Esercizio 164equazioni omogenee di ordine 3 e 4

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Sono equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti di ordine $3$ e $4$. Il metodo del polinomio caratteristico funziona per ogni ordine: ogni radice $\lambda$ dà la soluzione $e^{\lambda t}$, e se ha molteplicità $k$ dà anche $t\,e^{\lambda t}, \dots, t^{k-1}e^{\lambda t}$. Un'equazione di ordine $n$ ha $n$ soluzioni indipendenti, e l'integrale generale ha $n$ costanti.

(a) Ordine 3

$$p(\lambda) = \lambda^3 - \lambda^2 - 2\lambda + 2$$ Scomposizione per raccoglimento parziale: si raccoglie $\lambda^2$ dai primi due termini e $-2$ dagli ultimi due: $$p(\lambda) = \lambda^2(\lambda - 1) - 2(\lambda - 1) = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 2) = (\lambda - 1)(\lambda - \sqrt2)(\lambda + \sqrt2)$$ (con $\lambda^2 - 2 = (\lambda - \sqrt2)(\lambda + \sqrt2)$, differenza di quadrati).

Tre radici reali distinte, ognuna con la sua esponenziale:

• $\lambda_1 = 1$: $y_1(t) = e^t$;
• $\lambda_2 = \sqrt2$: $y_2(t) = e^{\sqrt2\,t}$;
• $\lambda_3 = -\sqrt2$: $y_3(t) = e^{-\sqrt2\,t}$.

$$y(t) = c_1\,e^t + c_2\,e^{\sqrt2\,t} + c_3\,e^{-\sqrt2\,t} \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}$$

(b) Ordine 4

$$p(\lambda) = \lambda^4 - 3\lambda^3 + 3\lambda^2 - \lambda$$ Manca il termine noto: si raccoglie $\lambda$, $$p(\lambda) = \lambda\left(\lambda^3 - 3\lambda^2 + 3\lambda - 1\right) = \lambda(\lambda - 1)^3$$ perché $\lambda^3 - 3\lambda^2 + 3\lambda - 1$ è il cubo di un binomio(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³; qui a = λ e b = 1, con i coefficienti 1, 3, 3, 1 del triangolo di Tartaglia.Binomio di Newton → $(\lambda - 1)^3$.

Radici:

• $\lambda_1 = 0$, molteplicità $1$: $y_1(t) = e^{0t} = 1$;
• $\lambda_2 = 1$, molteplicità $3$: tre soluzioni, $y_2(t) = e^t$, $y_3(t) = t\,e^t$, $y_4(t) = t^2 e^t$.

$$y(t) = c_1 + \left(c_2 + c_3\,t + c_4\,t^2\right)e^t \qquad \forall t \in \mathbb{R},\ \forall c_1, \dots, c_4 \in \mathbb{R}$$

Verifica (con Python, dsolve): entrambi gli integrali generali coincidono ✓.

Nota. In (b) non compare $y$: si potrebbe porre $v = y'$ e ottenere un'equazione di ordine $3$ in $v$. Ma con i coefficienti costanti il polinomio caratteristico è più rapido.

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Errori comuni

• In (b), dimenticare la radice $\lambda = 0$ (che dà la costante $c_1$) o contarla come $e^0 = 0$.
• Con una radice tripla scrivere $c_2 e^t + c_3 e^t + c_4 e^t$: sono tutte la stessa funzione; servono $e^t$, $t e^t$, $t^2 e^t$.
• Contare male le costanti: ordine $n$, $n$ costanti.