Funzioni periodiche

L'ultima definizione per le funzioni $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Prerequisiti: Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →. Gli esempi più importanti sono le Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →.

Definizione

Definizione (funzione periodica). Sia $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, con $X \ne \emptyset$ inferiormente e superiormente illimitato (il dominio deve proseguire senza fine in entrambe le direzioni). $f$ è periodica se esiste $T > 0$ tale che

$$f(x + T) = f(x) \qquad \forall x \in X$$

Il minimo $T > 0$ con questa proprietà si chiama periodo di $f$ (e si dice che $f$ è "$T$-periodica").

Esempio. $\sin x$ è $2\pi$-periodica: $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ per ogni $x$, e nessun $T$ minore di $2\pi$ funziona.

In parole: spostandosi di $T$ verso destra si ritrova lo stesso valore. Il grafico è fatto di un "mattone" di lunghezza $T$ ripetuto all'infinito.

Si ripete anche spostandosi di $2T$, $3T$, … e all'indietro. Infatti

$$f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x) \qquad f(x - T) = f((x - T) + T) = f(x)$$

e, per induzione, $f(x + kT) = f(x)$ per ogni $x \in X$ e ogni $k \in \mathbb{Z}$.

Come si usa

• Grafico: basta disegnare $\Gamma_f$ su un qualunque intervallo di ampiezza $T$ (contenuto nel dominio), e poi copiarlo a destra e a sinistra.
• Studio: basta studiare $f$ su $X \cap [0, T]$ oppure su $X \cap \left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right]$.
• Se $f$ è anche pari o dispari, basta considerare $x \ge 0$ nell'intervallo simmetrico: si studia $f$ su $X \cap \left[0, \frac{T}{2}\right]$ (metà periodo), poi si usa la simmetria per arrivare a $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right]$ e la periodicità per tutto il resto.

Esempio: la mantissa $x - [x]$

$f(x) = x - [x]$ per ogni $x \in \mathbb{R}$, dove $[x]$ è la parte intera (vedi Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →). È la "parte dopo la virgola" di un numero positivo: $f(2{,}7) = 0{,}7$; attenzione ai negativi: $f(-0{,}3) = -0{,}3 - (-1) = 0{,}7$.

• Per $x \in [0, 1)$: $[x] = 0$, quindi $f(x) = x$.
• Per $x \in [1, 2)$: $[x] = 1$, quindi $f(x) = x - 1$.
• In generale per $x \in [m, m + 1)$: $f(x) = x - m$. Il grafico è un "dente di sega".

$f$ è $1$-periodica. Se $[x] = m$, cioè $m \le x < m + 1$, sommando $1$: $m + 1 \le x + 1 < (m + 1) + 1$, quindi $[x + 1] = m + 1 = [x] + 1$. Allora

$$f(x + 1) = (x + 1) - [x + 1] = x + 1 - [x] - 1 = x - [x] = f(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}$$

E $1$ è il minimo periodo (per $0 < T < 1$, $f(0 + T) = T \ne 0 = f(0)$).

Proprietà delle funzioni periodiche

Servono per trovare il periodo di funzioni come $\sin(8x)$ o $\sin(\pi x) + \cos(3x)$ senza ripartire dalla definizione. Esercizio: Esercizio 33 · dominio, segno, simmetrie e periodicità.

1. Il periodo di $f(cx)$ è $\frac{T}{c}$

Proprietà. Se $f$ è $T$-periodica e $c > 0$, allora $h(x) = f(cx)$ è periodica di periodo

$$T' = \frac{T}{c}$$

Esempio. $\sin x$ ha periodo $2\pi$, quindi $\sin(8x)$ ha periodo $\frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.

Come ci si arriva. Se $h$ ha periodo $T'$, deve essere $h(x + T') = h(x)$, cioè

$$f(c(x + T')) = f(cx + cT') \overset{?}{=} f(cx)$$

L'argomento di $f$ è passato da $cx$ a $cx + cT'$: perché $f$ dia lo stesso valore, lo spostamento $cT'$ deve essere il periodo di $f$, cioè $cT' = T$, da cui $T' = \frac{T}{c}$.

Verifica. $h\!\left(x + \frac{T}{c}\right) = f\!\left(cx + c \cdot \frac{T}{c}\right) = f(cx + T) = f(cx) = h(x)$ ✓. Ed è il minimo periodo: se $h$ si ripetesse dopo un $T'' < \frac{T}{c}$, allora $f$ si ripeterebbe dopo $cT'' < T$ (infatti $f(y + cT'') = h\!\left(\frac{y}{c} + T''\right) = h\!\left(\frac{y}{c}\right) = f(y)$), contro il fatto che $T$ è il minimo periodo di $f$.

Intuizione. Moltiplicare la $x$ per $c > 1$ "fa scorrere" la variabile $c$ volte più in fretta: il grafico si comprime orizzontalmente e il mattone che si ripete si accorcia di un fattore $c$. Con $0 < c < 1$ succede il contrario (il grafico si allarga).

2. Somma, prodotto e quoziente: periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale

Siano $f$ di periodo $T_1$ e $g$ di periodo $T_2$, e sia $h$ una tra $f + g$, $f - g$, $f \cdot g$, $\frac{f}{g}$. È periodica? E con che periodo?

Il ragionamento. Se $h$ si ripete dopo $T'$, allora

$$h(x + T') = f(x + T') + g(x + T') \overset{?}{=} f(x) + g(x)$$

e questo succede in modo naturale quando $T'$ è contemporaneamente un "giro intero" per $f$ e per $g$, cioè un multiplo comune dei due periodi:

$$T' = m\,T_1 = n\,T_2 \qquad m, n \in \mathbb{N}^*$$

(allora $f(x + mT_1) = f(x)$ e $g(x + nT_2) = g(x)$, perché una funzione periodica si ripete anche dopo un numero intero di periodi). Un multiplo comune esiste se e solo se

$$m\,T_1 = n\,T_2 \iff \frac{T_2}{T_1} = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$$

Proprietà (somma, prodotto e quoziente di funzioni periodiche). Regola. Somme, prodotti e quozienti di funzioni periodiche (quelle degli esercizi, costruite con seni, coseni, tangenti) sono periodici solo se il rapporto dei periodi è un numero razionale. In quel caso $mT_1 = nT_2$ (con $\frac{m}{n}$ ridotta ai minimi termini) è un periodo di $h$.

Esempio con rapporto razionale. $h(x) = \sin(2x) + \cos(3x)$: $T_1 = \pi$, $T_2 = \frac{2\pi}{3}$, $\frac{T_2}{T_1} = \frac23$. Quindi $m = 2$, $n = 3$ e $T' = 2\pi = 3 \cdot \frac{2\pi}{3}$: dopo $2\pi$ il seno ha fatto $2$ giri e il coseno $3$, e tutto ricomincia.

Esempio con rapporto irrazionale. $h(x) = \frac{\sin(\pi x)}{\cos(3x)}$: $T_1 = 2$, $T_2 = \frac{2\pi}{3}$, $\frac{T_2}{T_1} = \frac{\pi}{3} \notin \mathbb{Q}$ (perché $\pi$ è irrazionale). Quindi $h$ non è periodica. Una dimostrazione completa per questa funzione è nell'Esercizio 33 · dominio, segno, simmetrie e periodicità.

Attenzione: $mT_1$ è "un" periodo, non per forza il minimo. Per esempio $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ è costante, e $\sin x \cdot \cos x = \frac12 \sin(2x)$ ha periodo $\pi$, non $2\pi$.

Da ricordare

$\cos^2 x$, $\sin^2 x$, $|\cos x|$, $|\sin x|$ sono $\pi$-periodiche (non $2\pi$): spostando $x$ di $\pi$ il seno e il coseno cambiano solo segno, $\sin(x + \pi) = -\sin x$ e $\cos(x + \pi) = -\cos x$, e il quadrato o il modulo eliminano il segno.

Una conseguenza: nessuna funzione periodica è iniettiva

Se $f$ è periodica, $f(x) = f(x + T)$ con $x \ne x + T$: due punti diversi hanno la stessa immagine. Quindi una funzione periodica non è mai iniettiva e non è invertibile. Per "invertire" le funzioni trigonometriche bisognerà restringerle a un intervallo (vedi Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →).

Errori comuni

• Confondere "un" $T$ con "il" periodo: se $T$ funziona, funzionano anche $2T$, $3T$…; il periodo è il più piccolo.
• Dimenticare la condizione sul dominio: deve essere illimitato in entrambe le direzioni (altrimenti $x + T$ potrebbe uscire dal dominio).