Equazioni lineari a coefficienti costanti - equazione completa

Prerequisiti: Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneoPer y'' + a1 y' + a0 y = 0 con a0, a1 costanti si cercano soluzioni e^(λt): funzionano se λ è radice del polinomio caratteristico p(λ) = λ² + a1 λ + a0. Δ > 0 (radici λ1 ≠ λ2): y = c1 e^(λ1 t) + c2 e^(λ2 t). Δ = 0 (radice doppia λ): y = (c1 + c2 t) e^(λt). Δ < 0 (radici α ± iω): y = e^(αt)(c1 cos ωt + c2 sin ωt). Lo stesso metodo vale per ogni ordine.Equazioni lineari a coefficienti costanti - caso omogeneo →, Equazioni differenziali lineari del secondo ordiney'' + a1(t)y' + a0(t)y = b(t) con coefficienti continui su un intervallo: le soluzioni sono definite su tutto l'intervallo e il problema di Cauchy con y(t0), y'(t0) ha una sola soluzione. L'integrale generale dell'omogenea è c1 y1 + c2 y2 con y1, y2 soluzioni linearmente indipendenti (controllo con il wronskiano); quello della completa è yp + c1 y1 + c2 y2, con yp una soluzione particolare. Stessa struttura per ogni ordine n.Equazioni differenziali lineari del secondo ordine → (struttura dell'integrale generale della completa).

Che cosa resta da fare

Per l'equazione completa $$y'' + a_1\,y' + a_0\,y = b(t), \qquad a_0, a_1 \in \mathbb{R} \tag{$E_c$}$$ l'integrale generale è $$y(t) = y_0(t) + y_p(t)$$ dove $y_0$ è l'integrale generale dell'omogenea (che si trova con il polinomio caratteristico) e $y_p$ è una soluzione particolare di $(E_c)$. Resta da trovare solo $y_p$.

Lo si sa fare quando $b(t)$ è un polinomio, un esponenziale, un seno o un coseno, oppure un prodotto (o una somma) di queste funzioni: $$b(t) = Q_m(t), \qquad e^{\alpha t}, \qquad \cos(\omega t),\ \sin(\omega t)$$ con $Q_m(t) = b_0 + b_1 t + \dots + b_m t^m$ ($b_m \ne 0$) polinomio di grado $m$.

Il metodo di somiglianza

L'idea: se $b(t)$ è di un certo tipo, si cerca $y_p$ dello stesso tipo, con coefficienti incogniti, e li si trova sostituendo nell'equazione. Funziona perché derivando un polinomio per un esponenziale per un seno/coseno si ottiene ancora una funzione dello stesso tipo.

Criterio (metodo di somiglianza). Metodo. Sia $b(t) = Q_m(t)\,e^{\alpha t}\cos(\omega t)$ (oppure con $\sin(\omega t)$), con $Q_m$ polinomio di grado $m$, $\alpha \in \mathbb{R}$, $\omega \ge 0$. Si considera il numero (eventualmente complesso) $$\bar\lambda = \alpha + i\omega$$ e lo si confronta con le radici del polinomio caratteristico $p(\lambda) = \lambda^2 + a_1\lambda + a_0$.

1. $p(\bar\lambda) \ne 0$ ($\bar\lambda$ non è una radice): una soluzione particolare è $$y_p^1(t) = e^{\alpha t}\left(Q_m^1(t)\cos(\omega t) + Q_m^2(t)\sin(\omega t)\right)$$ con $Q_m^1(t) = A_0 + A_1 t + \dots + A_m t^m$ e $Q_m^2(t) = B_0 + B_1 t + \dots + B_m t^m$ polinomi di grado $m$ i cui coefficienti si trovano sostituendo $y_p^1$ nell'equazione.
2. $\bar\lambda$ è una radice semplice (di molteplicità $1$) di $p$: $y_p(t) = t\cdot y_p^1(t)$.
3. $\bar\lambda$ è una radice doppia di $p$ (succede solo con $\Delta = 0$ e $\bar\lambda$ reale): $y_p(t) = t^2\cdot y_p^1(t)$.

Nei casi 2 e 3 si parla di fenomeno della risonanza.

Esempio. $y'' - 3y' + 2y = e^t$: $\bar\lambda = 1$ è radice semplice di $p(\lambda) = \lambda^2 - 3\lambda + 2$, quindi $y_p = A\,t\,e^t$; sostituendo si trova $A = -1$, cioè $y_p = -t\,e^t$.

Attenzione: anche se in $b(t)$ compare solo il coseno (o solo il seno), in $y_p$ vanno messi entrambi, perché derivando l'uno si ottiene l'altro.

Perché si moltiplica per $t$. Se $\bar\lambda$ è una radice, la funzione $y_p^1$ del caso 1 risolve l'omogenea: sostituita nell'equazione dà $0$, non $b(t)$, e nessuna scelta dei coefficienti funziona. Moltiplicando per $t$ (o $t^2$) si esce dalle soluzioni dell'omogenea, come nel caso $\Delta = 0$ dell'omogenea, dove la seconda soluzione è $t\,e^{\lambda t}$.

I casi particolari più frequenti

Per un polinomio, $b(t) = Q_m(t) = Q_m(t)\,e^{0t}\cos(0t)$: quindi $\alpha = 0$, $\omega = 0$, $\bar\lambda = 0$, e c'è risonanza quando $0$ è radice di $p$, cioè quando $a_0 = 0$ (manca il termine in $y$).

Come si trovano i coefficienti. Si calcolano $y_p'$ e $y_p''$, si sostituisce nell'equazione e si uguagliano i coefficienti delle stesse potenze di $t$ (principio di identità dei polinomi), oppure di $\cos(\omega t)$ e $\sin(\omega t)$ (vale un principio di identità anche per queste combinazioni). Esempi: Esercizio 165 · y'' - 4y' + 4y = 1 + t² con condizioni iniziali, Esercizio 167 · oscillatore armonico forzato e risonanza.

La risonanza nell'oscillatore forzato

Per $y'' + h\,y = 2\cos(2t)$, con $h > 0$ (un punto attaccato a una molla, senza attrito, spinto da una forza esterna periodica), le radici del polinomio caratteristico sono $\pm i\sqrt h$ e $\bar\lambda = 2i$:

• se $h \ne 4$ (la frequenza della forza è diversa da quella propria della molla) la soluzione particolare è $\frac{2}{h - 4}\cos(2t)$, limitata;
• se $h = 4$ (stessa frequenza) c'è risonanza: $y_p = \frac12 t\sin(2t)$, che oscilla con ampiezza che cresce senza limite.

Da qui il nome: una forza limitata, con la frequenza "giusta", produce oscillazioni sempre più ampie. Dettagli nell'Esercizio 167 · oscillatore armonico forzato e risonanza.

Con lo smorzatore la risonanza "pura" scompare. In un sistema reale c'è sempre un po' di attrito, cioè un termine $a_1 y'$ con $a_1 > 0$ (e la molla dà $a_0 > 0$). Allora le radici di $p$ hanno parte reale $-\frac{a_1}{2} < 0$ (o sono reali negative), mentre $\bar\lambda = i\omega$ ha parte reale $0$: non coincidono mai e non serve il fattore $t$. La soluzione particolare ha ampiezza finita (grande se l'attrito è piccolo e $\omega$ vicina alla pulsazione propria), e la parte $y_0$ dell'omogenea, che tende a $0$, è il transitorio. Il caso è trattato per esteso, con ampiezza e fase a regime, in Oscillatore massa-molla-smorzatore e transitoriMassa m, molla k e smorzatore viscoso c con forza esterna F(t): m x'' + c x' + k x = F(t), cioè x'' + (c/m) x' + (k/m) x = F/m. Grandezze: ω0 = √(k/m), smorzamento critico c_cr = 2√(km), ζ = c/c_cr. Libero: c > c_cr due esponenziali negativi (sovrasmorzato, nessuna oscillazione), c = c_cr (c1 + c2 t) e^(−ω0 t), c < c_cr e^(−ct/2m)(c1 cos ωd t + c2 sin ωd t) con ωd = ω0√(1−ζ²); con c > 0 ogni moto libero tende a 0 (transitorio). Forzato F0 cos Ωt con c > 0: x = transitorio + regime permanente X cos(Ωt − φ), X = F0/√((k−mΩ²)² + c²Ω²), tan φ = cΩ/(k−mΩ²); massimo di X per Ω² = k/m − c²/(2m²). Primo ordine m v' + c v = F: v = F/c + (v0 − F/c) e^(−ct/m), costante di tempo τ = m/c.Oscillatore massa-molla-smorzatore e transitori → (Esercizio 174 · oscillatore forzato con smorzamento, transitorio e regime permanente).

Principio di sovrapposizione

Principio (di sovrapposizione). Se $b(t) = b_1(t) + b_2(t)$, l'integrale generale di $y'' + a_1 y' + a_0 y = b_1(t) + b_2(t)$ è $$y(t) = y_0(t) + y_{p_1}(t) + y_{p_2}(t)$$ dove $y_0$ è l'integrale generale dell'omogenea, $y_{p_1}$ una soluzione particolare di $y'' + a_1 y' + a_0 y = b_1(t)$ e $y_{p_2}$ una di $y'' + a_1 y' + a_0 y = b_2(t)$.

Esempio. $y'' - y = 2 + e^{2t}$: per $b_1 = 2$ si ha $y_{p_1} = -2$ e per $b_2 = e^{2t}$ si ha $y_{p_2} = \frac{1}{3}e^{2t}$, quindi $y_p = -2 + \frac{1}{3}e^{2t}$.

Così si tratta un termine noto alla volta, ciascuno con il suo $\bar\lambda$ (uno può dare risonanza e l'altro no).

Dimostrazione (non richiesta). Si sostituisce $y = y_0 + y_{p_1} + y_{p_2}$ e si raggruppa: $$y'' + a_1 y' + a_0 y = \underbrace{(y_0'' + a_1 y_0' + a_0 y_0)}_{0} + \underbrace{(y_{p_1}'' + a_1 y_{p_1}' + a_0 y_{p_1})}_{b_1(t)} + \underbrace{(y_{p_2}'' + a_1 y_{p_2}' + a_0 y_{p_2})}_{b_2(t)} = b_1(t) + b_2(t)$$ Quindi $y$ è soluzione; e $y_{p_1} + y_{p_2}$ è una soluzione particolare, per cui per la struttura dell'integrale generale della completa si ottengono tutte le soluzioni ∎.

Il metodo vale per ogni ordine

Per equazioni lineari a coefficienti costanti di ordine $n$ il metodo è lo stesso: si guarda se $\bar\lambda$ è radice del polinomio caratteristico e con quale molteplicità $k$, e si moltiplica $y_p^1$ per $t^k$.

Errori comuni

• Mettere in $y_p$ solo il coseno quando $b(t)$ contiene solo il coseno: servono sia $A\cos$ sia $B\sin$.
• Dimenticare la risonanza: prima di scrivere $y_p$ si controlla sempre se $\bar\lambda$ è radice di $p$.
• Per un polinomio di grado $m$ usare un polinomio di grado più basso: per $b(t) = 1 + t^2$ serve $A + Bt + Ct^2$ anche se manca il termine in $t$.
• Imporre le condizioni iniziali su $y_0$ invece che su $y_0 + y_p$.