Formula di Taylor con resto di Lagrange

Prerequisiti: Derivate successive e funzioni di classe CnLa derivata seconda è la derivata di f', la derivata n-esima è la derivata della (n−1)-esima. Se esiste f⁽ⁿ⁾(x0), allora f, f', …, f⁽ⁿ⁻¹⁾ sono continue in x0. Cⁿ(I) = funzioni derivabili n volte su I con f⁽ⁿ⁾ continua; Cⁿ ⊊ Cⁿ⁻¹ ⊊ … ⊊ C¹ ⊊ C⁰.Derivate successive e funzioni di classe Cn →, Teoremi di Rolle e di LagrangeRolle: f continua su [a,b], derivabile in ]a,b[, f(a) = f(b) ⇒ esiste c in ]a,b[ con f'(c) = 0. Lagrange (valor medio): stesse ipotesi senza f(a) = f(b) ⇒ esiste c con f'(c) = (f(b) − f(a))/(b − a): la tangente in c è parallela alla corda. Conseguenza: su un intervallo f è costante se e solo se f' = 0; su un insieme che non è un intervallo è solo costante a tratti (arctan x + arctan(1/x)).Teoremi di Rolle e di Lagrange →. Il resto di Peano (Formula di Taylor con resto di PeanoUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano →) dice solo che l'errore è trascurabile vicino a $x_0$; il resto di Lagrange dà una formula per l'errore, che permette di stimarlo con un numero su tutto un intervallo. Esercizio: Esercizio 101 · approssimare e^x tra 0 e 1/2 e stimare la radice di e.

La domanda

Data $f : [a, b] \to \mathbb{R}$, si può approssimare $f$ con un polinomio per ogni $x \in [a, b]$, con un errore piccolo quanto si vuole e che si sa calcolare? È un'approssimazione globale (su tutto l'intervallo), mentre quella di Peano è locale (solo per $x \to x_0$).

Teorema (formula di Taylor con resto di Lagrange)

Teorema (formula di Taylor con resto di Lagrange). Sia $f \in C^{n+1}([a, b])$ e sia $x_0 \in [a, b]$. Allora per ogni $x \in [a, b]$ esiste un punto $c$ compreso tra $x_0$ e $x$ (quindi $c \in [a, b]$) tale che $$f(x) = T_{n,x_0}(x) + \frac{1}{(n+1)!}\,f^{(n+1)}(c)\,(x - x_0)^{n+1}$$

Esempio. $e^x$ con $x_0 = 0$ e $n = 2$: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{e^c}{6}x^3$ con $c$ tra $0$ e $x$. Per $x = \frac{1}{2}$ l'errore è al più $\frac{e^{1/2}}{6} \cdot \frac{1}{8} < 0{,}035$.

Scritto per esteso:

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \dots + \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n + \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)(x - x_0)^{n+1}$$

I simboli.

• $f \in C^{n+1}([a, b])$ significa: $f$ ha derivate fino all'ordine $n + 1$ su $[a, b]$ e sono tutte continue.
• Il termine $R_{n,x_0}(x) = \frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(c)(x - x_0)^{n+1}$ è il resto di Lagrange. Ha la stessa forma del termine successivo del polinomio di Taylor, con una differenza: la derivata $(n+1)$-esima è calcolata in un punto $c$ sconosciuto (che dipende da $x$), invece che in $x_0$.
• Per $n = 0$ la formula dice $f(x) = f(x_0) + f'(c)(x - x_0)$: è il teorema di LagrangeTeorema del valor medio: se $f$ è continua su $[x_0, x]$ e derivabile all'interno, esiste $c$ in mezzo con $f(x) - f(x_0) = f'(c)(x - x_0)$.Teoremi di Rolle e di Lagrange →. La formula di Taylor con resto di Lagrange ne è la generalizzazione.

Perché è utile anche senza conoscere $c$. Non sapremo mai chi è $c$, ma sappiamo che sta in $[a, b]$: se riusciamo a maggiorare $|f^{(n+1)}|$ su tutto $[a, b]$, abbiamo una maggiorazione dell'errore valida per ogni $x$.

Come si ottiene un'approssimazione globale

Supponiamo $f \in C^\infty([a, b])$ (cioè $f \in C^n([a, b])$ per ogni $n \in \mathbb{N}$: derivabile infinite volte) e che tutte le derivate siano limitate dallo stesso numero:

$$\exists M > 0 \ \text{ tale che } \ |f^{(k)}(x)| \le M \quad \forall x \in [a, b], \ \forall k \in \mathbb{N}$$

Fissato $x_0 \in [a, b]$, per ogni $n$ e ogni $x \in [a, b]$:

$$|f(x) - T_{n,x_0}(x)| = \frac{1}{(n+1)!}\,\underbrace{|f^{(n+1)}(c)|}_{\le M}\,\underbrace{|x - x_0|^{n+1}}_{\le (b-a)^{n+1}} \le \frac{M\,(b - a)^{n+1}}{(n+1)!}$$

Perché $|x - x_0| \le b - a$: due punti dello stesso intervallo distano al massimo quanto è lungo l'intervallo.

L'ultima quantità non dipende da $x$ e tende a $0$ per $n \to +\infty$: al numeratore c'è un'esponenziale $(b-a)^{n+1}$, al denominatore un fattoriale, e il fattoriale cresce più in fretta di qualunque esponenziale (gerarchia degli infiniti). Quindi:

$$\forall \varepsilon > 0 \ \ \exists N \in \mathbb{N} \ \text{ tale che } \ \forall n \ge N: \quad |f(x) - T_{n,x_0}(x)| < \varepsilon \quad \forall x \in [a, b]$$

In parole: scegliendo il grado del polinomio abbastanza alto, l'errore è minore di $\varepsilon$ contemporaneamente in tutti i punti dell'intervallo. È così che le calcolatrici calcolano $e^x$, $\sin x$, …: con polinomi di grado opportuno.

Esempio delle ipotesi. $f(x) = \sin x$ su qualunque $[a, b]$: le derivate sono $\pm\sin$, $\pm\cos$, tutte con modulo $\le 1$, quindi $M = 1$. Per $f(x) = e^x$ su $[a, b]$: tutte le derivate sono $e^x \le e^b$, quindi $M = e^b$.

Metodo: trovare il grado che garantisce un errore $< \varepsilon$

1. Scrivere la formula con resto di Lagrange nel punto $x_0$ comodo (di solito $0$, dove le derivate sono facili).
2. Maggiorare $|f^{(n+1)}(c)|$ per $c$ nell'intervallo, e $|x - x_0|^{n+1}$ per $x$ nell'intervallo.
3. Ottenere una stima del tipo $|f(x) - T_n(x)| \le g(n)$ con $g(n)$ che non dipende da $x$.
4. Cercare il più piccolo $n$ con $g(n) < \varepsilon$, provando $n = 1, 2, 3, \dots$

Esempio svolto: Esercizio 101 · approssimare e^x tra 0 e 1/2 e stimare la radice di e ($e^x$ su $[0, \frac12]$ con errore $< \frac{1}{100}$: basta $n = 3$).

Un'applicazione meccanica: le piccole oscillazioni del pendolo

Un pendolo di lunghezza $L$ ha angolo $\theta(t)$ dalla verticale che soddisfa $\theta'' = -\frac gL\sin\theta$, un'equazione che non si risolve con i metodi elementari. Per angoli piccoli si sostituisce $\sin\theta$ con $\theta$, ottenendo $\theta'' + \frac gL\,\theta = 0$, che è l'oscillatore armonico (Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →) di pulsazione $\omega_0 = \sqrt{\frac gL}$ e periodo $T = 2\pi\sqrt{\frac Lg}$. Quanto è buona l'approssimazione? Il polinomio di Taylor di $\sin$ di grado $2$ in $0$ è $\theta$ (il termine di secondo grado manca), e il resto di Lagrange è $$\sin\theta - \theta = \frac{f'''(c)}{3!}\,\theta^3 = -\frac{\cos c}{6}\,\theta^3 \quad\Longrightarrow\quad |\sin\theta - \theta| \le \frac{|\theta|^3}{6}$$ per un opportuno $c$ tra $0$ e $\theta$, perché $|\cos c| \le 1$. Per $|\theta| \le 0{,}2$ rad (circa $11{,}5$ gradi) l'errore è al più $\frac{0{,}2^3}{6} \approx 0{,}0013$, cioè, relativamente a $\theta$, al più $\frac{\theta^2}{6} \le 0{,}67\%$. Per $L = 1$ m e $g = 9{,}81$ m/s$^2$: $T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}} \approx 2{,}006$ s. Per angoli più grandi l'errore cresce con $\theta^3$ e il periodo reale diventa maggiore di quello dell'oscillatore armonico.

Peano o Lagrange?

Errori comuni

• Calcolare la derivata del resto in $x_0$ invece che in $c$: allora non è più una stima valida.
• Maggiorare $|f^{(n+1)}(c)|$ con il suo valore in un punto solo: serve il massimo su tutto l'intervallo in cui può stare $c$ (per $e^c$ con $c \in [0, \frac12]$ il massimo è $e^{1/2}$, non $e^0$).
• Dimenticare l'esponente $n + 1$ (non $n$) e il fattoriale $(n+1)!$ nel resto.