
• $(f')'(x) = 9e^{3x} - 4\cos(2x)$: è la derivata seconda $f''$;
• $(f'')'(x) = 27e^{3x} + 8\sin(2x)$: la derivata terza; e così via.

Definizione

Definizione (derivata seconda e derivata n-esima). Sia $f$ derivabile in un intorno $]x_0 - \delta, x_0 + \delta[$ di $x_0$. Se $f'$ è derivabile in $x_0$, la sua derivata si chiama derivata seconda di $f$ in $x_0$: $$f''(x_0) = f^{(2)}(x_0) = (f')'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f'(x) - f'(x_0)}{x - x_0}$$ Più in generale, se $f$ è derivabile $n - 1$ volte in un intorno di $x_0$ e $f^{(n-1)}$ è derivabile in $x_0$, la derivata $n$-esima di $f$ in $x_0$ è $$f^{(n)}(x_0) = \left(f^{(n-1)}\right)'(x_0) = \lim_{x \to x_0}\frac{f^{(n-1)}(x) - f^{(n-1)}(x_0)}{x - x_0}$$

Esempio. $f(x) = e^{3x} + \cos 2x$: $f'(x) = 3e^{3x} - 2\sin 2x$ e $f''(x) = 9e^{3x} - 4\cos 2x$.

Perché serve un intorno. Per derivare $f'$ in $x_0$ bisogna che $f'$ esista vicino a $x_0$ (il rapporto incrementale di $f'$ usa i valori $f'(x)$ con $x$ vicino a $x_0$). Non basta che $f$ sia derivabile solo in $x_0$.

Notazioni: $f^{(n)}(x_0) = \dfrac{d^n f}{dx^n}(x_0) = D^n f(x_0) = \left[\dfrac{d^n f}{dx^n}(x)\right]_{x = x_0} = \left[D^n f(x)\right]_{x = x_0}$. Per le prime si usano anche gli apici: $f'' = f^{(2)}$, $f''' = f^{(3)}$. Per convenzione $f^{(0)} = f$.

Esistenza della derivata $n$-esima e continuità

Si sa che una funzione derivabile in un punto è continua in quel punto. Applicandolo alle derivate:

$$\exists\, f^{(n)}(x_0) \;\Rightarrow\; f^{(n-1)} \text{ è derivabile in } x_0 \;\Rightarrow\; f^{(n-1)} \text{ è continua in } x_0$$

e inoltre $f^{(n-1)}$ esiste in un intorno di $x_0$, quindi $f^{(n-2)}$ è derivabile (e continua) in quell'intorno, e così via fino a $f$.

In breve: se esiste $f^{(n)}(x_0)$, allora $f, f', \dots, f^{(n-1)}$ sono continue in $x_0$. (Non si può dire niente sulla continuità di $f^{(n)}$.)

Questo fatto si usa per esempio nella dimostrazione della Formula di Taylor con resto di PeanoUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano →, dove permette di applicare de l'Hôpital più volte di seguito.

Le classi $C^n$

Sia $I$ un intervallo e $n \in \mathbb{N}$.

Definizione (classe Cⁿ). $$C^n(I) = \{f: I \to \mathbb{R} : f \text{ è derivabile } n \text{ volte in } I \text{ e } f^{(n)} \text{ è continua in } I\}$$

Esempio. $f(x) = |x|^3$ ha $f'(x) = 3x|x|$ e $f''(x) = 6|x|$, entrambe continue, ma $f''$ non è derivabile in $0$: $f \in C^2(\mathbb{R})$ e $f \notin C^3(\mathbb{R})$.

• $C^0(I)$ sono le funzioni continue, $C^1(I)$ quelle derivabili con derivata continua (già viste nel Teorema del limite della derivataSe f è continua in x0 e derivabile vicino a x0, la derivata destra (sinistra) in x0 è il limite destro (sinistro) di f'. Quindi f è derivabile in x0 se e solo se i due limiti di f' esistono e coincidono, finiti. Senza continuità il risultato è falso; se i limiti di f' non esistono si torna al rapporto incrementale (esempio x² sin(1/x)). Funzioni di classe C⁰ e C¹.Teorema del limite della derivata →).
• Se $I = [a, b]$, negli estremi si chiede che $f$ sia continua e che esistano finite le derivate unilaterali $f^{(k)}(a^+)$ e $f^{(k)}(b^-)$ per $k = 1, \dots, n$.
• $C^\infty(I)$ è l'insieme delle funzioni che stanno in $C^n(I)$ per ogni $n$: polinomi, $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ su $\mathbb{R}$; $\log x$ su $]0, +\infty[$.

Inclusioni: $$C^n(I) \subsetneq C^{n-1}(I) \subsetneq \dots \subsetneq C^1(I) \subsetneq C^0(I)$$ Se $f \in C^n$, allora $f^{(n-1)}$ è derivabile, quindi continua: $f \in C^{n-1}$. Le inclusioni sono strette: per esempio $x|x|$ (che vale $x^2$ per $x \ge 0$ e $-x^2$ per $x < 0$) ha derivata $2|x|$, continua ma non derivabile in $0$, quindi sta in $C^1(\mathbb{R})$ ma non in $C^2(\mathbb{R})$.

A che cosa servono

• La derivata seconda decide la convessità: Funzioni convesse, concave e punti di flessof è convessa se ogni corda sta sopra il grafico (concava se sta sotto). Una funzione convessa è continua e ha derivate destra e sinistra in ogni punto interno. Per f derivabile: convessa ⇔ grafico sopra ogni tangente ⇔ f' crescente ⇔ (se esiste) f'' ≥ 0. f'' > 0 ⇒ strettamente convessa, non viceversa (x⁴). Flesso: punto in cui f passa da convessa a concava; lì, se esiste, f''(x0) = 0, ma non basta (x⁴ in 0).Funzioni convesse, concave e punti di flesso →.
• Le derivate di tutti gli ordini in un punto danno i coefficienti del polinomio di Taylor (Formula di Taylor con resto di PeanoUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano →).

Errori comuni

• Calcolare $f''(x_0)$ derivando una sola volta e sostituendo: prima si calcola $f'(x)$ per gli $x$ vicini, poi la si deriva.
• Pensare che l'esistenza di $f^{(n)}(x_0)$ dia la continuità di $f^{(n)}$: dà quella delle derivate di ordine inferiore.