Integrali riconducibili a funzioni razionali

Prerequisiti: Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →, Integrazione delle funzioni razionaliPer ∫P(x)/Q(x)dx con grado P < grado Q: se Q ha grado 1 si sostituisce y = ax+b (viene un logaritmo); se Q = ax²+bx+c, con Δ > 0 si scompone in fratti semplici A/(x−x₁) + B/(x−x₂) (A, B dal principio di identità dei polinomi), con Δ = 0 si sostituisce y = x − x₁, con Δ < 0 si completa il quadrato e si arriva a un logaritmo più un'arcotangente. Se grado P ≥ grado Q si divide prima; se Q ha grado > 2 si scompone in fattori e si usano i fratti semplici.Integrazione delle funzioni razionali →. Esercizi: Esercizio 141 · sostituzioni che portano a funzioni razionali.

Qui $R(\cdot)$ indica una funzione razionale (quoziente di polinomi) dell'espressione tra parentesi. L'idea comune: con la sostituzione giusta l'integrale diventa $\int R(y)\,dy$, che si sa calcolare.

1. $\int R(f(x))\,f'(x)\,dx$

È la sostituzione standard: $y = f(x)$, $dy = f'(x)\,dx$, e

Formula (integrali del tipo R(f(x)) f'(x)). $$\int R(f(x))\,f'(x)\,dx = \int R(y)\,dy$$ Esempio. $\displaystyle\int\frac{dx}{(1 + x^2)\left[\arctan^2 x + 2\arctan x + 3\right]}$: compare $\frac{1}{1+x^2}$, derivata di $\arctan x$. Con $y = \arctan x$ diventa $\displaystyle\int\frac{dy}{y^2 + 2y + 3}$, razionale con $\frac\Delta4 = 1 - 3 < 0$ (completamento dei quadrati).

2. $\int R(e^x)\,dx$ e $\int R(a^x)\,dx$

Si pone $y = e^x$, $dy = e^x\,dx$. Il $dx$ si ricava come $dx = \frac{dy}{e^x} = \frac{dy}{y}$, quindi

Formula (integrali razionali in e^x). $$\int R(e^x)\,dx = \int\frac{R(e^x)}{e^x}\,e^x\,dx = \int\frac{R(y)}{y}\,dy$$ che è ancora razionale. Con base $a > 0$, $a \ne 1$: $y = a^x$, $dy = a^x\log a\,dx$, quindi $dx = \frac{dy}{y\log a}$.

Esempio. $\displaystyle\int\frac{dx}{2^x - 1}$: si moltiplica sopra e sotto per $2^x$, $\displaystyle\int\frac{2^x\,dx}{2^x(2^x - 1)}$, e con $y = 2^x$, $2^x\,dx = \frac{dy}{\log 2}$, diventa $\displaystyle\frac{1}{\log 2}\int\frac{dy}{y(y - 1)}$: fratti semplici con $\Delta > 0$.

3. Funzioni di $e^x$ ed $e^{-x}$

Integrali come $$\int\frac{dx}{a e^x + b e^{-x} + c}, \qquad \int\frac{dx}{\cosh x}, \qquad \int\frac{dx}{\sinh x}$$ (ricordando $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$). Si moltiplica numeratore e denominatore per $e^x$, così $e^{-x}$ sparisce ($e^x \cdot e^{-x} = 1$): $$\int\frac{dx}{a e^x + b e^{-x} + c} = \int\frac{e^x\,dx}{a e^{2x} + c\,e^x + b}$$ e con $y = e^x$, $dy = e^x\,dx$, si ottiene $\int\frac{dy}{a y^2 + c y + b}$.

Esempio. $\displaystyle\int\frac{dx}{\cosh x} = 2\int\frac{dx}{e^x + e^{-x}} = 2\int\frac{e^x\,dx}{e^{2x} + 1} = 2\int\frac{dy}{y^2 + 1} = 2\arctan(e^x) + k$.

4. $\int R(\sin x, \cos x)\,dx$: la sostituzione $t = \tan\frac x2$

Per funzioni razionali di seno e coseno, come $\displaystyle\int\frac{a\sin x + b\cos x + c}{a_1\sin x + b_1\cos x + c_1}\,dx$, si usa

Formula (sostituzione t = tan(x/2)). $$t = \tan\frac x2 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 2\arctan t \qquad (\text{per } -\pi < x < \pi)$$ Allora $dx = \frac{2}{1 + t^2}\,dt$, e seno e coseno si esprimono razionalmente in $t$ (sono le formule parametriche, dalle formule di duplicazione): $$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \qquad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \qquad \tan x = \frac{2t}{1 - t^2}$$

Da dove vengono: $\sin x = 2\sin\frac x2\cos\frac x2 = \frac{2\sin\frac x2\cos\frac x2}{\sin^2\frac x2 + \cos^2\frac x2}$; dividendo sopra e sotto per $\cos^2\frac x2$ si ottiene $\frac{2\tan\frac x2}{\tan^2\frac x2 + 1} = \frac{2t}{1 + t^2}$. Allo stesso modo $\cos x = \frac{\cos^2\frac x2 - \sin^2\frac x2}{\cos^2\frac x2 + \sin^2\frac x2} = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$.

Esempio. $\displaystyle\int\frac{dx}{\sin x} = \int\frac{1 + t^2}{2t}\cdot\frac{2}{1 + t^2}\,dt = \int\frac{dt}{t} = \log|t| + k = \log\left|\tan\frac x2\right| + k$.

È un metodo che funziona sempre per queste funzioni, ma porta spesso a razionali di grado alto: va usato solo su integrali semplici. Prima conviene spezzare l'integrale e provare sostituzioni più semplici ($y = \sin x$ o $y = \cos x$, se compare la derivata). Esempio: in $\int\frac{3 + 2\cos x}{\sin x}\,dx = 3\int\frac{dx}{\sin x} + 2\int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx$ il primo pezzo si fa con $t = \tan\frac x2$ e il secondo con $y = \sin x$; sostituendo $t = \tan\frac x2$ in tutto si otterrebbe un conto molto più lungo. Vedi Esercizio 142 · la sostituzione t = tan(x/2) solo dove serve.

Riassunto

Errori comuni

• Sostituire $y = e^x$ e lasciare il $dx$: va sostituito con $\frac{dy}{y}$.
• Usare $t = \tan\frac x2$ su un intervallo che contiene $\pm\pi$: lì $\tan\frac x2$ non è definita; la formula vale su intervalli dove $\cos\frac x2 \ne 0$.