Asintoticità e o-piccolo

Prerequisiti: Calcolo dei limiti di successioniGli strumenti per calcolare i limiti senza la definizione: algebra dei limiti, permanenza del segno, carabinieri, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco, confronto per le divergenti e forme indeterminate.Calcolo dei limiti di successioni →, Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →.

Negli esercizi si è sempre fatto la stessa cosa: si raccoglie il termine più grande e si "butta via" il resto. Asintoticità e o-piccolo danno un nome preciso a queste due operazioni e permettono di scrivere i calcoli in modo molto più rapido.

Le definizioni

Siano $(a_n)$, $(b_n)$ con $a_n, b_n \ne 0$ definitivamente (così il rapporto $\frac{a_n}{b_n}$ ha senso da un certo punto in poi). Si guarda il limite del rapporto $\frac{a_n}{b_n}$; ci sono tre possibilità.

1. $\lim_n \frac{a_n}{b_n} = 0$: $a_n$ è o-piccolo di $b_n$

Si scrive

Definizione (o-piccolo: vale quando il limite del rapporto è 0). $$a_n = o(b_n)$$

e si legge "$a_n$ è o-piccolo di $b_n$" oppure "$a_n$ è trascurabile rispetto a $b_n$": diviso per $b_n$, diventa piccolo quanto si vuole.

Esempio. $n = o(n^2)$ perché $\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$; anche $\sqrt{n} = o(n)$.

• Se $b_n \to +\infty$, si dice anche che $b_n$ è un infinito di ordine superiore rispetto ad $a_n$.
• Se $a_n \to 0$ e $b_n \to 0$, si dice che $b_n$ è un infinitesimo di ordine inferiore (va a zero più lentamente).

NB. Il caso $\lim_n \frac{a_n}{b_n} = \pm\infty$ non è un caso nuovo: equivale a $\lim_n \frac{b_n}{a_n} = 0$, cioè $b_n = o(a_n)$ (per il teorema del reciproco).

2. $\lim_n \frac{a_n}{b_n} = \ell \in \mathbb{R}$, $\ell \ne 0$: stesso ordine

$a_n$ e $b_n$ hanno lo stesso ordine: crescono (o vanno a zero) "alla stessa velocità", a meno di un fattore costante. In particolare, se $\ell = 1$:

Definizione (asintotiche: vale quando il limite del rapporto è 1). $$\lim_n \frac{a_n}{b_n} = 1 \qquad \text{si scrive} \qquad a_n \sim b_n$$

e si dice che $a_n$ e $b_n$ sono asintotiche.

Esempio. $n^2 + n \sim n^2$, perché $\frac{n^2 + n}{n^2} = 1 + \frac{1}{n} \to 1$.

Se hanno lo stesso ordine con limite $\ell \ne 0$, allora $\lim_n \frac{a_n}{\ell\,b_n} = 1$, cioè $a_n \sim \ell\,b_n$: sono asintotiche a meno di una costante.

3. $\nexists \lim_n \frac{a_n}{b_n}$: non confrontabili

Si dice che $a_n$ e $b_n$ sono non confrontabili.

Esempi

1. La gerarchia degli infiniti si scrive con l'o-piccolo: $\log^p n = o(n^\alpha)$, $n^\alpha = o(a^n)$ ($a > 1$), $a^n = o(n!)$, $n! = o(n^n)$.
2. $n \sim \sqrt{n^2 + 4}$. Infatti $$\lim_n \frac{n}{\sqrt{n^2 + 4}} = \lim_n \sqrt{\frac{n^2}{n^2 + 4}} = \lim_n \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{4}{n^2}}} = 1$$ (si porta $n$ dentro la radice come $\sqrt{n^2}$, possibile perché $n > 0$, e si divide sopra e sotto per $n^2$).
3. $n(2 + \cos n)$ e $n$ non sono confrontabili: il rapporto è $2 + \cos n$, che non ha limite. (Eppure entrambe tendono a $+\infty$: $n(2 + \cos n) \ge n$, e per il confronto va a $+\infty$.)

Proprietà dell'asintoticità

Siano $a_n, b_n, c_n \ne 0$ definitivamente.

1. Simmetrica: $a_n \sim b_n \Rightarrow b_n \sim a_n$. Infatti $\frac{b_n}{a_n} = \frac{1}{a_n/b_n} \to \frac11 = 1$.
2. Transitiva: $a_n \sim b_n$ e $b_n \sim c_n \Rightarrow a_n \sim c_n$. Infatti $\frac{a_n}{c_n} = \frac{a_n}{b_n} \cdot \frac{b_n}{c_n} \to 1 \cdot 1 = 1$.
3. Stesso limite: se $a_n' \sim a_n$, allora $\lim_n a_n = \lim_n a_n'$ (se uno dei due esiste, esiste anche l'altro). Infatti $a_n = \frac{a_n}{a_n'} \cdot a_n'$, e il primo fattore tende a $1$.
4. Sostituzione nei prodotti e nei quozienti: se $a_n' \sim a_n$ e $b_n' \sim b_n$, allora $$\lim_n \frac{a_n}{b_n} = \lim_n \frac{a_n'}{b_n'} \qquad \text{e} \qquad \lim_n a_n b_n = \lim_n a_n' b_n'$$ Infatti $a_n b_n = \frac{a_n}{a_n'} \cdot a_n' \cdot \frac{b_n}{b_n'} \cdot b_n'$, e i due rapporti tendono a $1$ (per il quoziente è lo stesso).

Che cosa dicono 3 e 4, in pratica:

• per calcolare il limite di una successione basta calcolare quello di una successione asintotica (più semplice);
• per calcolare il limite di prodotti e quozienti si può sostituire ogni fattore con uno asintotico.

Osservazione utile. Se $c_n \to 1$, allora $a_n c_n \sim a_n$ (il rapporto è $c_n \to 1$). È esattamente quello che succede quando si raccoglie: $a_n\left[1 + \text{cose che vanno a } 0\right] \sim a_n$.

Attenzione: con le somme non si può sostituire. Esempio: $n + 1 \sim n$ e $-n \sim -n$, ma $(n + 1) + (-n) = 1$ mentre $n + (-n) = 0$: sostituendo dentro una somma si sbaglia.

Proprietà dell'o-piccolo e legame con l'asintoticità

1. Transitiva: $a_n = o(b_n)$ e $b_n = o(c_n) \Rightarrow a_n = o(c_n)$. Infatti $\frac{a_n}{c_n} = \frac{a_n}{b_n} \cdot \frac{b_n}{c_n} \to 0 \cdot 0 = 0$.

   Proprietà (legame tra asintotico e o-piccolo). 2. Il legame fondamentale: $$a_n \sim b_n \iff a_n = b_n + o(b_n)$$

Esempio. $n^2 + n = n^2 + o(n^2)$, quindi $n^2 + n \sim n^2$.

Dimostrazione.

$$\lim_n \frac{a_n}{b_n} = 1 \iff \lim_n \left(\frac{a_n}{b_n} - 1\right) = 0 \iff \lim_n \frac{a_n - b_n}{b_n} = 0 \iff a_n - b_n = o(b_n) \iff a_n = b_n + o(b_n)$$

∎.

Significato. $a_n \sim b_n$ vuol dire che si può approssimare $a_n$ con $b_n$ commettendo un errore $o(b_n)$, cioè trascurabile rispetto a $b_n$. Esempio: $n^2 + 3n \sim n^2$ perché $n^2 + 3n = n^2 + o(n^2)$ (l'errore $3n$ è trascurabile rispetto a $n^2$: $\frac{3n}{n^2} \to 0$).

Con questa scrittura le proprietà 3 e 4 dell'asintoticità diventano:

$$\lim_n \left(a_n + o(a_n)\right) = \lim_n a_n, \qquad \lim_n \frac{a_n + o(a_n)}{b_n + o(b_n)} = \lim_n \frac{a_n}{b_n}, \qquad \lim_n \left(a_n + o(a_n)\right)\left(b_n + o(b_n)\right) = \lim_n a_n b_n$$

Esempio (rivisto con l'asintoticità):

$$\lim_n \frac{2^n - \sqrt n + n^{\sqrt3}}{\log^5 n - n!} = \lim_n \frac{2^n + o(2^n)}{-n! + o(n!)} = \lim_n \frac{2^n}{-n!} = 0$$

perché $-\sqrt n$ e $n^{\sqrt3}$ sono $o(2^n)$, e $\log^5 n = o(n!)$, per la gerarchia degli infiniti.

Due avvertenze

1. L'o-piccolo non si moltiplica liberamente. Se $a_n = o(b_n)$ e $a_n' = o(b_n)$, non è detto che $a_n a_n' = o(b_n)$. Esempio: $b_n = n^4$, $a_n = n^2$, $a_n' = n^3$; entrambi sono $o(n^4)$, ma $a_n a_n' = n^5$ non è $o(n^4)$.

2. Le funzioni non conservano l'asintoticità, le potenze sì. Se $a_n \sim b_n$, in generale non è vero che $f(a_n) \sim f(b_n)$ (per esempio $n + 1 \sim n$, ma $e^{n+1} = e \cdot e^n$ non è asintotico a $e^n$: il rapporto tende a $e$). Però per le potenze sì:

$$a_n \sim b_n \ \Rightarrow \ a_n^\alpha \sim b_n^\alpha \qquad \forall \alpha \in \mathbb{R},\ \alpha \ne 0$$

perché $\frac{a_n^\alpha}{b_n^\alpha} = \left(\frac{a_n}{b_n}\right)^\alpha \to 1^\alpha = 1$. È questo che permette di scrivere, per esempio, $\sqrt[3]{n^3 + 6n - 8\log n} \sim \sqrt[3]{n^3} = n$.

Logaritmo ed esponenziale

Il logaritmo conserva l'asintoticità, se l'argomento va a $+\infty$ o a $0^+$. Se $a_n \sim b_n$ e $\lim_n b_n = +\infty$ oppure $0^+$, allora $\log a_n \sim \log b_n$.

Dimostrazione. Per le proprietà del logaritmo $\log a_n = \log\left(\frac{a_n}{b_n} \cdot b_n\right) = \log\frac{a_n}{b_n} + \log b_n$, quindi

$$\frac{\log a_n}{\log b_n} = \frac{\log\frac{a_n}{b_n}}{\log b_n} + 1 \to \frac{\log 1}{\pm\infty} + 1 = \frac{0}{\pm\infty} + 1 = 1$$

(il numeratore tende a $\log 1 = 0$ perché $\frac{a_n}{b_n} \to 1$; il denominatore $\log b_n$ tende a $+\infty$ se $b_n \to +\infty$, a $-\infty$ se $b_n \to 0^+$) ∎. In altre parole $\log a_n = \log b_n + o(\log b_n)$.

Esempio. $\log\left(\frac{2n^2 - 1}{5}\right) \sim \log\left(\frac25 n^2\right) = 2\log n + \log\frac25 \sim 2\log n$.

L'esponenziale invece no. Se $a_n \sim b_n$, in generale $c^{a_n} \not\sim c^{b_n}$ (con $c > 1$), perché

$$\frac{c^{a_n}}{c^{b_n}} = c^{a_n - b_n}$$

tende a $1$ solo se $a_n - b_n \to 0$, e non basta che $\frac{a_n}{b_n} \to 1$. Esempio: $\sqrt{n^2 + 6n} \sim n$, ma $n - \sqrt{n^2 + 6n} \to -3$, quindi $\frac{2^n}{2^{\sqrt{n^2 + 6n}}} \to 2^{-3} = \frac18 \ne 1$ (vedi Esercizio 48 · radice n-esima, esponenziali e coefficiente binomiale).

Tabella riassuntiva

Esercizi: Esercizio 43 · limite con logaritmi, radici ed esponenziali, Esercizio 44 · limiti con l'arcotangente e prodotti di radici.

Errori comuni

• Sostituire con un asintotico dentro una somma o una differenza: si può fare solo nei prodotti e nei quozienti.
• Applicare una funzione ai due membri di $\sim$: vale per le potenze, non in generale (per esempio non per l'esponenziale).
• Scrivere $a_n \sim 0$: non ha senso, perché bisognerebbe dividere per $0$.