Funzioni continue su un intervallo

Prerequisiti: Funzioni continuef è continua in x0 (punto del dominio) se il limite in x0 esiste ed è f(x0); somme, prodotti e quozienti di funzioni continue sono continue, e tutte le funzioni elementari sono continue nel loro dominio.Funzioni continue →, Successioni limitate e monotoneOgni successione convergente è limitata (non viceversa); ogni successione monotona ha limite, uguale al sup se crescente e all'inf se decrescente.Successioni limitate e monotone →, Teoremi sui limiti di funzioniUnicità, criterio di non esistenza, limitatezza locale, limiti delle funzioni monotone, algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco: gli stessi teoremi delle successioni, ottenuti con il teorema ponte.Teoremi sui limiti di funzioni → (permanenza del segno).

Le funzioni continue su un intervallo hanno proprietà globali molto forti: non possono "saltare" da un valore a un altro senza passare per tutti i valori intermedi. Il primo risultato è il teorema degli zeri.

Teorema degli zeri

Teorema. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$. Se $f(a) \cdot f(b) < 0$ ($f(a)$ e $f(b)$ hanno segno opposto), allora esiste $c \in \,]a, b[$ tale che $f(c) = 0$.

Esempio. $f(x) = x^3 + x - 1$ su $[0, 1]$: $f(0) = -1 < 0$ e $f(1) = 1 > 0$, quindi $f$ ha almeno uno zero in $\,]0, 1[$.

Graficamente: il grafico parte sotto l'asse $x$ e arriva sopra (o viceversa); se si disegna senza staccare la penna, deve attraversare l'asse almeno una volta.

• Se $f$ è anche strettamente monotona, lo zero è unico (una funzione strettamente monotona è iniettiva, quindi assume il valore $0$ al massimo una volta).
• Se $f$ non è monotona, gli zeri possono essere più di uno.

È il teorema che giustifica i ragionamenti fatti negli esercizi con le disequazioni miste, del tipo "$h$ è strettamente crescente, $h(0) < 0$ e $h(1) > 0$, quindi c'è un unico zero tra $0$ e $1$" (per esempio nell'Esercizio 50 · dominio e segno di (e^x-5) + x)^√3 - 1).

Le ipotesi sono essenziali

• Serve un intervallo. $f: [a, a_1] \cup [b_1, b] \to \mathbb{R}$, continua, con $f < 0$ su $[a, a_1]$ e $f > 0$ su $[b_1, b]$: $f(a) < 0 < f(b)$ ma $f$ non si annulla mai (il "buco" $]a_1, b_1[$ del dominio permette di saltare lo zero).
• Serve la continuità. $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ con un salto in $x_0$, negativa prima e positiva dopo: $f(a) < 0 < f(b)$ ma nessuno zero (per esempio la funzione segno modificata in $0$, oppure $f(x) = -1$ per $x < x_0$ e $f(x) = 1$ per $x \ge x_0$).

Versioni più generali

• Se $f: \,]a, b[ \,\to \mathbb{R}$ è continua ($a, b$ anche infiniti) e $f(a^+) \cdot f(b^-) < 0$ (i limiti agli estremi hanno segno opposto, anche infiniti), allora esiste $c \in \,]a, b[$ con $f(c) = 0$.
• In particolare, se $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è continua e $f(-\infty) \cdot f(+\infty) < 0$, allora $f$ si annulla in qualche punto. Esempio: ogni polinomio di grado dispari ha almeno uno zero reale (va a $-\infty$ da una parte e a $+\infty$ dall'altra).

(Idea: per la permanenza del segno, vicino ad $a$ e vicino a $b$ ci sono punti $a' < b'$ con $f(a')$ e $f(b')$ di segno opposto, e si applica il teorema su $[a', b']$.)

Dimostrazione: il metodo di bisezione

Si suppone $f(a) < 0 < f(b)$ (l'altro caso è uguale, scambiando i segni). L'idea è dimezzare l'intervallo ripetutamente, tenendo sempre la metà in cui la funzione cambia segno.

Passo 1. Si prende il punto medio $c_1 = \frac{a + b}{2}$ e si calcola $f(c_1)$:

• se $f(c_1) = 0$, si è trovato lo zero ($c = c_1$) e si ha finito;
• se $f(c_1) > 0$, si tiene la metà sinistra: $a_1 = a$, $b_1 = c_1$;
• se $f(c_1) < 0$, si tiene la metà destra: $a_1 = c_1$, $b_1 = b$.

Se non si è finito, il nuovo intervallo $[a_1, b_1]$ soddisfa:

• (a) $a \le a_1 < b_1 \le b$;
• (b) $f(a_1) < 0$ e $f(b_1) > 0$ (la funzione cambia ancora segno agli estremi);
• (c) $b_1 - a_1 = \frac{b - a}{2}$ (lunghezza dimezzata).

Passo 2. Si ripete su $[a_1, b_1]$ con $c_2 = \frac{a_1 + b_1}{2}$, ottenendo $[a_2, b_2]$ con $f(a_2) < 0 < f(b_2)$ e $b_2 - a_2 = \frac{b - a}{2^2}$.

Passo $n$. Con $c_n = \frac{a_{n-1} + b_{n-1}}{2}$ si ottiene, se $f(c_n) \ne 0$:

• (a) $a \le a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n < b_n \le \dots \le b_2 \le b_1 \le b$;
• (b) $f(a_n) < 0$ e $f(b_n) > 0$;
• (c) $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n}$.

Se a un certo passo $f(c_n) = 0$, si è finito. Altrimenti si sono costruite due successioni $(a_n)$ e $(b_n)$.

Le due successioni hanno lo stesso limite.

• Per (a), $(a_n)$ è crescente e limitata ($a \le a_n \le b$): per il teorema sulle successioni monotoneUna successione monotona e limitata converge (al sup se crescente, all'inf se decrescente).Successioni limitate e monotone → converge a un numero $c_1$, e per la permanenza del segno $a \le c_1 \le b$.
• Allo stesso modo $(b_n)$ è decrescente e limitata, quindi converge a un $c_2 \in [a, b]$.
• Per (c), $b_n - a_n = \frac{b - a}{2^n} \to 0$, ma anche $b_n - a_n \to c_2 - c_1$: quindi $c_1 = c_2$. Lo si chiama $c$.

In $c$ la funzione vale $0$. $f$ è continua in $c$, quindi $f(a_n) \to f(c)$ e $f(b_n) \to f(c)$ (il limite "passa dentro"). Per (b) e la permanenza del segno (seconda forma):

• $f(a_n) < 0$ per ogni $n$ $\Rightarrow$ $f(c) = \lim f(a_n) \le 0$;
• $f(b_n) > 0$ per ogni $n$ $\Rightarrow$ $f(c) = \lim f(b_n) \ge 0$.

Quindi $f(c) = 0$. Infine $c \ne a$ e $c \ne b$ perché $f(a) < 0$ e $f(b) > 0$, dunque $c \in \,]a, b[$ ∎.

Il metodo è anche un algoritmo. Dopo $n$ passi lo zero sta in un intervallo di lunghezza $\frac{b - a}{2^n}$: con $10$ passi l'errore è già meno di un millesimo della lunghezza iniziale ($2^{10} = 1024$). È così che si calcolano numericamente gli zeri (per esempio $\bar c \approx 0{,}982$ nell'Esercizio 50).

Teorema dei valori intermedi

Teorema. Sia $I$ un intervallo qualsiasi (anche illimitato, anche $\mathbb{R}$) e $f: I \to \mathbb{R}$ continua su $I$. Allora:

1. $f$ assume tutti i valori compresi tra $\inf_I f$ e $\sup_I f$: per ogni $y \in \,]\inf_I f, \sup_I f[$ esiste $c \in I$ con $f(c) = y$;
2. $f(I)$ è un intervallo, di estremi $\inf_I f$ e $\sup_I f$ (aperto, chiuso o semiaperto a seconda dei casi);
3. in breve: una funzione continua manda intervalli in intervalli.

Esempio. $f(x) = x^2$ su $[0, 2]$ è continua con $\inf = 0$ e $\sup = 4$: assume ogni valore tra $0$ e $4$, e $f([0, 2]) = [0, 4]$.

Dimostrazione del punto 1 (2 e 3 sono conseguenze di 1). Si fissa $y$ con $\inf f < y < \sup f$.

Passo 1. Esistono $x_1, x_2 \in I$ con $f(x_1) < y < f(x_2)$. Perché: se $\inf f$ è un numero reale, per la seconda proprietà dell'estremo inferiore, per ogni $\varepsilon > 0$ c'è un $x_1 \in I$ con $f(x_1) < \inf f + \varepsilon$; scegliendo $\varepsilon$ così piccolo che $\inf f + \varepsilon < y$ si ottiene $f(x_1) < y$. (Se $\inf f = -\infty$, $f$ non è limitata dal basso e un tale $x_1$ esiste a maggior ragione.) Allo stesso modo con $\sup f$ si trova $x_2$. Questa parte non è richiesta.

Passo 2. Si suppone $x_1 < x_2$ (l'altro caso è simmetrico) e si considera $g: [x_1, x_2] \to \mathbb{R}$, $g(x) = f(x) - y$:

• $g$ è continua su $[x_1, x_2] \subseteq I$ (differenza di continue);
• $g(x_1) = f(x_1) - y < 0$ e $g(x_2) = f(x_2) - y > 0$.

Per il teorema degli zeri esiste $c \in \,]x_1, x_2[\, \subseteq I$ con $g(c) = 0$, cioè $f(c) = y$ ∎.

Il metodo grafico

Il teorema giustifica il metodo grafico per equazioni e disequazioni: l'equazione $f(x) = a$ ha soluzione se e solo se la retta orizzontale $y = a$ incontra il grafico di $f$, e per una funzione continua su un intervallo questo succede per tutti gli $a$ tra $\inf f$ e $\sup f$. Esempio completo: Esercizio 67 · quante soluzioni ha arctan x + tanh x = a.

Continuità e monotonia

Dal teorema sui limiti delle funzioni monotone (Teoremi sui limiti di funzioniUnicità, criterio di non esistenza, limitatezza locale, limiti delle funzioni monotone, algebra dei limiti, permanenza del segno, confronto, infinitesima per limitata, algebra degli infiniti, reciproco: gli stessi teoremi delle successioni, ottenuti con il teorema ponte.Teoremi sui limiti di funzioni →): se $f$ è crescente e $x_0$ è interno al dominio, esistono finiti $f(x_0^-) \le f(x_0) \le f(x_0^+)$ (con le disuguaglianze rovesciate se $f$ è decrescente). Quindi:

Corollario. Sia $f: I \to \mathbb{R}$ monotona su un intervallo $I$. Allora:

1. in ogni $x_0$ interno a $I$, $f$ è continua oppure ha una discontinuità di prima specie (un salto $|f(x_0^+) - f(x_0^-)|$);
2. $f$ è continua su $I$ $\iff$ $f(I)$ è un intervallo.

Esempio. La parte intera $[x]$ è crescente e ha un salto di ampiezza $1$ in ogni intero: non è continua, e infatti $f(\mathbb{R}) = \mathbb{Z}$ non è un intervallo.

Perché il punto 2. "$\Rightarrow$" è il teorema dei valori intermedi (vale anche senza monotonia). "$\Leftarrow$": se $f$ monotona avesse un salto in $x_0$, l'immagine avrebbe un "buco": i valori dell'intervallo $[f(x_0^-), f(x_0^+)]$, tranne $f(x_0)$, non verrebbero assunti; quindi $f(I)$ non sarebbe un intervallo.

La novità: per una funzione monotona basta controllare che l'immagine sia un intervallo per sapere che è continua. Questo dimostra la continuità di alcune funzioni elementari. Esempio: $a^x$ ($a > 0$, $a \ne 1$) è strettamente monotona su $\mathbb{R}$ e la sua immagine è $]0, +\infty[$ (ogni $y > 0$ si scrive $a^{\log_a y}$, e l'esistenza di $\log_a y$ viene dalla proprietà di completezza di $\mathbb{R}$): è un intervallo, quindi $a^x$ è continua su $\mathbb{R}$.

Continuità della funzione inversa

Teorema. Sia $f: I \to \mathbb{R}$ continua sull'intervallo $I$. Allora:

1. $f$ è invertibile su $f(I)$ (cioè iniettiva su $I$) $\iff$ $f$ è strettamente monotona su $I$;
2. se $f: I \to f(I)$ è invertibile, l'inversa $f^{-1}: f(I) \to I$ è anch'essa continua.

Esempio. $f(x) = e^x$ è continua e strettamente crescente su $\mathbb{R}$, quindi ha inversa continua $\log : \,]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$.

Punto 1. Che una funzione strettamente monotona sia iniettiva è sempre vero (anche se discontinua). La novità è il viceversa: per le funzioni continue su un intervallo, invertibile implica strettamente monotona. Senza continuità è falso:

$$f(x) = \begin{cases} \frac1x & x > 0 \\ x & x \le 0 \end{cases}$$

è iniettiva e suriettiva su $\mathbb{R}$ (quindi invertibile), ma non è monotona: è crescente per $x \le 0$ e decrescente per $x > 0$ (e ha un salto in $0$).

Punto 2 (dimostrazione). $f$ è continua, quindi $f(I)$ è un intervallo. Per il punto 1 $f$ è strettamente monotona, e allora anche $f^{-1}$ è strettamente monotona su $f(I)$. L'immagine di $f^{-1}$ è $I$, che è un intervallo: per il corollario precedente (applicato a $f^{-1}$, monotona) $f^{-1}$ è continua ∎.

Conseguenza: sono continue le inverse delle funzioni elementari, per esempio $\log_a: \,]0, +\infty[ \,\to \mathbb{R}$ (inversa di $a^x$), $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, $\mathrm{settsinh}$...

Attenzione: l'immagine di un intervallo è un intervallo, ma di qualunque tipo, anche diverso da quello di partenza:

• $\log(]0, +\infty[) = \mathbb{R}$ (da aperto limitato a sinistra a tutto $\mathbb{R}$);
• $\arctan(\mathbb{R}) = \,]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ (da illimitato a limitato);
• $\arcsin([-1, 1]) = [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (chiuso e limitato in chiuso e limitato).

Gli intervalli chiusi e limitati però vanno sempre in intervalli chiusi e limitati: è il teorema di Weierstrass.

Teorema di Weierstrass

Teorema. Sia $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ continua sull'intervallo chiuso e limitato $[a, b]$. Allora:

1. $f$ ha minimo $m$ e massimo $M$ in $[a, b]$: esistono $x_1, x_2 \in [a, b]$ con $$m = f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) = M \qquad \forall x \in [a, b]$$
2. $f([a, b]) = [m, M]$;
3. una funzione continua manda intervalli chiusi e limitati in intervalli chiusi e limitati.

Esempio. $f(x) = x^2$ su $[-1, 2]$: il minimo è $0$ (in $x = 0$), il massimo è $4$ (in $x = 2$) e $f([-1, 2]) = [0, 4]$.

(Un intervallo chiuso e limitato si chiama anche compatto.)

Le ipotesi sono essenziali. Tre controesempi:

1. $f$ discontinua: la mantissa $f(x) = x - [x]$ su $[0, 1]$: vale $x$ per $0 \le x < 1$ e $f(1) = 1 - 1 = 0$. L'immagine è $[0, 1[$: non chiusa, il massimo non c'è (i valori si avvicinano a $1$ senza raggiungerlo).
2. Intervallo non chiuso: $f(x) = \frac1x$ su $]0, 1]$ è continua, ma $f(]0, 1]) = [1, +\infty[$: illimitata, niente massimo.
3. Intervallo illimitato: $f(x) = \arctan x$ su $\mathbb{R}$: $f(\mathbb{R}) = \,]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$, limitato ma non chiuso, niente massimo né minimo.

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Applicarlo senza verificare la continuità su tutto l'intervallo (per esempio a $\frac1x$ su $[-1, 1]$: cambia segno, ma non si annulla, perché in $0$ non è definita).
• Concludere che lo zero è unico senza la stretta monotonia.
• Cercare lo zero negli estremi: il teorema garantisce $c$ interno ad $]a, b[$.