Esercizio 109serie telescopica con il logaritmo

In questa pagina 6

Testo. Studiare il carattere di

$\sum_{k=1}^{+\infty} \log\left(\sqrt{\frac{k+1}{k}}\right)$

Passo 1: la condizione necessaria

Prima di tutto si controlla la condizione necessaria: $a_k = \log\sqrt{\frac{k+1}{k}}$ . Per $k \to +\infty$ , $\frac{k+1}{k} = 1 + \frac1k \to 1$ , quindi $\sqrt{\frac{k+1}{k}} \to 1$ e

$\lim_{k \to +\infty} a_k = \log 1 = 0$

La condizione è soddisfatta: la serie può convergere, ma non è detto. Serve un'altra strada.

Passo 2: riconoscere una serie telescopica

Le proprietà del logaritmo permettono di spezzare il quoziente:

$a_k = \log\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k}} = \log\sqrt{k+1} - \log\sqrt k$

(si è usato anche $\sqrt{\frac{k+1}{k}} = \frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt k}$ ). Per metterlo nella forma $b_k - b_{k+1}$ delle serie telescopiche si riordina:

$a_k = -\log\sqrt k - \left(-\log\sqrt{k+1}\right) = b_k - b_{k+1}, \qquad b_k = -\log\sqrt k$

Passo 3: le somme parziali

Per il teorema delle serie telescopiche (o scrivendo i termini e cancellando):

$s_n = (b_1 - \cancel{b_2}) + (\cancel{b_2} - \cancel{b_3}) + \dots + (\cancel{b_n} - b_{n+1}) = b_1 - b_{n+1}$

Con $b_1 = -\log\sqrt1 = -\log 1 = 0$ e $b_{n+1} = -\log\sqrt{n+1}$ :

$s_n = 0 + \log\sqrt{n+1} = \log\sqrt{n+1}$

Verifica sui primi termini: $s_1 = a_1 = \log\sqrt2$ ✓; $s_2 = \log\sqrt2 + \log\sqrt{\tfrac32} = \log\sqrt{2 \cdot \tfrac32} = \log\sqrt3$ ✓.

Passo 4: il limite

$\lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} \log\sqrt{n+1} = +\infty$

perché $\sqrt{n+1} \to +\infty$ e il logaritmo tende a $+\infty$ quando l'argomento tende a $+\infty$ .

$\boxed{\sum_{k=1}^{+\infty} \log\sqrt{\frac{k+1}{k}} = +\infty \quad \text{(serie divergente)}}$

Che cosa insegna

Gli addendi tendono a $0$ , eppure la serie diverge: è un altro esempio (oltre alla serie armonica) che mostra che la condizione necessaria non è sufficiente. Le somme parziali crescono lentissimamente ( $s_{100} = \log\sqrt{101} \approx 2{,}31$ ), ma senza limite.

Errori comuni

Concludere "converge" perché $a_k \to 0$ .
Sbagliare il segno di $b_k$ : con $b_k = \log\sqrt k$ si otterrebbe $a_k = b_{k+1} - b_k$ , cioè la forma opposta; il risultato è lo stesso solo se si sta attenti al segno ( $s_n = b_{n+1} - b_1$ ).

Versione ripasso

Testo. Studiare il carattere di $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty} \log\left(\sqrt{\frac{k+1}{k}}\right)$ .

Metodo: serie telescopica.

Condizione necessaria: $\frac{k+1}{k} \to 1$ , quindi $a_k \to \log 1 = 0$ . La serie può convergere.
Forma telescopica: $a_k = \log\sqrt{k+1} - \log\sqrt k = -\log\sqrt k - \left(-\log\sqrt{k+1}\right) = b_k - b_{k+1}$ con $b_k = -\log\sqrt k$ .
Somme parziali: $s_n = b_1 - b_{n+1} = 0 + \log\sqrt{n+1} = \log\sqrt{n+1}$ (controllo: $s_2 = \log\sqrt2 + \log\sqrt{\tfrac32} = \log\sqrt3$ ✓).
Limite: $\lim_n \log\sqrt{n+1} = +\infty$ .

$\sum_{k=1}^{+\infty} \log\sqrt{\frac{k+1}{k}} = +\infty \quad \text{(serie divergente)}$

Gli addendi tendono a $0$ ma la serie diverge: la condizione necessaria non è sufficiente.

Errori tipici: concludere "converge" perché $a_k \to 0$ ; sbagliare il segno di $b_k$ (con $b_k = \log\sqrt k$ la forma è $b_{k+1} - b_k$ e $s_n = b_{n+1} - b_1$ ).