Esercizio 64limiti con log(a_n) ~ a_n - 1 e un cambio di variabile in 5⁺

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1. $\lim_n \left(\frac{n-1}{n+4}\right)^{3n+1}$

La base tende a $1$, l'esponente a $+\infty$: forma $1^\infty$.

Passo 1: forma esponenziale

$$\left(\frac{n - 1}{n + 4}\right)^{3n + 1} = e^{(3n + 1)\log\left(\frac{n - 1}{n + 4}\right)}$$

L'esponente è una forma $\infty \cdot 0$ (il logaritmo tende a $\log 1 = 0$).

Passo 2: il logaritmo di qualcosa che tende a 1

Il limite notevole $\log(1 + y) \sim y$ per $y \to 0$ si usa così: se $a_n \to 1$, si scrive $a_n = 1 + (a_n - 1)$ con $a_n - 1 \to 0$, e quindi

$$\log(a_n) = \log\left(1 + (a_n - 1)\right) \sim a_n - 1$$

Lo stesso per le funzioni: se $f(x) \to 1$ per $x \to x_0$, allora $\log f(x) \sim f(x) - 1$. È una regola da ricordare.

Qui:

$$\frac{n - 1}{n + 4} - 1 = \frac{n - 1 - (n + 4)}{n + 4} = \frac{-5}{n + 4} \to 0$$

quindi

$$\log\left(\frac{n - 1}{n + 4}\right) = \log\left(1 - \frac{5}{n + 4}\right) \sim -\frac{5}{n + 4}$$

Passo 3: l'esponente

È un prodotto, quindi si sostituisce con gli asintotici ($3n + 1 \sim 3n$, $n + 4 \sim n$):

$$\lim_n (3n + 1)\log\left(\frac{n - 1}{n + 4}\right) = \lim_n 3n \cdot \left(-\frac{5}{n}\right) = -15$$

Conclusione

L'esponenziale è continua: $L = e^{-15} \approx 3{,}06 \cdot 10^{-7}$.

Verifica numerica. $n = 100$: $\approx 3{,}62 \cdot 10^{-7}$; $n = 10\,000$: $\approx 3{,}0644 \cdot 10^{-7}$; $e^{-15} \approx 3{,}0590 \cdot 10^{-7}$ ✓.

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2. Il limite per $x \to 5^+$

Passo 0: dove vanno i pezzi

Per $x \to 5^+$ si ha $x - 5 \to 0^+$ e $5 - x \to 0^-$:

• $\frac{1}{(5 - x)^5} \to \frac{1}{0^-} = -\infty$ (potenza dispari di un negativo piccolo);
• $e^{\frac{1}{x - 5}} \to e^{+\infty} = +\infty$;
• $2^{\frac{1}{5 - x}} \to 2^{-\infty} = 0$;
• $\log^3(x - 5) \to (-\infty)^3 = -\infty$, mentre $\sin(x - 5) \to 0$.

Forma $\frac{\infty}{\infty}$, con un esponenziale, una potenza e un logaritmo: serve la gerarchia, che però vale per una variabile che va a $+\infty$.

Passo 1: il cambio di variabile

Si pone

$$y = \frac{1}{x - 5} \to \frac{1}{0^+} = +\infty$$

(strettamente monotona per $x > 5$, quindi lecito). Allora $x - 5 = \frac1y$, $5 - x = -\frac1y$, e:

• $\frac{1}{(5 - x)^5} = \frac{1}{(-1/y)^5} = \frac{1}{-1/y^5} = -y^5$;
• $e^{\frac{1}{x - 5}} = e^y$;
• $2^{\frac{1}{5 - x}} = 2^{-y}$;
• $\log(x - 5) = \log\frac1y = -\log y$, quindi $\log^3(x - 5) = -\log^3 y$;
• $\sin(x - 5) = \sin\frac1y$.

$$L = \lim_{y \to +\infty} \frac{-y^5 - e^y + 4 \cdot 2^{-y}}{-\log^3 y + \sin\frac1y}$$

Passo 2: numeratore e denominatore

• Numeratore: $y^5 = o(e^y)$ (gerarchia) e $2^{-y} \to 0$, quindi $\text{NUM} = -e^y + o(e^y) \sim -e^y$.
• Denominatore: $\sin\frac1y \to 0$, mentre $\log^3 y \to +\infty$, quindi $\text{DEN} = -\log^3 y + o(\log^3 y) \sim -\log^3 y$.

Conclusione

$$L = \lim_{y \to +\infty} \frac{-e^y}{-\log^3 y} = \lim_{y \to +\infty} \frac{e^y}{\log^3 y} = +\infty$$

(gerarchia: l'esponenziale batte il logaritmo).

Verifica numerica. $x = 5{,}1$: $\approx 10^4$; $x = 5{,}05$: $\approx 1{,}8 \cdot 10^7$; $x = 5{,}02$: $\approx 8{,}7 \cdot 10^{19}$ ✓.

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Errori comuni

• Trattare $1^\infty$ come $1$: è indeterminata; il risultato qui è $e^{-15}$.
• Usare $\log(1 + y) \sim y$ con $y$ che non tende a $0$: prima si scrive l'argomento come $1 + (\text{qualcosa} \to 0)$.
• Sbagliare il segno di $(5 - x)^5$: per $x > 5$ è negativo.