Esercizio 28studio di arcsin(sin x)

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Passo 0: le due formule dell'inversa

Dalla caratterizzazione dell'inversaSe $g$ è l'inversa di $f$: $f(g(y)) = y$ sull'immagine e $g(f(x)) = x$ sul dominio di $f$.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → applicata ad $\arcsin$, inversa di $\sin$ ristretto a $\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$:

1. $\sin(\arcsin x) = x$ per ogni $x \in [-1, 1]$;
2. $\arcsin(\sin x) = x$ per ogni $x \in \left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$ — solo lì!

La formula 2 dice chi è $f$ su $\left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$. Fuori bisogna ragionare.

Passo 1: dominio

L'arcoseno$\arcsin : [-1, 1] \to [-\frac\pi2, \frac\pi2]$, l'inversa del seno ristretto a $[-\frac\pi2, \frac\pi2]$.Funzioni trigonometriche e loro inverse → richiede argomento in $[-1, 1]$, e $-1 \le \sin x \le 1$ per ogni $x$. Quindi $\mathrm{Dom}(f) = \mathbb{R}$.

Passo 2: simmetrie e periodicità

Dispari: $f(-x) = \arcsin(\sin(-x)) = \arcsin(-\sin x) = -\arcsin(\sin x) = -f(x)$ (perché $\sin$ e $\arcsin$ sono entrambe dispari$g(-t) = -g(t)$: il grafico è simmetrico rispetto all'origine.Funzioni monotone, pari e dispari →).

$2\pi$-periodica: $f(x + 2\pi) = \arcsin(\sin(x + 2\pi)) = \arcsin(\sin x) = f(x)$, perché $\sin$ è $2\pi$-periodico.

Quindi (vedi Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T; f(cx) ha periodo T/c, e somme o prodotti di periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale.Funzioni periodiche →) basta studiarla su mezzo periodo, $[0, \pi]$, e poi usare simmetria e periodicità.

Passo 3: $f$ su $[0, \pi]$

Per $x \in \left[0, \frac\pi2\right]$: per la formula 2, $f(x) = x$.

Per $x \in \left(\frac\pi2, \pi\right]$: la formula 2 non si applica direttamente. Il trucco è riportarsi nell'intervallo giusto:

• da $\frac\pi2 < x \le \pi$ segue (moltiplicando per $-1$ e sommando $\pi$) $0 \le \pi - x < \frac\pi2$, cioè $\pi - x \in \left[0, \frac\pi2\right)$;
• e $\sin(\pi - x) = \sin x$. Infatti, essendo il seno dispari, $\sin(\pi - x) = -\sin(x - \pi)$, e $\sin(x - \pi) = -\sin x$ (spostamento di $\pi$); quindi $\sin(\pi - x) = -(-\sin x) = \sin x$.

Allora

$$f(x) = \arcsin(\sin x) = \arcsin(\sin(\pi - x)) = \pi - x$$

dove nell'ultimo passaggio si è usata la formula 2 con $\pi - x \in \left[0, \frac\pi2\right]$.

Riassumendo su $[0, \pi]$:

$$f(x) = \begin{cases} x & 0 \le x \le \frac\pi2 \\ \pi - x & \frac\pi2 < x \le \pi \end{cases}$$

Il grafico sale lungo la bisettrice da $(0, 0)$ a $\left(\frac\pi2, \frac\pi2\right)$, poi scende in linea retta fino a $(\pi, 0)$.

Passo 4: tutto il grafico

Per simmetria dispari si ottiene $[-\pi, 0]$ (scende fino a $\left(-\frac\pi2, -\frac\pi2\right)$ e risale a $(-\pi, 0)$), poi per periodicità si ripete. Il risultato è un'onda triangolare di periodo $2\pi$ e altezza $\frac\pi2$.

Attenzione

$$\arcsin(\sin x) = x \quad \forall x \in \mathbb{R} \qquad \textbf{NO!}$$

Vale solo per $x \in \left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right]$. Per esempio $\arcsin(\sin \pi) = \arcsin 0 = 0 \ne \pi$, e $\arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{4}\right) = \arcsin\frac{\sqrt2}{2} = \frac\pi4 = \pi - \frac{3\pi}{4}$ ✓ (come previsto dalla formula $\pi - x$).

Invece $\sin(\arcsin x) = x$ vale per ogni $x$ del dominio di $\arcsin$, cioè $[-1, 1]$.