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Note per Studenti Esercizio 121 · forma trigonometrica ed esponenziale e formula di De Moivre

Esercizio 121forma trigonometrica ed esponenziale e formula di De Moivre

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Testo.

  1. Scrivere in forma trigonometrica ed esponenziale z1=−3+iz_1 = -\sqrt3 + i, z2=−2iz_2 = -2i e z3=3−3iz_3 = 3 - 3i.
  2. Calcolare z16z_1^6 in forma algebrica.
  3. Calcolare (1+i3−i)12\left(\dfrac{1 + i}{\sqrt3 - i}\right)^{12}.
  4. Usando la formula di De Moivre con n=3n = 3, ricavare cos⁡3θ\cos 3\theta in funzione di cos⁡θ\cos\theta.

Teoria: Numeri complessi - forma algebrica, trigonometrica ed esponenzialeUn numero complesso è z = a + ib con i² = −1: si somma e si moltiplica come un polinomio in i, si divide con il coniugato, e si disegna come il punto (a, b) del piano. In forma trigonometrica z = r(cos θ + i sin θ) = r e^{iθ} il prodotto moltiplica i moduli e somma gli argomenti, da cui la formula di De Moivre zⁿ = rⁿ e^{inθ} e le n radici n-esime, che stanno ai vertici di un poligono regolare. Il teorema fondamentale dell'algebra dice che ogni polinomio di grado n ha n radici complesse (contate con molteplicità).Numeri complessi - forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale →.

1. Forme trigonometrica ed esponenziale

Per ogni numero si calcola il modulo r=a2+b2r = \sqrt{a^2 + b^2} e poi si cerca l'angolo θ\theta con cos⁡θ=ar\cos\theta = \frac ar e sin⁡θ=br\sin\theta = \frac br, disegnando il punto per riconoscere il quadrante.

z1=−3+iz_1 = -\sqrt3 + i. r=3+1=2r = \sqrt{3 + 1} = 2; cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt3}2 e sin⁡θ=12\sin\theta = \frac12: secondo quadrante, θ=5π6\theta = \frac{5\pi}6 (il supplementare di π6\frac\pi6). Quindi z1=2(cos⁡5π6+isin⁡5π6)=2ei5π/6.z_1 = 2\left(\cos\tfrac{5\pi}6 + i\sin\tfrac{5\pi}6\right) = 2e^{i5\pi/6} . (La formula arctan⁡ba=arctan⁡(−13)=−π6\arctan\frac{b}{a} = \arctan\left(-\frac1{\sqrt3}\right) = -\frac\pi6 sarebbe sbagliata di π\pi: il punto ha a<0a < 0.)

z2=−2iz_2 = -2i. È sull'asse immaginario negativo: r=2r = 2, θ=−π2\theta = -\frac\pi2 (oppure 3π2\frac{3\pi}2). z2=2(cos⁡(−π2)+isin⁡(−π2))=2e−iπ/2z_2 = 2\left(\cos\left(-\frac\pi2\right) + i\sin\left(-\frac\pi2\right)\right) = 2e^{-i\pi/2}. Qui arctan⁡−20\arctan\frac{-2}0 non esiste: conferma che serve guardare il disegno.

z3=3−3iz_3 = 3 - 3i. r=9+9=32r = \sqrt{9 + 9} = 3\sqrt2; cos⁡θ=332=22\cos\theta = \frac{3}{3\sqrt2} = \frac{\sqrt2}2, sin⁡θ=−22\sin\theta = -\frac{\sqrt2}2: quarto quadrante, θ=−π4\theta = -\frac\pi4. z3=32 e−iπ/4z_3 = 3\sqrt2\, e^{-i\pi/4}.

2. z16z_1^6

Per la formula di De Moivre si elevano il modulo e si moltiplica l'argomento: z16=26 ei 6⋅5π/6=64 ei5π=64(cos⁡5π+isin⁡5π)=64(−1+0)=−64.z_1^6 = 2^6\, e^{i\,6\cdot 5\pi/6} = 64\,e^{i5\pi} = 64(\cos 5\pi + i\sin 5\pi) = 64(-1 + 0) = -64 . (5π=π+2⋅2π5\pi = \pi + 2 \cdot 2\pi, quindi coincide con π\pi.) Controllo con z12z_1^2: (−3+i)2=3−23 i+i2=2−23 i(-\sqrt3 + i)^2 = 3 - 2\sqrt3\, i + i^2 = 2 - 2\sqrt3\, i, di modulo 4+12=4=22\sqrt{4 + 12} = 4 = 2^2 ✓; poi (z12)3=(2−23i)3(z_1^2)^3 = (2 - 2\sqrt3 i)^3 ha modulo 6464 e argomento 3⋅(−π3)=−π3 \cdot \left(-\frac{\pi}3\right) = -\pi, cioè −64-64 ✓.

3. Quoziente elevato alla dodicesima

Il numeratore è 1+i=2 eiπ/41 + i = \sqrt2\,e^{i\pi/4}. Il denominatore 3−i\sqrt3 - i ha r=2r = 2, cos⁡θ=32\cos\theta = \frac{\sqrt3}2, sin⁡θ=−12\sin\theta = -\frac12, quindi 3−i=2e−iπ/6\sqrt3 - i = 2e^{-i\pi/6}. Nel quoziente i moduli si dividono e gli argomenti si sottraggono: 1+i3−i=22 ei(π4+π6)=12 ei5π/12\frac{1 + i}{\sqrt3 - i} = \frac{\sqrt2}{2}\, e^{i\left(\frac\pi4 + \frac\pi6\right)} = \frac1{\sqrt2}\, e^{i5\pi/12} (π4+π6=3π+2π12\frac\pi4 + \frac\pi6 = \frac{3\pi + 2\pi}{12}). Elevando alla 1212: (12)12ei 12⋅5π/12=126 ei5π=164(−1)=−164.\left(\frac1{\sqrt2}\right)^{12} e^{i\,12\cdot 5\pi/12} = \frac1{2^6}\,e^{i5\pi} = \frac1{64}(-1) = -\frac1{64} .

4. cos⁡3θ\cos 3\theta

Per De Moivre con n=3n = 3: (cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+isin⁡3θ(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta. Si sviluppa il cubo del binomio con c=cos⁡θc = \cos\theta e s=sin⁡θs = \sin\theta: (c+is)3=c3+3c2(is)+3c(is)2+(is)3=c3−3cs2+i (3c2s−s3),(c + is)^3 = c^3 + 3c^2(is) + 3c(is)^2 + (is)^3 = c^3 - 3cs^2 + i\,(3c^2 s - s^3), perché (is)2=−s2(is)^2 = -s^2 e (is)3=−is3(is)^3 = -is^3. Uguagliando le parti reali: cos⁡3θ=c3−3cs2\cos 3\theta = c^3 - 3cs^2. Con s2=1−c2s^2 = 1 - c^2: cos⁡3θ=c3−3c(1−c2)=4c3−3c=4cos⁡3θ−3cos⁡θ.\cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4c^3 - 3c = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta . Controllo con θ=0\theta = 0: 4−3=1=cos⁡04 - 3 = 1 = \cos 0 ✓; con θ=π3\theta = \frac\pi3: 4⋅18−32=−1=cos⁡π4 \cdot \frac18 - \frac32 = -1 = \cos\pi ✓. Uguagliando le parti immaginarie si ottiene anche sin⁡3θ=3sin⁡θ−4sin⁡3θ\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta.

Errori comuni

  • Usare arctan⁡ba\arctan\frac ba senza controllare il quadrante: per z1z_1 darebbe −π6-\frac\pi6 invece di 5π6\frac{5\pi}6.
  • In De Moivre dimenticare di elevare anche il modulo (rnr^n) o di moltiplicare l'argomento per nn.
  • Lasciare un argomento come 5π5\pi senza ridurlo: va bene per calcolare (cos⁡5π=−1\cos 5\pi = -1), ma conviene ricondurlo a (−π,π](-\pi, \pi].

Versione ripasso

Testo. Forme trigonometrica ed esponenziale di −3+i-\sqrt3 + i, −2i-2i, 3−3i3 - 3i; z16z_1^6; (1+i3−i)12\left(\frac{1 + i}{\sqrt3 - i}\right)^{12}; cos⁡3θ\cos 3\theta.

  • z1=−3+iz_1 = -\sqrt3 + i: r=2r = 2, θ=5π6\theta = \frac{5\pi}6 (secondo quadrante, non −π6-\frac\pi6): z1=2ei5π/6z_1 = 2e^{i5\pi/6}.
  • z2=−2i=2e−iπ/2z_2 = -2i = 2e^{-i\pi/2}; z3=3−3i=32 e−iπ/4z_3 = 3 - 3i = 3\sqrt2\,e^{-i\pi/4}.
  • z16=26ei5π=−64z_1^6 = 2^6 e^{i5\pi} = -64 (De Moivre).
  • 1+i=2 eiπ/41 + i = \sqrt2\,e^{i\pi/4}, 3−i=2e−iπ/6\sqrt3 - i = 2e^{-i\pi/6}: quoziente =12ei5π/12= \frac1{\sqrt2}e^{i5\pi/12}, dodicesima potenza =164ei5π=−164= \frac1{64}e^{i5\pi} = -\frac1{64}.
  • (c+is)3=c3−3cs2+i(3c2s−s3)(c + is)^3 = c^3 - 3cs^2 + i(3c^2 s - s^3), parte reale: cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta.

Errori tipici: arcotangente senza quadrante; in De Moivre non elevare il modulo. Passaggi. −3+i-\sqrt3 + i: cos⁡θ=−32\cos\theta = -\frac{\sqrt3}2, sin⁡θ=12\sin\theta = \frac12, secondo quadrante. 1+i3−i\frac{1 + i}{\sqrt3 - i}: moduli 22\frac{\sqrt2}2, argomento π4−(−π6)=5π12\frac\pi4 - \left(-\frac\pi6\right) = \frac{5\pi}{12}, dodicesima potenza: modulo 2−62^{-6}, argomento 5π5\pi. (c+is)3=c3+3ic2s−3cs2−is3(c + is)^3 = c^3 + 3ic^2 s - 3cs^2 - is^3; con s2=1−c2s^2 = 1 - c^2: c3−3c(1−c2)=4c3−3cc^3 - 3c(1 - c^2) = 4c^3 - 3c. Controllo: θ=π3\theta = \frac\pi3 dà 4⋅18−32=−1=cos⁡π4\cdot\frac18 - \frac32 = -1 = \cos\pi.

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