Serie notevoli: geometrica, telescopica, armonica

Definizioni di serie, somma e carattere: Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche →. Queste serie servono soprattutto come termini di paragone nei criteri di convergenza (Serie a termini non negativi e criteri del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →). Esercizi: Esercizio 108 · per quali x converge una serie geometrica, Esercizio 109 · serie telescopica con il logaritmo.

1. Serie geometrica

Due cose da ricordare

Progressione geometrica di ragione $q \in \mathbb{R}$ (somma finita, $n$ fissato):

$$\sum_{k=0}^n q^k = 1 + q + q^2 + \dots + q^n = \begin{cases} \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} & q \neq 1 \\[2mm] n + 1 & q = 1 \end{cases}$$

(per $q = 1$ si sommano $n + 1$ uni). La formula per $q \ne 1$ si verifica moltiplicando: $(1 - q)(1 + q + \dots + q^n) = 1 - q^{n+1}$, perché tutti i termini intermedi si cancellano.

Successione geometrica $q^n$, per $n \to +\infty$:

$$\lim_{n \to +\infty} q^n = \begin{cases} 0 & |q| < 1 \\ 1 & q = 1 \\ +\infty & q > 1 \\ \text{non esiste} & q \le -1 \end{cases}$$

(per $q \le -1$ le potenze cambiano segno a ogni passo: $(-2)^n$ salta tra valori positivi e negativi sempre più grandi, $(-1)^n$ tra $1$ e $-1$).

L'esempio della lunghezza di $[0, 2]$

Nelle Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche → si era intuito che $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 2$. Ora si calcola: con $q = \frac12$,

$$s_n = \sum_{k=0}^n \left(\frac12\right)^k = \frac{1 - \frac{1}{2^{n+1}}}{1 - \frac12} = 2\left(1 - \frac{1}{2^{n+1}}\right) \ \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ 2 \cdot (1 - 0) = 2$$

La serie converge e ha somma $2$, la lunghezza dell'intervallo ✓.

Teorema (serie geometrica)

Teorema (serie geometrica). La serie geometrica di ragione $q \in \mathbb{R}$ $$\sum_{k=0}^{+\infty} q^k = \begin{cases} \dfrac{1}{1-q} & \text{se } |q| < 1 \quad \text{(convergente)} \\[2mm] +\infty & \text{se } q \ge 1 \quad \text{(divergente)} \\[1mm] \text{irregolare} & \text{se } q \le -1 \end{cases}$$

Esempio. $\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ e $\sum_{k=0}^{+\infty} 2^k = +\infty$.

Dimostrazione, caso per caso, partendo dalla formula di $s_n$:

• $|q| < 1$: $s_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ e $q^{n+1} \to 0$, quindi $s_n \to \frac{1}{1-q} \in \mathbb{R}$: converge.
• $q = 1$: $s_n = n + 1 \to +\infty$: diverge.
• $q > 1$: $q^{n+1} \to +\infty$, quindi il numeratore $1 - q^{n+1} \to -\infty$, mentre il denominatore $1 - q$ è un numero negativo: $s_n \to \frac{-\infty}{\text{negativo}} = +\infty$. Diverge.
• $q = -1$: è $\sum (-1)^k$, irregolare (visto nelle Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche →).
• $q < -1$: si scrive $q = -|q|$ con $|q| > 1$. Allora $q^{n+1} = (-1)^{n+1}|q|^{n+1}$ e $$s_n = \frac{1 - (-1)^{n+1}|q|^{n+1}}{1 - q}$$ con denominatore $1 - q > 0$. Per $n$ pari ($n + 1$ dispari) il numeratore è $1 + |q|^{n+1} \to +\infty$; per $n$ dispari è $1 - |q|^{n+1} \to -\infty$. Due sottosuccessioni con limiti diversi: $\lim s_n$ non esiste, la serie è irregolare ∎.

Esempi numerici. $\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac13\right)^k = \frac{1}{1 - \frac13} = \frac32$; $\sum_{k=0}^{+\infty} \left(-\frac12\right)^k = \frac{1}{1 + \frac12} = \frac23$; $\sum_{k=0}^{+\infty} 2^k = +\infty$.

Se la serie parte da un indice diverso. $\sum_{k=1}^{+\infty} q^k = \sum_{k=0}^{+\infty} q^k - 1 = \frac{1}{1-q} - 1 = \frac{q}{1-q}$ per $|q| < 1$ (si toglie il termine $q^0 = 1$). Per esempio $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} = 1$.

Quando la ragione dipende da un parametro (per esempio da $x$), la serie converge esattamente per i valori del parametro con $|q| < 1$: Esercizio 108 · per quali x converge una serie geometrica.

2. Serie telescopiche

L'esempio: serie di Mengoli

$$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)} = 1$$

Il trucco. Per ogni $k \ge 1$ l'addendo si spezza in una differenza:

$$a_k = \frac{1}{k(k+1)} = \frac1k - \frac{1}{k+1} \qquad \left(\text{infatti } \frac1k - \frac{1}{k+1} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{1}{k(k+1)}\right)$$

Le somme parziali. Scrivendo i primi casi si vede che quasi tutto si cancella:

• $s_1 = a_1 = 1 - \frac12$;
• $s_2 = a_1 + a_2 = \left(1 - \cancel{\tfrac12}\right) + \left(\cancel{\tfrac12} - \tfrac13\right) = 1 - \frac13$;
• $s_3 = \left(1 - \cancel{\tfrac12}\right) + \left(\cancel{\tfrac12} - \cancel{\tfrac13}\right) + \left(\cancel{\tfrac13} - \tfrac14\right) = 1 - \frac14$;
• in generale (si dimostra per induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione →) $s_n = 1 - \frac{1}{n+1}$.

Quindi $\lim_n s_n = \lim_n \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) = 1$: la serie di Mengoli converge a $1$.

Il nome "telescopica" viene da qui: la somma si "accorcia" come un cannocchiale che si chiude, restano solo il primo e l'ultimo pezzo.

Teorema (serie telescopiche)

Teorema (serie telescopiche). Sia $\sum_{k=1}^{+\infty} a_k$ con $a_k = b_k - b_{k+1}$ per una successione $(b_k)_{k \ge 1}$. Allora per ogni $n \ge 1$ $$s_n = b_1 - b_{n+1}$$ e quindi $$\sum_{k=1}^{+\infty} a_k = \lim_n (b_1 - b_{n+1}) = \begin{cases} b_1 - b & \text{se } \lim_n b_n = b \in \mathbb{R} \quad \text{(convergente)} \\ -\infty & \text{se } \lim_n b_n = +\infty \\ +\infty & \text{se } \lim_n b_n = -\infty \\ \text{irregolare} & \text{se } \lim_n b_n \text{ non esiste} \end{cases}$$

Esempio. $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k(k+1)}$: $a_k = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ con $b_k = \frac{1}{k} \to 0$, quindi la somma è $b_1 - 0 = 1$.

Dimostrazione. $s_1 = b_1 - b_2$; $s_2 = (b_1 - \cancel{b_2}) + (\cancel{b_2} - b_3) = b_1 - b_3$; in generale (per induzione) $s_n = (b_1 - \cancel{b_2}) + (\cancel{b_2} - \cancel{b_3}) + \dots + (\cancel{b_n} - b_{n+1}) = b_1 - b_{n+1}$ ∎.

Attenzione ai segni: se $b_n \to +\infty$ allora $-b_{n+1} \to -\infty$, quindi la serie diverge a $-\infty$.

La serie di Mengoli è telescopica con $b_k = \frac1k$: $b_1 = 1$, $b_n \to 0$, somma $1 - 0 = 1$ ✓.

Perché queste serie sono speciali

Geometriche e telescopiche sono tra le pochissime serie per cui si sa scrivere $s_n$ esplicitamente, senza sommatoria ($s_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}$, $s_n = b_1 - b_{n+1}$). Per quasi tutte le altre è molto difficile calcolare la somma. Per questo, d'ora in poi, ci si limiterà quasi sempre a studiare il carattere della serie: stabilire se converge, diverge o è irregolare, senza calcolarne la somma.

3. Serie armonica generalizzata

È la terza serie notevole: di questa non si sa calcolare la somma, ma se ne conosce il carattere.

Teorema (serie armonica generalizzata). I. $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha}$ converge per $\alpha > 1$ e diverge (a $+\infty$) per $\alpha \le 1$.

II. $\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^\alpha \log^\beta n}$ converge se e solo se $\alpha > 1$ (con $\beta \in \mathbb{R}$ qualsiasi) oppure $\alpha = 1$ e $\beta > 1$. Negli altri casi diverge.

Esempio. $\sum \frac{1}{n^2}$ converge ($\alpha = 2 > 1$); $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge ($\alpha = \frac{1}{2} \le 1$); $\sum \frac{1}{n \log^2 n}$ converge ($\alpha = 1$, $\beta = 2 > 1$).

(La dimostrazione usa il criterio dell'integrale: vedi Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →. La II parte da $n = 2$ perché $\log 1 = 0$. La I è il caso $\beta = 0$ della II.)

Come leggerla. Conta soprattutto l'esponente $\alpha$ di $n$: sopra $1$ converge, sotto $1$ diverge. Il logaritmo, che cresce lentissimo, decide solo nel caso di confine $\alpha = 1$.

La serie armonica $\sum \frac1n$ diverge anche se $\frac1n \to 0$: gli addendi diventano piccoli, ma non abbastanza in fretta. Le somme parziali crescono lentissimamente (come $\log n$): $s_{10} \approx 2{,}93$, $s_{1000} \approx 7{,}49$, $s_{10^6} \approx 14{,}39$, ma superano qualunque numero.

Riepilogo

Errori comuni

• Usare $\frac{1}{1-q}$ quando la serie non parte da $k = 0$: bisogna togliere (o aggiungere) i termini mancanti.
• Usare la formula della somma con $|q| \ge 1$: per $q = 2$ darebbe $\frac{1}{1-2} = -1$, assurdo per una somma di numeri positivi; la serie diverge.
• Pensare che $\frac1n \to 0$ basti per convergere: la serie armonica è il controesempio.
• Confondere il ruolo di $\alpha$ e $\beta$: il logaritmo conta solo se $\alpha = 1$.