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Note per Studenti Esercizio 111 · serie con π meno sin n al numeratore

Esercizio 111serie con π meno sin n al numeratore

In questa pagina 4

Testo. La serie

∑n=1+∞π−sin⁡nn+nlog⁡n\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\pi - \sin n}{\sqrt n + n\log n}

converge?

Passo 1: il fattore che oscilla

Come in Esercizio 110 · serie con il modulo del coseno al numeratore, al numeratore c'è un fattore senza limite: sin⁡n\sin n oscilla tra −1-1 e 11. Però è limitato, e questo basta per stimare il numeratore:

sin⁡n≤1⟹−sin⁡n≥−1⟹π−sin⁡n≥π−1>0\sin n \le 1 \quad \Longrightarrow \quad -\sin n \ge -1 \quad \Longrightarrow \quad \pi - \sin n \ge \pi - 1 > 0

(moltiplicando per −1-1 il verso si inverte). Il numeratore è sempre almeno π−1≈2,14\pi - 1 \approx 2{,}14, e il denominatore è positivo per n≥1n \ge 1. Quindi an>0a_n > 0 e

an=π−sin⁡nn+nlog⁡n≥π−1n+nlog⁡n=bn>0a_n = \frac{\pi - \sin n}{\sqrt n + n\log n} \ge \frac{\pi - 1}{\sqrt n + n\log n} = b_n > 0

Perché minorare e non maggiorare. Si sospetta che la serie diverga (il denominatore cresce solo come nlog⁡nn \log n, che è "al limite" per la convergenza). Per dimostrare la divergenza con il criterio del confrontoSe 0≤bn≤an0 \le b_n \le a_n e ∑bn\sum b_n diverge, diverge anche ∑an\sum a_n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto → serve una serie più piccola che diverge.

Passo 2: carattere di ∑bn\sum b_n

Al denominatore domina nlog⁡nn\log n: nnlog⁡n=1n log⁡n→0\frac{\sqrt n}{n \log n} = \frac{1}{\sqrt n\,\log n} \to 0, quindi n=o(nlog⁡n)\sqrt n = o(n\log n) e

n+nlog⁡n=nlog⁡n+o(nlog⁡n)∼nlog⁡n⟹bn∼(π−1)⋅1nlog⁡n\sqrt n + n\log n = n\log n + o(n\log n) \sim n\log n \qquad \Longrightarrow \qquad b_n \sim (\pi - 1) \cdot \frac{1}{n\log n}

È il caso α=1\alpha = 1, β=1\beta = 1 della serie armonica generalizzata II∑1nαlog⁡βn\sum \frac{1}{n^\alpha \log^\beta n} converge se e solo se α>1\alpha > 1, oppure α=1\alpha = 1 e β>1\beta > 1.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →: con α=1\alpha = 1 serve β>1\beta > 1 per convergere, e qui β=1\beta = 1. Quindi ∑1nlog⁡n\sum \frac{1}{n \log n} diverge, e per il confronto asintotico (corollario, punto 2) diverge anche ∑bn\sum b_n.

Conclusione

an≥bn>0a_n \ge b_n > 0 e ∑bn=+∞\sum b_n = +\infty: per il criterio del confronto

∑n=1+∞π−sin⁡nn+nlog⁡n=+∞(diverge)\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\pi - \sin n}{\sqrt n + n\log n} = +\infty \quad \text{(diverge)}

Errori comuni

  • Maggiorare il numeratore con π+1\pi + 1: si otterrebbe an≤π+1n+nlog⁡na_n \le \frac{\pi+1}{\sqrt n + n \log n}, cioè una serie più grande che diverge, da cui non si conclude nulla.
  • Scrivere an∼π−sin⁡nnlog⁡na_n \sim \frac{\pi - \sin n}{n \log n} e fermarsi: non è un confronto con una serie nota, perché il numeratore non ha limite.
  • Credere che 1nlog⁡n\frac{1}{n \log n} converga "perché c'è il logaritmo in più": con α=1\alpha = 1 serve β>1\beta > 1.

Versione ripasso

Testo. La serie ∑n=1+∞π−sin⁡nn+nlog⁡n\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\pi - \sin n}{\sqrt n + n\log n} converge?

Metodo: Criterio del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto → minorando il termine generale.

  1. Minorazione del numeratore. Essendo sin⁡n≤1\sin n \le 1, si ha π−sin⁡n≥π−1>0\pi - \sin n \ge \pi - 1 > 0. Dunque: an=π−sin⁡nn+nlog⁡n≥π−1n+nlog⁡n=bna_n = \frac{\pi - \sin n}{\sqrt n + n\log n} \ge \frac{\pi - 1}{\sqrt n + n\log n} = b_n
  2. Confronto asintotico. Poiché n=o(nlog⁡n)\sqrt n = o(n\log n), il denominatore si comporta come nlog⁡nn\log n. Quindi bn∼(π−1)1nlog⁡nb_n \sim (\pi - 1) \frac{1}{n\log n}.
  3. Studio della serie minorante. Per il criterio della serie armonica generalizzata II∑1nαlog⁡βn\sum \frac{1}{n^\alpha \log^\beta n} converge sse α>1\alpha > 1 o (α=1,β>1\alpha = 1, \beta > 1)Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →, con α=1\alpha=1 e β=1\beta=1 la serie ∑1nlog⁡n\sum \frac{1}{n\log n} diverge.
  4. Conclusione. Poiché an≥bn>0a_n \ge b_n > 0 e ∑bn\sum b_n diverge, la serie data diverge a +∞+\infty.

Errori tipici: maggiorare il numeratore con π+1\pi + 1 (serie più grande divergente: non dice nulla); credere che 1nlog⁡n\frac{1}{n\log n} converga; scrivere an∼π−sin⁡nnlog⁡na_n \sim \frac{\pi - \sin n}{n\log n} (il numeratore non ha limite).

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