Completezza di ℝ: continuità, separazione, estremo superiore

$\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ sono entrambi campi totalmente ordinati (vedi Campi ordinati (Q e R)Gli assiomi di somma, prodotto e ordine comuni a Q e R, da cui derivano le regole di equazioni e disequazioni.Campi ordinati (Q e R) →). In che cosa differiscono? $\mathbb{R}$ ha tre proprietà, equivalenti tra loro, che $\mathbb{Q}$ non ha:

1. proprietà di continuità (o completezza);
2. proprietà di separazione;
3. proprietà di esistenza dell'estremo superiore (e inferiore).

Per sup e inf vedi Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) →; esercizio chiave: Esercizio 1 · sup dei razionali con x² minore di 2.

I. Proprietà di continuità (geometrica)

$\mathbb{R}$ è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.

È di fatto la definizione intuitiva di $\mathbb{R}$: la "retta reale" non ha buchi. $\mathbb{Q}$ non ha questa proprietà: il punto che si ottiene riportando sulla retta la diagonale del quadrato di lato $1$ non corrisponde a nessun razionale (vedi Esercizio 9 · la radice di 2 non è razionale).

Questa proprietà è geometrica e poco utile nei calcoli. Per questo si introducono due formulazioni equivalenti, più "analitiche".

II. Proprietà di separazione

Definizione. Sia $X \ne \emptyset$ totalmente ordinato. Due sottoinsiemi $A, B \subseteq X$, non vuoti, si dicono separati se

$$a \le b \qquad \forall a \in A, \ \forall b \in B$$

cioè ogni elemento di $A$ sta a sinistra (o coincide con) ogni elemento di $B$.

$X$ ha la proprietà di separazione se per ogni coppia di insiemi $A, B$ separati esiste un elemento separatore $c \in X$:

$$a \le c \le b \qquad \forall a \in A, \ \forall b \in B$$

Esempio. In $\mathbb{R}$, $A = [0, 1]$ e $B = [2, 3]$ sono separati ($a \le b$ per ogni $a \in A$ e $b \in B$) e ogni $c \in [1, 2]$ è un separatore.

Il separatore può appartenere ad $A$, a $B$, o a nessuno dei due. Esempi in $\mathbb{R}$:

• $A = [0, 1]$, $B = [2, 3]$: ogni $c \in [1, 2]$ è un separatore (ce ne sono tanti).
• $A = [0, 1)$, $B = [1, 2]$: l'unico separatore è $c = 1$, che sta in $B$ ma non in $A$.
• $A = [0, 1)$, $B = (1, 2]$: l'unico separatore è $c = 1$, che non sta in nessuno dei due.

Proprietà (separazione di ℝ). $\mathbb{R}$ ha la proprietà di separazione (ed è equivalente alla proprietà I).

Esempio. Per $A = [0, 1)$ e $B = (1, 2]$ il separatore $c = 1$ esiste in $\mathbb{R}$ anche se non sta né in $A$ né in $B$. In $\mathbb{Q}$ invece, per $A = \{x \in \mathbb{Q} : x \ge 0, x^2 < 2\}$ e $B = \{x \in \mathbb{Q} : x \ge 0, x^2 > 2\}$, l'unico candidato sarebbe $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

ℚ non ha la proprietà di separazione

Consideriamo (solo razionali!)

$$A = \{x \in \mathbb{Q} : x \ge 0, \ x^2 < 2\} \qquad B = \{x \in \mathbb{Q} : x \ge 0, \ x^2 > 2\}$$

Intuitivamente $A$ sono i razionali tra $0$ e $\sqrt{2}$, $B$ quelli oltre $\sqrt{2}$ (useremo $\sqrt{2}$ solo per capire, perché non l'abbiamo ancora definito).

• $A$ e $B$ sono separati. Se $a \in A$ e $b \in B$, allora $a^2 < 2 < b^2$, e per numeri non negativi $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$.
• L'unico separatore possibile avrebbe quadrato $2$. Se $c$ fosse un separatore, si dimostra che $c > 0$ e $c^2 = 2$: infatti se fosse $c^2 < 2$ si troverebbe un elemento di $A$ più grande di $c$, e se fosse $c^2 > 2$ un elemento di $B$ più piccolo di $c$ (in entrambi i casi $c$ non separerebbe). Questa parte è data come idea, senza dimostrazione completa.
• Ma un $c$ con $c^2 = 2$ non è razionale (vedi Esercizio 9 · la radice di 2 non è razionale). Quindi in $\mathbb{Q}$ non c'è nessun separatore.

$A$ e $B$ sono separati ma non hanno separatore in $\mathbb{Q}$: $\mathbb{Q}$ non ha la proprietà di separazione. In $\mathbb{R}$ invece il separatore c'è, ed è $\sqrt{2}$.

III. Proprietà dell'estremo superiore

Proprietà (estremo superiore di ℝ). Ogni sottoinsieme $E \subseteq \mathbb{R}$, non vuoto e superiormente limitato, ha estremo superiore $\sup E \in \mathbb{R}$.

Esempio. $E = \{1 - \frac{1}{n} : n \ge 1\} = \{0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \dots\}$ è limitato superiormente da $1$ e ha $\sup E = 1 \in \mathbb{R}$ (non appartiene a $E$).

(Le definizioni di maggiorante, limitato e sup sono in Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) →: il sup è il minimo dei maggioranti.) Analogamente, ogni $E \ne \emptyset$ inferiormente limitato ha $\inf E \in \mathbb{R}$.

In $\mathbb{Q}$ è falso: $E = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$ è limitato, ma il suo sup (che in $\mathbb{R}$ è $\sqrt{2}$) non è razionale, quindi in $\mathbb{Q}$ il sup non esiste. Vedi Esercizio 1 · sup dei razionali con x² minore di 2.

Dimostrazione che II e III sono equivalenti

II $\Rightarrow$ III. Supponiamo che valga la separazione. Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ non vuoto e superiormente limitato; vogliamo trovare $\sup E$.

1. Sia $B$ l'insieme di tutti i maggioranti di $E$. Non è vuoto, perché $E$ è superiormente limitato (ha almeno un maggiorante).
2. $E$ e $B$ sono separati: se $a \in E$ e $L \in B$, allora $a \le L$, proprio perché $L$ è un maggiorante.
3. Per la proprietà di separazione esiste $c \in \mathbb{R}$ con $a \le c \le L$ per ogni $a \in E$ e ogni $L \in B$.
4. La prima disuguaglianza ($a \le c$ per ogni $a \in E$) dice che $c$ è un maggiorante di $E$. La seconda ($c \le L$ per ogni maggiorante $L$) dice che $c$ è il più piccolo dei maggioranti.
5. Quindi $c = \sup E$, e $\sup E \in \mathbb{R}$ ∎.

III $\Rightarrow$ II. Supponiamo che ogni insieme non vuoto superiormente limitato abbia sup in $\mathbb{R}$. Siano $A, B \subseteq \mathbb{R}$ non vuoti e separati; vogliamo un separatore.

1. Fissato un qualunque $b \in B$, si ha $a \le b$ per ogni $a \in A$: quindi ogni $b \in B$ è un maggiorante di $A$, e $A$ è superiormente limitato.
2. Per la III esiste $c = \sup A \in \mathbb{R}$.
3. $c$ è un maggiorante di $A$: $a \le c$ per ogni $a \in A$.
4. $c$ è il minimo dei maggioranti, e ogni $b \in B$ è un maggiorante: quindi $c \le b$ per ogni $b \in B$.
5. Dunque $a \le c \le b$ per ogni $a \in A$, $b \in B$: $c$ è un separatore ∎.

Riassunto: ℝ contro ℚ

Grazie alla III, in $\mathbb{R}$ si può dire:

Ogni $E \subseteq \mathbb{R}$, $E \ne \emptyset$, ha sempre $\inf E \in \mathbb{R}$ oppure $\inf E = -\infty$, e $\sup E \in \mathbb{R}$ oppure $\sup E = +\infty$.

(Se $E$ è superiormente limitato il sup è un numero reale per la III; se non lo è, per definizione $\sup E = +\infty$.)

La definizione di radice quadrata

L'esercizio sul sup di $\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$ è proprio il modo rigoroso di definire $\sqrt{2}$:

$$\sqrt{2} = \sup\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$$

(il sup esiste in $\mathbb{R}$ per la III). Più in generale, per $y \ge 0$ reale:

$$\sqrt{y} = \sup\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < y\}$$

Questo mostra a cosa serve la completezza: garantisce l'esistenza di numeri (come $\sqrt{2}$) che in $\mathbb{Q}$ mancano.

Due teoremi utili negli esercizi

Si enunciano senza dimostrazione (servono negli esercizi).

Teorema (densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$). Per ogni $x, y \in \mathbb{R}$ con $x < y$ esiste $q \in \mathbb{Q}$ tale che $x < q < y$.

Esempio. Tra $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$ e $\sqrt{2} + 0{,}001 \approx 1{,}41521$ c'è il razionale $1{,}415 = \frac{283}{200}$.

In parole: tra due numeri reali distinti c'è sempre un razionale, per quanto vicini siano. Per esempio tra $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$ e $1{,}4143$ c'è il razionale $1{,}41425 = \frac{141425}{100000}$ (non $1{,}4142$, che è più piccolo di $\sqrt2 = 1{,}414213\ldots$). (Idea: si prende un decimale finito, che è razionale, troncando $y$ a un numero di cifre sufficiente.)

Quando si usa: ogni volta che un insieme è fatto di razionali e bisogna trovare un suo elemento in una certa zona, per esempio per dimostrare la condizione con $\varepsilon$ del sup o dell'inf. Esempi: Esercizio 1 · sup dei razionali con x² minore di 2 e Esercizio 13 · razionali minori di 3.

Principio di Archimede. Per ogni $x \in \mathbb{R}$ esiste $n \in \mathbb{N}$ con $n > x$. Vedi Archimedeità di NPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N →: si usa quando l'insieme è fatto di termini $x_n$ indicizzati da $n \in \mathbb{N}$.

Errori comuni

• Pensare che in $\mathbb{Q}$ ogni insieme limitato abbia sup: è proprio ciò che distingue $\mathbb{Q}$ da $\mathbb{R}$.
• Confondere "separati" con "disgiunti": $[0, 1]$ e $[1, 2]$ sono separati ma hanno in comune il punto $1$; $\{0, 2\}$ e $\{1\}$ sono disgiunti ma non separati (non vale $2 \le 1$).
• Credere che il separatore sia unico: lo è solo quando gli insiemi "si toccano".