Insiemi numerici: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ

Questa nota presenta i quattro insiemi di numeri del corso, introdotti all'inizio (in modo "intuitivo", con la rappresentazione decimale), e spiega perché i razionali non bastano e servono i reali. Gli intervalli, che si usano in tutto il corso, sono in fondo.

I naturali ℕ

$$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots, n, n+1, \dots\} \qquad \mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N} \setminus \{0\}$$

Attenzione: in questo corso $0 \in \mathbb{N}$. Quando si vogliono i naturali senza lo zero si scrive $\mathbb{N}^*$ (oppure "$n \in \mathbb{N}$, $n \ne 0$", oppure "$n \ge 1$").

Proprietà chiave (che servono per il Principio di induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione →): ogni naturale $n$ ha un successivo $n + 1 \in \mathbb{N}$; ogni naturale $n \ge 1$ ha un precedente $n - 1 \in \mathbb{N}$. Tutti i naturali si ottengono partendo da $0$ e aggiungendo $1$ ripetutamente.

Gli interi ℤ

$$\mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots\}$$

Si aggiungono i negativi. Il motivo: in $\mathbb{N}$ non si può sempre sottrarre ($3 - 5$ non è un naturale), in $\mathbb{Z}$ sì.

I razionali ℚ

Definizione (razionali). $$\mathbb{Q} = \left\{ q = \frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, \ n \in \mathbb{N}^* \right\}$$

Esempio. $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ (ridotta ai minimi termini, con $3$ e $4$ primi tra loro), $0{,}25 = \frac{1}{4}$ e $0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$.

Le frazioni. Il denominatore è in $\mathbb{N}^*$: positivo (il segno si mette nel numeratore) e mai zero (non si divide per zero). In $\mathbb{Q}$ si può sempre dividere per un numero diverso da zero.

Rappresentazione come frazione: non è unica

Lo stesso numero si scrive in infiniti modi: per ogni $h \in \mathbb{N}^*$,

$$\frac{m}{n} = \frac{m \cdot h}{n \cdot h} \qquad \text{per esempio} \quad \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} = \frac{9}{12} = \dots$$

È però sempre possibile scegliere una rappresentazione unica: quella ridotta ai minimi termini, con $m$ e $n$ primi tra loro (senza divisori comuni oltre a $1$). Si ottiene dividendo numeratore e denominatore per tutti i fattori comuni: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Questo fatto è il punto di partenza della dimostrazione che $\sqrt{2}$ non è razionale (sotto).

Rappresentazione decimale

Facendo la divisione si ottiene un numero decimale, per esempio $\frac{1}{4} = 0{,}25$ e $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}$ (la barra indica le cifre che si ripetono all'infinito). In generale un razionale si scrive

$$q = m{,}d_1 d_2 d_3 \dots \qquad m \in \mathbb{Z}, \quad d_1, d_2, \dots \in \{0, 1, \dots, 9\}$$

dove le cifre decimali sono di uno di questi due tipi:

• finite: da un certo punto in poi sono tutte $0$ ($0{,}25 = 0{,}25000\ldots$);
• periodiche: da un certo punto in poi un blocco finito di cifre si ripete per sempre ($0{,}\overline{3}$, oppure $\frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857}$).

Perché succede. Nella divisione $m : n$ i resti possibili sono solo $0, 1, \dots, n-1$. Prima o poi un resto si ripete (o vale $0$), e da lì in poi la divisione ripete gli stessi passi: le cifre diventano periodiche.

I reali ℝ (definizione intuitiva)

Definizione (reali). $$\mathbb{R} = \{ r = m{,}d_1 d_2 d_3 \dots : m \in \mathbb{Z}, \ d_1, d_2, \dots \in \{0, \dots, 9\} \text{ qualsiasi} \}$$

Esempio. $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ ha cifre decimali non periodiche, quindi è un reale irrazionale; $0{,}\overline{3}$ invece è periodico, quindi razionale.

Cioè: tutti gli allineamenti decimali, anche quelli che non finiscono e non diventano mai periodici, come $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ o $\pi = 3{,}14159265\ldots$ I reali che non sono razionali si dicono irrazionali.

Visti in forma decimale, ogni insieme è contenuto strettamente nel successivo:

$$\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}$$

(e più avanti si incontrerà anche $\mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}$, i numeri complessi). Gli "elementi in più" che rendono strette le inclusioni sono, per esempio, $-1 \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$, $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$, $\sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (quest'ultimo va dimostrato: vedi sotto).

Più avanti nel corso i reali vengono descritti in modo preciso tramite le loro proprietà (campo ordinato e completo): vedi Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) → per l'assioma di completezza.

Perché ℚ non basta: $\sqrt{2}$ non è razionale

Teorema. Se $c \in \mathbb{R}$ e $c^2 = 2$, allora $c \notin \mathbb{Q}$.

Esempio. $\frac{99}{70} \approx 1{,}41429$ approssima bene $\sqrt{2}$, ma $\left(\frac{99}{70}\right)^2 = \frac{9801}{4900} \ne 2$: nessuna frazione ha quadrato esattamente $2$.

La dimostrazione (per assurdo) è svolta passo per passo nell'Esercizio 9 · la radice di 2 non è razionale.

Conseguenze.

1. Analitica: l'equazione $x^2 = 2$ non ha soluzioni in $\mathbb{Q}$. Con i soli razionali non si riesce nemmeno a risolvere un'equazione così semplice.
2. Geometrica: $\mathbb{Q}$ non è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta. Si disegni sulla retta il quadrato di lato $1$ costruito sul segmento da $0$ a $1$. Per il teorema di Pitagora la sua diagonale $c$ soddisfa $c^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Puntando il compasso in $0$ e riportando la diagonale sulla retta si trova un punto $P$ a distanza $c$ da $0$: è un punto della retta a cui non corrisponde nessun razionale. Quindi i razionali, pur essendo "fittissimi", lasciano dei buchi sulla retta.

Questo motiva l'introduzione dei reali: in $\mathbb{R}$ (1) l'equazione $x^2 = 2$ ha soluzione, e (2) c'è corrispondenza biunivoca con i punti della retta (la "retta reale" non ha buchi).

Intervalli e semirette

Sono i sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ più usati. Siano $a < b$ numeri reali.

Parentesi quadra = estremo incluso, tonda = escluso. Sulla retta un estremo incluso si disegna con un pallino pieno, uno escluso con un pallino vuoto.

Notazione. Si scrivono gli estremi esclusi con la parentesi quadra rovesciata: $[a, b[$ invece di $[a, b)$, $]a, b]$ invece di $(a, b]$, $]-\infty, b[$ invece di $(-\infty, b)$. Sono due notazioni per la stessa cosa; in questi appunti usiamo le tonde.

Perché a $\pm\infty$ c'è sempre la tonda. $+\infty$ e $-\infty$ non sono numeri reali: indicano solo che la semiretta prosegue senza fine. Non possono quindi "appartenere" all'insieme.

Errori comuni

• Dimenticare che $0 \in \mathbb{N}$ in questo corso.
• Pensare che $\frac{6}{8}$ e $\frac{3}{4}$ siano numeri diversi: sono due scritture dello stesso razionale.
• Credere che ogni decimale infinito sia irrazionale: $0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$ è razionale (è periodico). Irrazionale = infinito e non periodico.
• Scrivere $[a, +\infty]$ con la quadra all'infinito.