Funzioni lineari e isomorfismi

Esercizi svolti: Esercizio 20 · riconoscere le funzioni lineari. Seguito: Coordinate rispetto a una baseFissata una base, ogni vettore ha una e una sola lista di coordinate; la funzione vettore → coordinate è un isomorfismo con K^n, quindi ogni spazio di dimensione n si comporta come K^n (ma l'isomorfismo dipende dalla base).Coordinate rispetto a una base →, Nucleo e immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →, Matrice associata a una funzione lineareFissate una base del dominio e una del codominio, una funzione lineare si codifica in una matrice m×n la cui colonna j contiene le coordinate di f(v_j); le coordinate di f(v) si ottengono moltiplicando la matrice per le coordinate di v, e il rango di f è il numero di colonne indipendenti.Matrice associata a una funzione lineare →.

Finora abbiamo studiato gli spazi vettorialiUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali → uno alla volta. Il secondo grande argomento del corso sono le funzioni tra spazi vettoriali. Uno spazio vettoriale non è un semplice insieme: ha due operazioni (somma di vettori e prodotto per uno scalare). Le funzioni che interessano sono solo quelle che "vanno d'accordo" con queste operazioni.

Da dove nasce la definizione

Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali sullo stesso campo $K$ (pensate pure $K = \mathbb{R}$) e $f : V \to W$ una funzione: a ogni vettore $v \in V$ associa un vettore $f(v) \in W$.

Compatibilità con la somma. Presi $v_1, v_2 \in V$ si possono fare due cose in due ordini diversi:

• prima sommare e poi applicare $f$: si ottiene $f(v_1 + v_2)$;
• prima applicare $f$ a ciascuno e poi sommare: si ottiene $f(v_1) + f(v_2)$.

In generale i due risultati sono diversi. Si vuole che siano uguali.

Compatibilità con il prodotto per uno scalare. Presi $\lambda \in K$ e $v \in V$: moltiplicare prima e poi applicare $f$ dà $f(\lambda v)$; applicare prima $f$ e poi moltiplicare dà $\lambda f(v)$. Anche qui si vuole che i due risultati coincidano.

Definizione

Definizione (funzione lineare). Una funzione $f : V \to W$ tra spazi vettoriali sul campo $K$ si dice lineare se

1. $f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)$ per ogni $v_1, v_2 \in V$ (additività);
2. $f(\lambda v) = \lambda f(v)$ per ogni $\lambda \in K$ e ogni $v \in V$ (omogeneità).

Esempio. $f(x,y) = (2x + y,\ x - y)$ è lineare; $g(x) = x + 1$ non lo è, perché $g(0) = 1 \ne 0$.

Le due condizioni si possono riunire in una sola:

$$f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) = \lambda_1 f(v_1) + \lambda_2 f(v_2) \qquad \forall \lambda_1, \lambda_2 \in K, \ \forall v_1, v_2 \in V$$

cioè: $f$ di una combinazione lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare → è la combinazione lineare, con gli stessi coefficienti, delle immagini.

Perché le due forme sono equivalenti. Se valgono additività e omogeneità, $f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) = f(\lambda_1 v_1) + f(\lambda_2 v_2) = \lambda_1 f(v_1) + \lambda_2 f(v_2)$ (prima l'additività con i due vettori $\lambda_1 v_1$ e $\lambda_2 v_2$, poi l'omogeneità su ciascuno). Viceversa, dalla formula unica con $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$ si riottiene l'additività, e con $\lambda_2 = 0$ l'omogeneità.

Ripetendo il ragionamento, lo stesso vale per combinazioni di quanti vettori si vuole (la sommatoriaIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie → è solo un modo compatto di scrivere la somma):

$$f\Big(\sum_{i=1}^k \lambda_i v_i\Big) = \sum_{i=1}^k \lambda_i f(v_i)$$

Per esempio con tre vettori si raggruppano i primi due e si usa due volte la formula con due vettori: $$f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3) = f\big(1 \cdot (\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) + \lambda_3 v_3\big) = f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) + \lambda_3 f(v_3) = \lambda_1 f(v_1) + \lambda_2 f(v_2) + \lambda_3 f(v_3)$$ In generale si procede per induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione → su $k$: se la formula vale per $k$ vettori, il caso $k + 1$ si ottiene raggruppando i primi $k$ termini in un unico vettore, esattamente come qui.

Le funzioni lineari sono rarissime. Quasi nessuna delle funzioni di Analisi 1 è lineare: dire che $\sin$ è lineare vorrebbe dire $\sin(a + b) = \sin a + \sin b$, che è falso (per esempio $a = b = \frac{\pi}{2}$: a sinistra $\sin \pi = 0$, a destra $1 + 1 = 2$; la formula giusta è quella di addizione delle funzioni trigonometricheSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →, $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$). Lo stesso per $\log(a + b) \ne \log a + \log b$ (è $\log(ab)$ che vale $\log a + \log b$, vedi Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →), per $e^{a + b} = e^a e^b \ne e^a + e^b$, per $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \ne a^2 + b^2$ e così via. Le uniche funzioni lineari da $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ sono le $f(x) = mx$: le rette per l'origine (per l'omogeneità $f(x) = f(x \cdot 1) = x f(1)$, con $m = f(1)$). In questo corso interessano solo le funzioni lineari, perché sono le uniche che rispettano la struttura di spazio vettoriale.

Una funzione lineare manda $\vec 0$ in $\vec 0$

Proposizione (una funzione lineare manda 0 in 0). Se $f : V \to W$ è lineare, allora $f(\vec 0_V) = \vec 0_W$.

Esempio. $f(x,y,z) = (x + 4,\ y)$ ha $f(0,0,0) = (4, 0) \ne (0,0)$: non è lineare.

(Scriviamo $\vec 0_V$ per il vettore nullo di $V$ e $\vec 0_W$ per quello di $W$: sono vettori di spazi diversi.)

Dimostrazione con l'additività. Non sappiamo chi sia $f(\vec 0_V)$: chiamiamolo $w$. Poiché $\vec 0_V + \vec 0_V = \vec 0_V$,

$$w = f(\vec 0_V) = f(\vec 0_V + \vec 0_V) = f(\vec 0_V) + f(\vec 0_V) = w + w$$

dove il terzo passaggio è l'additività. Da $w + w = w$ si somma a entrambi i membri l'opposto $-w$ (esiste perché $W$ è uno spazio vettoriale) e resta $w = \vec 0_W$ ∎.

Dimostrazione con l'omogeneità. Preso un vettore $v$ qualsiasi, $\vec 0_V = 0 \cdot v$ (il numero $0$ per il vettore $v$ dà il vettore nullo: è una delle conseguenze degli assiomi di spazio vettorialeUno spazio vettoriale su un campo K è un insieme con una somma di vettori e un prodotto per scalari che rispettano 7 proprietà. Esempi fondamentali: K^n (somma componente per componente), le funzioni da R in R, i polinomi.Spazi vettoriali →, perché $0 \cdot v = (0 + 0) v = 0 \cdot v + 0 \cdot v$ e sommando l'opposto di $0 \cdot v$ resta $0 \cdot v = \vec 0$). Allora

$$f(\vec 0_V) = f(0 \cdot v) = 0 \cdot f(v) = \vec 0_W$$

perché lo scalare $0$ si può "portare fuori" per l'omogeneità ∎.

A cosa serve: un test rapido. Se $f(\vec 0) \ne \vec 0$, la funzione non è lineare, senza bisogno di altri conti. Attenzione: è una condizione necessaria ma non sufficiente (vedi il secondo esempio qui sotto).

Esempi

Esempio 1 (non lineare: termine noto). $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$, $f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + 4, \ 2x_2 - 7x_3 + x_1)$.

Calcolo $f(0, 0, 0) = (0 + 4, \ 0) = (4, 0) \ne (0, 0)$: il vettore nullo non va nel vettore nullo, quindi $f$ non è lineare. Il colpevole è il termine noto $4$.

Esempio 2 (non lineare: termine di secondo grado). $f(x_1, x_2, x_3) = (x_1 x_2, \ x_2 - x_3)$.

Qui $f(0,0,0) = (0, 0)$: il test rapido non basta, bisogna controllare l'additività. Presi $v_1 = (a, b, c)$ e $v_2 = (a', b', c')$:

$$f(v_1 + v_2) = \big((a + a')(b + b'), \ (b + b') - (c + c')\big) = \big(ab + ab' + a'b + a'b', \ b + b' - c - c'\big)$$

$$f(v_1) + f(v_2) = (ab, \ b - c) + (a'b', \ b' - c') = \big(ab + a'b', \ b + b' - c - c'\big)$$

Le seconde componenti coincidono (lì c'è un'espressione di primo grado), le prime no: in $f(v_1 + v_2)$ compaiono in più i "doppi prodotti" $ab' + a'b$. Con numeri: $v_1 = (1, 1, 0)$, $v_2 = (1, 1, 0)$ danno $f(v_1 + v_2) = f(2, 2, 0) = (4, 2)$ ma $f(v_1) + f(v_2) = (1, 1) + (1, 1) = (2, 2)$. Quindi $f$ non è lineare.

Esempio 3 (lineare). $f(x_1, x_2, x_3) = (3x_1 - x_2 + x_3, \ -2x_1 + 4x_2 - x_3)$. Ogni componente è una somma di termini del tipo (numero)$\cdot x_i$, senza termini noti. Verifica dell'additività sulla prima componente: $3(a + a') - (b + b') + (c + c') = (3a - b + c) + (3a' - b' + c')$; l'omogeneità: $3(\lambda a) - \lambda b + \lambda c = \lambda(3a - b + c)$. Lo stesso per la seconda componente: $f$ è lineare.

Regola pratica (che gli esempi rendono evidente). Una funzione $K^n \to K^m$ scritta in coordinate è lineare esattamente quando ogni componente è un polinomio di primo grado senza termine noto nelle variabili $x_1, \dots, x_n$, cioè della forma $a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n$. Un termine noto rovina $f(\vec 0) = \vec 0$; un termine di grado $\ge 2$ ($x_1^2$, $x_1 x_2$, …) fa comparire termini in più quando si sviluppa $f(v_1 + v_2)$.

L'ultima riga in dettaglio: il valore assolutoIl valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) → non rispetta il prodotto per uno scalare negativo. Con $v = (0, 1)$ e $\lambda = -1$: $f(\lambda v) = f(0, -1) = (0, \lvert -1 \rvert) = (0, 1)$, mentre $\lambda f(v) = -(0, 1) = (0, -1)$. Qui $f(\vec 0) = \vec 0$ e non ci sono termini noti né prodotti, ma $\lvert x_2 \rvert$ non è un polinomio di primo grado: la regola pratica lo esclude.

Nomi

• Una funzione lineare si chiama anche omomorfismo (di spazi vettoriali).
• Un isomorfismo è una funzione lineare biiettiva (iniettiva e suriettiva), quindi invertibile: sono le stesse nozioni di funzione iniettiva, suriettiva e inversainiettiva: punti diversi hanno immagini diverse; suriettiva: ogni elemento del codominio è immagine di qualcosa; biiettiva: entrambe, e allora esiste la funzione inversaFunzioni iniettive, suriettive e inverse → viste in Analisi 1, applicate a funzioni tra spazi vettoriali. Se esiste un isomorfismo $V \to W$ si dice che $V$ e $W$ sono isomorfi e si scrive $V \cong W$.
• Un endomorfismo è una funzione lineare da uno spazio in sé stesso, $f : V \to V$ (dominio e codominio coincidono).

Due fatti utili, con dimostrazione immediata:

• La compostaLa composta g(f(x)) e come trovarne il dominio, somma, prodotto e quoziente di funzioni, e i grafici di f(x+a), f(x)+a, f(|x|) e |f(x)|.Composizione e operazioni tra funzioni → di funzioni lineari è lineare. Se $f : V \to W$ e $g : W \to Z$ sono lineari, $(g \circ f)(v) = g(f(v))$ e $$(g \circ f)(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) = g\big(f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2)\big) = g\big(\lambda_1 f(v_1) + \lambda_2 f(v_2)\big) = \lambda_1 g(f(v_1)) + \lambda_2 g(f(v_2))$$ Nel secondo passaggio si usa la linearità di $f$; nel terzo quella di $g$, applicata ai due vettori $f(v_1), f(v_2)$ di $W$.
• L'inversa di un isomorfismo è lineare. Sia $f$ un isomorfismo e siano $w_1, w_2 \in W$. Poiché $f$ è biiettiva esistono (unici) $v_1 = f^{-1}(w_1)$ e $v_2 = f^{-1}(w_2)$, cioè $f(v_1) = w_1$ e $f(v_2) = w_2$. Per la linearità di $f$ $$f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2) = \lambda_1 f(v_1) + \lambda_2 f(v_2) = \lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2$$ Applicando $f^{-1}$ a entrambi i membri (e usando $f^{-1}(f(x)) = x$) si ottiene $f^{-1}(\lambda_1 w_1 + \lambda_2 w_2) = \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 = \lambda_1 f^{-1}(w_1) + \lambda_2 f^{-1}(w_2)$: è la linearità di $f^{-1}$.

Esempi nel piano: rotazione e proiezione

Per vedere una funzione lineare $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ basta guardare dove vanno $e_1 = (1, 0)$ ed $e_2 = (0, 1)$ (il motivo è il teorema della sezione successiva).

Rotazione di 90° in senso antiorario: $R(x, y) = (-y, \ x)$. Ogni componente è di primo grado senza termine noto, quindi $R$ è lineare (è un endomorfismo di $\mathbb{R}^2$). Si ha $R(e_1) = (0, 1) = e_2$ e $R(e_2) = (-1, 0) = -e_1$. È biiettiva: la funzione $R^{-1}(x, y) = (y, \ -x)$ (rotazione di 90° in senso orario) la disfa, perché $R(R^{-1}(x, y)) = R(y, -x) = (x, y)$ e $R^{-1}(R(x, y)) = R^{-1}(-y, x) = (x, y)$. Quindi $R$ è un isomorfismo.

Proiezione sull'asse $x$: $p(x, y) = (x, \ 0)$. È lineare, con $p(e_1) = e_1$ e $p(e_2) = (0, 0)$. Non è un isomorfismo: non è iniettiva ($p(0, 1) = p(0, 0) = (0, 0)$, due vettori diversi con la stessa immagine) e non è suriettiva ($(0, 1)$ non è immagine di nessun vettore, perché la seconda componente di $p(x, y)$ è sempre $0$). Il quadrato unitario viene "schiacciato" sul segmento $[0, 1]$ dell'asse $x$: si perde un'intera direzione, quella di $e_2$. Quale sottospazio va perso e quale resta lo dicono nucleo e immagine, in Nucleo e immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →.

Una funzione lineare è determinata dalle immagini di una base

Questo è il motivo per cui le funzioni lineari sono così comode.

Teorema (una funzione lineare è determinata dalle immagini di una base). Sia $\{v_1, \dots, v_n\}$ una baseDei vettori generano V se ogni vettore di V è loro combinazione lineare; una base è un insieme di generatori linearmente indipendenti, e allora ogni vettore si scrive in modo unico come combinazione dei vettori di base. Lemma dello scambio: i vettori indipendenti non sono mai più dei generatori.Generatori e basi → di $V$.

1. (Unicità) Una funzione lineare $f : V \to W$ è completamente determinata dai vettori $f(v_1), \dots, f(v_n)$.
2. (Esistenza) Comunque si scelgano $n$ vettori $w_1, \dots, w_n \in W$ (anche uguali, anche nulli), esiste una e una sola funzione lineare $f : V \to W$ con $f(v_1) = w_1, \dots, f(v_n) = w_n$.

Dimostrazione.

1. Ogni $v \in V$ si scrive in modo unico come $v = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n$ (è la proprietà delle basi). Per la linearità $$f(v) = \lambda_1 f(v_1) + \lambda_2 f(v_2) + \dots + \lambda_n f(v_n)$$ Quindi, se conosco $f(v_1), \dots, f(v_n)$, so calcolare $f(v)$ per ogni $v$: conosco tutta la funzione.
2. Si definisce $f(\lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n) = \lambda_1 w_1 + \dots + \lambda_n w_n$. La definizione ha senso perché i coefficienti $\lambda_i$ di $v$ sono unici. La funzione è lineare: se $v = \sum \lambda_i v_i$ e $v' = \sum \lambda'_i v_i$, allora $\alpha v + \beta v' = \sum (\alpha\lambda_i + \beta\lambda'_i) v_i$ e quindi $f(\alpha v + \beta v') = \sum (\alpha\lambda_i + \beta\lambda'_i) w_i = \alpha f(v) + \beta f(v')$. Ed è unica per il punto 1 ∎.

Per le funzioni non lineari niente del genere è vero: conoscere $\sin$ in tre punti non dice nulla su $\sin$ negli altri.

Nel grafico la formula di $f$ si ricava proprio come dice il teorema: $(x, y) = x e_1 + y e_2$, quindi $f(x, y) = x(2, 1) + y(-1, 1) = (2x - y, \ x + y)$. Il quarto vertice del quadrato, $(1, 1) = e_1 + e_2$, va in $f(e_1) + f(e_2) = (2, 1) + (-1, 1) = (1, 2)$: è il quarto vertice del parallelogramma.

Attenzione: i vettori $v_1, \dots, v_n$ devono essere indipendenti. Se fossero dipendenti le immagini non si potrebbero scegliere liberamente: per esempio da $u_3 = u_1 + u_2$ segue per forza $f(u_3) = f(u_1) + f(u_2)$. È proprio la domanda (d) dell'Esercizio 24 · nucleo, immagine e immagine di un sottospazio (appello 17/6/2025).

Esempio. Esiste una funzione lineare $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ con $f(1, 0) = (1, 2, 0)$ e $f(0, 1) = (-1, 0, 3)$? Sì e una sola, perché $(1,0), (0,1)$ è una base. Per calcolarla in un vettore qualsiasi: $(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)$, quindi $$f(x, y) = x(1, 2, 0) + y(-1, 0, 3) = (x - y, \ 2x, \ 3y)$$ (si sommano componente per componente: $x \cdot 1 + y \cdot (-1)$, $x \cdot 2 + y \cdot 0$, $x \cdot 0 + y \cdot 3$). Per esempio $f(2, 5) = (2 - 5, \ 2 \cdot 2, \ 3 \cdot 5) = (-3, 4, 15)$. Controllo: $f(1, 0) = (1, 2, 0)$ e $f(0, 1) = (-1, 0, 3)$, come richiesto.

Le immagini di vettori indipendenti possono essere dipendenti

Una funzione lineare non trasforma necessariamente vettori indipendenti in vettori indipendenti.

Esempio. $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$, $f(x_1, x_2, x_3) = (2x_1 - x_2 + 3x_3, \ 3x_2 - x_3, \ 2x_1 + 2x_2 + 2x_3)$. Sulla base canonica:

$$f(e_1) = (2, 0, 2), \qquad f(e_2) = (-1, 3, 2), \qquad f(e_3) = (3, -1, 2)$$

Per vedere se sono indipendenti si pone $\lambda_1 f(e_1) + \lambda_2 f(e_2) + \lambda_3 f(e_3) = \vec 0$:

$$\begin{cases} 2\lambda_1 - \lambda_2 + 3\lambda_3 = 0 \\ 3\lambda_2 - \lambda_3 = 0 \\ 2\lambda_1 + 2\lambda_2 + 2\lambda_3 = 0 \end{cases}$$

Dalla seconda $\lambda_3 = 3\lambda_2$; sostituendo, la prima diventa $2\lambda_1 - \lambda_2 + 3 \cdot 3\lambda_2 = 2\lambda_1 + 8\lambda_2 = 0$ e anche la terza diventa $2\lambda_1 + 2\lambda_2 + 2 \cdot 3\lambda_2 = 2\lambda_1 + 8\lambda_2 = 0$. Prima e terza sono diventate la stessa equazione: restano due equazioni indipendenti ($\lambda_3 = 3\lambda_2$ e $\lambda_1 = -4\lambda_2$) in tre incognite, quindi $\lambda_2$ è libera e ci sono infinite soluzioni (per esempio $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = 3$, $\lambda_1 = -4$). Infatti, componente per componente, $$-4(2, 0, 2) + (-1, 3, 2) + 3(3, -1, 2) = (-8 - 1 + 9, \ 0 + 3 - 3, \ -8 + 2 + 6) = (0, 0, 0)$$ I tre vettori sono dipendenti (per la definizione di dipendenza lineareUna combinazione lineare è una somma di vettori moltiplicati per scalari. I vettori sono linearmente indipendenti se l'unica combinazione che dà il vettore nullo è quella con tutti i coefficienti nulli; altrimenti sono dipendenti, e allora uno di essi è combinazione lineare degli altri.Combinazioni lineari e dipendenza lineare →: esiste una combinazione nulla con coefficienti non tutti nulli), anche se $e_1, e_2, e_3$ erano una base.

Quello che resta vero è che le immagini dei vettori di una base generano l'immagine di $f$: si vede in Nucleo e immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →.

Errori comuni

• Concludere che $f$ è lineare solo perché $f(\vec 0) = \vec 0$: è necessario ma non basta (esempio 2).
• Verificare l'additività su due vettori numerici particolari e dichiarare $f$ lineare: un esempio numerico può solo dimostrare che $f$ non è lineare; per dimostrare che lo è servono vettori generici.
• Confondere il vettore nullo con il numero zero: in $f(0 \cdot v) = 0 \cdot f(v)$ il primo $0$ è uno scalare, il risultato è il vettore $\vec 0_W$.
• Assegnare immagini arbitrarie a vettori dipendenti: si può fare solo sui vettori di una base.