Proprietà dell'integrale definito e teorema della media

Continua Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →.

Conseguenze del teorema di integrabilità

Il Teorema 1 di Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann → dice che le funzioni continue sono integrabili. Quindi:

Teorema (integrabilità delle funzioni elementari). Tutte le funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse, e le loro combinazioni), essendo continue nel loro dominio, sono integrabili su ogni intervallo $[a, b]$ contenuto nel dominio.

Esempio 1: $f(x) = \log x$. Il dominio è $x > 0$: $\log x$ è integrabile su ogni $[a, b]$ con $0 < a < b$. Se $a < 1 < b$, il grafico sta sotto l'asse tra $a$ e $1$ e sopra tra $1$ e $b$, quindi $$\int_a^b \log x\,dx = |T^+| - |T^-|.$$ Per ora sappiamo che questo numero esiste ed è finito, ma non sappiamo calcolarlo: servirà il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Esempio 2: la parte intera $f(x) = [x]$ su $[0, 3]$. È monotona crescente, quindi integrabile. Anzi è costante a tratti: $$[x] = \begin{cases} 0 & 0 \le x < 1 \\ 1 & 1 \le x < 2 \\ 2 & 2 \le x < 3 \\ 3 & x = 3 \end{cases}$$ Per il punto 3 del Teorema 1 (funzioni a tratti) e l'integrale delle costanti ($\int_a^b c\,dx = c(b-a)$): $$\int_0^3 [x]\,dx = \int_0^1 0\,dx + \int_1^2 1\,dx + \int_2^3 2\,dx = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 3$$ Sono le aree dei due rettangoli "a gradino" di altezza $1$ e $2$. Il valore $[3] = 3$ nel solo punto $x = 3$ non conta.

Osservazione importante: se si cambia il valore di $f$ in un numero finito di punti, l'integrale non cambia (nelle somme di Cauchy-Riemann quei punti pesano sempre meno al crescere di $n$; geometricamente, un segmento verticale ha area nulla).

Le proprietà

Siano $f, g : [a, b] \to \mathbb{R}$ integrabili in $[a, b]$.

1. Linearità

Proprietà (linearità dell'integrale). $$\int_a^b \left[\alpha f(x) + \beta g(x)\right] dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx \qquad \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$

Perché: le somme di Cauchy-Riemann sono somme finite, e per loro vale $\sum (\alpha f(c_i) + \beta g(c_i))h = \alpha \sum f(c_i)h + \beta \sum g(c_i)h$; passando al limite (algebra dei limiti) si ottiene la formula. In pratica: le costanti escono dall'integrale e l'integrale di una somma è la somma degli integrali.

Esempio: $\int_0^1 (3x + 2)\,dx = 3\int_0^1 x\,dx + \int_0^1 2\,dx = 3 \cdot \frac12 + 2 = \frac72$ (usando $\int_0^1 x\,dx = \frac12$ calcolato in Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →).

2. Monotonia

Proprietà (monotonia dell'integrale).

• Se $f(x) \ge 0$ per ogni $x \in [a, b]$, allora $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \ge 0$ (è l'area $|T| \ge 0$; le somme di Cauchy-Riemann sono tutte $\ge 0$ e il limite di quantità $\ge 0$ è $\ge 0$).
• Se $f(x) \le g(x)$ per ogni $x \in [a, b]$, allora $$\int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$$ Perché: $g - f \ge 0$, quindi per il punto precedente $\int_a^b (g - f)\,dx \ge 0$, e per la linearità $\int_a^b g\,dx - \int_a^b f\,dx \ge 0$.

Esempio. Da $x^2 \le x$ su $[0, 1]$ segue $\int_0^1 x^2\,dx \le \int_0^1 x\,dx$, cioè $\frac{1}{3} \le \frac{1}{2}$.

3. Additività rispetto all'intervallo

Proprietà (additività rispetto all'intervallo). $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx \qquad \forall c \in \,]a, b[$$ (l'area su $[a, b]$ è la somma delle aree su $[a, c]$ e su $[c, b]$).

Convenzioni. Finora l'integrale è definito solo con estremo inferiore $<$ estremo superiore. Si pone: $$\int_a^a f(x)\,dx = 0, \qquad \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$$ (un intervallo di lunghezza zero ha area zero; percorrere l'intervallo "al contrario" cambia il segno). Con queste convenzioni l'additività vale per tre punti qualsiasi $x_1, x_2, x_3 \in [a, b]$, in qualunque ordine: $$\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx = \int_{x_1}^{x_3} f(x)\,dx + \int_{x_3}^{x_2} f(x)\,dx$$ Esempio: con $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 2$ (quindi $x_3$ fuori da $[x_1, x_2]$): $\int_0^2 f + \int_2^1 f = \int_0^2 f - \int_1^2 f = \int_0^1 f$ ✓.

4. Valore assoluto

Proprietà (valore assoluto dell'integrale). $$\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \le \int_a^b |f(x)|\,dx \qquad (a < b)$$

Esempio. $f(x) = x$ su $[-1, 1]$: $\left|\int_{-1}^1 x\,dx\right| = 0 \le \int_{-1}^1 |x|\,dx = 1$.

Perché, graficamente: $\int_a^b f\,dx = |T^+| - |T^-|$, mentre $|f|$ ribalta sopra l'asse la parte negativa, quindi $\int_a^b |f|\,dx = |T^+| + |T^-|$. E $\big||T^+| - |T^-|\big| \le |T^+| + |T^-|$. Per esempio, se $f$ scende in linea retta da sopra a sotto l'asse con $T^+$ e $T^-$ uguali, $\left|\int_a^b f\right| = 0$ mentre $\int_a^b |f| = 2|T^+| > 0$: la disuguaglianza può essere stretta.

(Dimostrazione con la monotonia: $-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)|$, quindi $-\int |f| \le \int f \le \int |f|$, che è proprio $\left|\int f\right| \le \int |f|$.)

5. Funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici

Proprietà (funzioni pari e dispari su intervalli simmetrici). Sia $f$ integrabile su un intervallo simmetrico $[-a, a]$, $a > 0$.

• $f$ pari ($f(-x) = f(x)$, grafico simmetrico rispetto all'asse $y$): le due metà hanno la stessa area, quindi $$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_0^a f(x)\,dx$$
• $f$ dispari ($f(-x) = -f(x)$, grafico simmetrico rispetto all'origine): la parte a sinistra è il ribaltato di quella a destra, sotto l'asse invece che sopra ($|T^-| = |T^+|$), quindi $$\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$$

Esempio. $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\int_0^1 x^2\,dx = \frac{2}{3}$ (pari), mentre $\int_{-\pi}^{\pi} \sin x\,dx = 0$ (dispari).

Dimostrazione (caso pari). Per l'additività $\int_{-a}^a f = \int_{-a}^0 f + \int_0^a f$. Nel primo si sostituisce $y = -x$ ($dy = -dx$; per $x = -a$, $y = a$; per $x = 0$, $y = 0$): $$\int_{-a}^0 f(x)\,dx = \int_a^0 f(-y)\,(-dy) = \int_0^a f(-y)\,dy = \int_0^a f(y)\,dy$$ usando $f(-y) = f(y)$. Quindi il totale è $2\int_0^a f$. Nel caso dispari $f(-y) = -f(y)$ e i due pezzi si cancellano ∎. (Si usa la formula di sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione → negli integrali definiti.)

Come si usa: in un integrale su $[-a, a]$ si spezza la funzione in addendi, si riconoscono quelli dispari (integrale $0$, non serve calcolarli) e quelli pari (si integra su $[0, a]$ e si raddoppia). Ricordare: pari $\cdot$ pari $=$ pari, dispari $\cdot$ dispari $=$ pari, pari $\cdot$ dispari $=$ dispari. Esempi: Esercizio 137 · integrali definiti su intervalli simmetrici.

6. Area della regione tra due grafici

Formula (area della regione tra due grafici). Siano $f, g \in C([a, b])$ con $f(x) \le g(x)$ per ogni $x \in [a, b]$, e $$A = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \in [a, b],\ f(x) \le y \le g(x)\}$$ la regione compresa tra i due grafici. Allora $$|A| = \int_a^b \big[g(x) - f(x)\big]\,dx \qquad (\text{"sopra meno sotto"})$$

Esempio. Tra $f(x) = x^2$ e $g(x) = x$ su $[0, 1]$: $|A| = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Perché. Se $0 \le f \le g$, $A$ è il trapezoide di $g$ meno il trapezoide di $f$: $|A| = \int_a^b g - \int_a^b f = \int_a^b (g - f)$. Se le funzioni scendono sotto l'asse, si sposta tutto in alto: detto $m$ il minimo di $f$ su $[a, b]$ (esiste per Weierstrass), $f - m \ge 0$ e $g - m \ge 0$ hanno la stessa regione traslata, con la stessa area, e $\int_a^b[(g - m) - (f - m)] = \int_a^b(g - f)$: la formula vale comunque.

Se i grafici si incrociano si trovano i punti di intersezione (risolvendo $f(x) = g(x)$) e si spezza l'intervallo, prendendo in ogni pezzo "quella sopra meno quella sotto"; in modo equivalente, $|A| = \int_a^b |g(x) - f(x)|\,dx$. Esempio: Esercizio 158 · area tra una retta e una parabola.

Teorema della media integrale

Teorema (della media integrale). Sia $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ continua in $[a, b]$. Allora esiste $c \in [a, b]$ tale che $$\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx = f(c)$$

Esempio. $f(x) = x^2$ su $[0, 1]$: la media integrale è $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3} = f(c)$ per $c = \frac{1}{\sqrt{3}} \in [0, 1]$.

Il numero $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ si chiama media integrale di $f$ su $[a, b]$: è la generalizzazione della media aritmetica (somma dei valori diviso il loro numero) a infiniti valori.

Significato geometrico

Moltiplicando per $b - a$, la tesi diventa $$\int_a^b f(x)\,dx = f(c)\,(b - a)$$ Se $f \ge 0$: a sinistra c'è l'area del trapezoide, a destra l'area di un rettangolo di base $[a, b]$ e altezza $f(c)$. Il teorema dice che esiste un'altezza $f(c)$, raggiunta davvero da $f$, per cui il rettangolo ha la stessa area del trapezoide: le parti del trapezoide che sporgono sopra la retta $y = f(c)$ compensano esattamente i "buchi" sotto.

Esempio: $f(x) = x$ su $[0, 1]$: $\int_0^1 x\,dx = \frac12$, quindi la media integrale è $\frac{1/2}{1} = \frac12$, e $f(c) = \frac12$ per $c = \frac12$: il rettangolo $[0, 1] \times [0, \frac12]$ ha la stessa area del triangolo.

Dimostrazione

Siccome $f$ è continua in $[a, b]$:

• è integrabile (Teorema 1 di integrabilità), quindi $\int_a^b f\,dx$ esiste;
• ha minimo $m$ e massimo $M$, per il teorema di WeierstrassUna funzione continua su un intervallo chiuso e limitato $[a, b]$ ha massimo e minimo.Funzioni continue su un intervallo →: $m \le f(x) \le M$ per ogni $x \in [a, b]$.

Per la monotonia dell'integrale, integrando i tre membri su $[a, b]$, e usando l'integrale delle costanti: $$m(b - a) = \int_a^b m\,dx \le \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b M\,dx = M(b - a)$$ Si divide per $b - a > 0$ (il verso non cambia): $$m \le \underbrace{\frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx}_{= \, y} \le M$$ Il numero $y$ sta tra il minimo e il massimo di $f$. Per il teorema dei valori intermediUna funzione continua su un intervallo assume tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo.Funzioni continue su un intervallo → esiste $c \in [a, b]$ con $f(c) = y$, cioè la tesi ∎.

Perché serve la continuità: senza, $f$ potrebbe "saltare" il valore $y$. Per esempio $f = 0$ su $[0, 1[$ e $f = 1$ su $[1, 2]$ ha media integrale $\frac12$ su $[0, 2]$, ma non vale mai $\frac12$.

Riassunto

Errori comuni

• Pensare che $\int (f \cdot g) = \int f \cdot \int g$: la linearità vale per somme e costanti, non per i prodotti (per esempio $\int_0^1 x \cdot x\,dx = \frac13$, mentre $\int_0^1 x\,dx \cdot \int_0^1 x\,dx = \frac14$).
• Applicare il teorema della media a funzioni discontinue.
• Dimenticare il segno quando si scambiano gli estremi: $\int_b^a = -\int_a^b$.