Esercizio 53sin(1/x), x sin(1/x) e il criterio di non esistenza

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1. $\sin\frac1x$ non ha limite per $x \to 0$

L'idea

Quando $x \to 0$, l'argomento $\frac1x$ va all'infinito, e il seno continua a oscillare tra $-1$ e $1$, sempre più in fretta. Per dimostrare che il limite non esiste si usa il criterio di non esistenza: si trovano due successioni che tendono a $0$ lungo le quali $\sin\frac1x$ ha limiti diversi.

La scelta delle successioni

Conviene scegliere i punti in cui il seno vale $1$ e quelli in cui vale $-1$:

• $\sin t = 1$ per $t = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$; si vuole $\frac1x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$, cioè $$x_n^1 = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}$$
• $\sin t = -1$ per $t = \frac32\pi + 2n\pi$, quindi $$x_n^2 = \frac{1}{\frac32\pi + 2n\pi}$$

Verifica delle ipotesi del criterio

• I termini sono diversi da $0$ (sono reciproci di numeri positivi) e stanno nel dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Tendono a $0$: i denominatori tendono a $+\infty$, quindi per il teorema del reciproco $x_n^1 \to 0$ e $x_n^2 \to 0$.

I limiti lungo le due successioni

$$\lim_n \sin\frac{1}{x_n^1} = \lim_n \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = \lim_n 1 = 1$$

$$\lim_n \sin\frac{1}{x_n^2} = \lim_n \sin\left(\frac32\pi + 2n\pi\right) = \lim_n (-1) = -1$$

Sono diversi ($1 \ne -1$), quindi per il criterio $\nexists \lim_{x \to 0} \sin\frac1x$ ∎.

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2. $\lim_{x \to 0} x\sin\frac1x = 0$

Il prodotto è "infinitesima per limitata":

• $\lim_{x \to 0} x = 0$;
• $\left|\sin\frac1x\right| \le 1$ per ogni $x \ne 0$: è limitata (con $M = 1$), anche se non ha limite (punto 1).

Per il teorema infinitesima per limitataSe f tende a 0 e g è limitata vicino a x0, il prodotto f·g tende a 0.Teoremi sui limiti di funzioni →, $\lim_{x \to 0} x\sin\frac1x = 0$ ∎.

Lo stesso con il confronto. Moltiplicando $\left|\sin\frac1x\right| \le 1$ per $|x|$: $\left|x\sin\frac1x\right| \le |x|$, cioè $-|x| \le x\sin\frac1x \le |x|$. Le funzioni $\pm|x|$ tendono a $0$, e per i carabinieri anche $x\sin\frac1x \to 0$. Graficamente: il grafico oscilla, ma è "chiuso" tra le rette $y = x$ e $y = -x$, che si incontrano nell'origine.

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3. $\frac{1}{x\sin\frac1x}$ non ha limite per $x \to 0$

Perché non si può usare il teorema del reciproco

Il teorema del reciproco dice: se $f \to 0^+$ allora $\frac1f \to +\infty$; se $f \to 0^-$ allora $\frac1f \to -\infty$. Qui $f(x) = x\sin\frac1x \to 0$, ma né $0^+$ né $0^-$: vicino a $0$ la funzione cambia segno infinite volte (ogni volta che $\sin\frac1x$ cambia segno). Il teorema non si applica, e infatti il limite non esiste.

(Attenzione anche al dominio: $\frac{1}{x\sin(1/x)}$ non è definita dove $\sin\frac1x = 0$, cioè in $x = \frac{1}{k\pi}$; ma vicino a $0$ restano comunque infiniti punti del dominio, quindi $0$ è di accumulazione e la domanda ha senso.)

Il criterio di non esistenza

Si usano le stesse successioni del punto 1.

$$\frac{1}{f(x_n^1)} = \frac{1}{x_n^1 \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right)} = \frac{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}{1} \to +\infty$$

(dividere per $x_n^1$ equivale a moltiplicare per il suo reciproco $\frac{\pi}{2} + 2n\pi$).

$$\frac{1}{f(x_n^2)} = \frac{1}{x_n^2 \sin\left(\frac32\pi + 2n\pi\right)} = \frac{\frac32\pi + 2n\pi}{-1} \to -\infty$$

Limiti diversi ($+\infty \ne -\infty$): $\nexists \lim_{x \to 0} \frac{1}{x\sin\frac1x}$ ∎.

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Errori comuni

• Usare una sola successione per dire che il limite di $\sin\frac1x$ è $1$: lungo un'altra successione il valore è diverso.
• Pensare che $x\sin\frac1x$ non abbia limite perché $\sin\frac1x$ non ce l'ha: il fattore $x \to 0$ "spegne" le oscillazioni.
• Applicare il reciproco a un limite $0$ senza segno.