Esercizio 142scomposizione di una forza su un piano inclinato

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1. Componenti parallela e perpendicolare

La direzione del piano è $t = (\cos30^\circ, \sin30^\circ) = \left(\frac{\sqrt3}2, \frac12\right)$, unitaria. La proiezione ortogonale su $\langle t\rangle$ è $P_t = tt^T$: $$P_t = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}2 \\ \frac12 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}2 & \frac12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac34 & \frac{\sqrt3}4 \\ \frac{\sqrt3}4 & \frac14 \end{pmatrix} .$$ È simmetrica, con $P_t^2 = P_t$ (infatti $t^Tt = 1$, quindi $tt^Ttt^T = tt^T$) e traccia $\frac34 + \frac14 = 1 = \operatorname{rango}$.

La componente parallela è $$F_\parallel = P_tF = \begin{pmatrix} \frac34\cdot0 + \frac{\sqrt3}4\cdot(-100) \\ \frac{\sqrt3}4\cdot0 + \frac14\cdot(-100) \end{pmatrix} = (-25\sqrt3,\ -25) \approx (-43{,}3;\ -25) \text{ N},$$ cioè $F_\parallel = (F\cdot t)\,t$ con $F\cdot t = -100\sin30^\circ = -50$: è diretta verso il basso lungo il piano. La componente perpendicolare è la parte che resta, $F_\perp = F - F_\parallel = (25\sqrt3,\ -75) \approx (43{,}3;\ -75)$ N. Con la normale $n = \left(-\frac12, \frac{\sqrt3}2\right)$ si ha $F\cdot n = -50\sqrt3$ e $F_\perp = (F\cdot n)\,n = -50\sqrt3\,n = (25\sqrt3, -75)$ ✓.

Moduli. $\|F_\parallel\| = \sqrt{1875 + 625} = 50$ N $= 100\sin30^\circ$; $\|F_\perp\| = \sqrt{1875 + 5625} = \sqrt{7500} = 50\sqrt3 \approx 86{,}6$ N $= 100\cos30^\circ$. Pitagora: $50^2 + 7500 = 10\,000 = 100^2$ ✓ (le due componenti sono ortogonali). Il blocco resta fermo se l'attrito statico massimo $\mu\,\|F_\perp\|$ è almeno $\|F_\parallel\|$, cioè se $\mu \ge \frac{50}{50\sqrt3} = \tan30^\circ \approx 0{,}577$.

2. Scomposizione obliqua

Si cercano $\alpha, \beta$ con $F = \alpha a + \beta b = (\alpha + \beta,\ \beta)$. Da $\beta = -100$ e $\alpha + \beta = 0$ segue $\alpha = 100$: $$F = 100\,(1, 0) + (-100)\,(1, 1) = (100, 0) + (-100, -100) .$$ La proiezione su $U = \langle a\rangle$ lungo $W = \langle b\rangle$ ha matrice $P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ (infatti $(x, y) = (x - y)\,a + y\,b$, quindi $p(x, y) = (x - y, 0)$), con $P^2 = P$ e $PF = (100, 0)$ ✓. La componente sul puntone è $(I - P)F = (-100, -100)$, di modulo $100\sqrt2 \approx 141{,}4$ N.

Questa scomposizione è obliqua: la componente sul puntone ($141{,}4$ N) supera il modulo di $F$ ($100$ N), perché i due assi non sono perpendicolari e le componenti si "compensano" in parte lungo $x$. Con una scomposizione ortogonale, invece, nessuna componente supera mai il modulo di $F$.

3. La simmetria ortogonale rispetto al piano inclinato

La simmetria rispetto a $\langle t\rangle$ lungo $\langle t\rangle^\perp = \langle n\rangle$ è $S = 2P_t - I$: $$S = \begin{pmatrix} \frac32 - 1 & \frac{\sqrt3}2 \\ \frac{\sqrt3}2 & \frac12 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac{\sqrt3}2 \\ \frac{\sqrt3}2 & -\frac12 \end{pmatrix} .$$ È la matrice della riflessione $S_\theta$ del piano con $\theta = 60^\circ$ (retta dello specchio a $30^\circ$), ortogonale con determinante $-\frac14 - \frac34 = -1$ (Isometrie e matrici ortogonaliUna matrice Q è ortogonale se QᵀQ = I, cioè se ha colonne (e righe) ortonormali; equivale a conservare prodotto scalare, norme e angoli, ed è la matrice di una isometria lineare. Ha Q⁻¹ = Qᵀ e det Q = ±1. In R² le ortogonali sono le rotazioni (det 1) e le riflessioni rispetto a una retta (det −1); in R³ le rotazioni hanno un asse (autovalore 1) e un angolo con tr Q = 1 + 2 cos θ, le riflessioni rispetto a un piano hanno Q = I − 2nnᵀ/(n·n). Le isometrie affini sono x ↦ Qx + b.Isometrie e matrici ortogonali →). L'immagine di $F$: $$SF = \left(\frac{\sqrt3}2\cdot(-100),\ -\frac12\cdot(-100)\right) = (-50\sqrt3,\ 50) \approx (-86{,}6;\ 50) \text{ N} .$$ Controlli: il modulo è $\sqrt{7500 + 2500} = 100$ ✓ (isometria); la componente lungo il piano non cambia, $SF\cdot t = -50\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}2 + 50\cdot\frac12 = -75 + 25 = -50 = F\cdot t$ ✓, e la componente normale cambia segno: $SF\cdot n = 25\sqrt3 + 25\sqrt3 = 50\sqrt3 = -F\cdot n$ ✓. È il vettore che si ottiene specchiando $F$ nel piano inclinato (come il raggio riflesso di una pallina che rimbalza elasticamente sulla rampa).

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Errori comuni

• Usare $\cos30^\circ$ e $\sin30^\circ$ al contrario: la componente lungo il piano è $100\sin30^\circ$ (il peso scivola di più quando il piano è più ripido), quella perpendicolare è $100\cos30^\circ$.
• Scomporre su due direzioni non perpendicolari con i prodotti scalari ($F\cdot a$, $F\cdot b$): vanno risolte le coordinate $\alpha, \beta$ (proiezione obliqua), perché le due formule "$(F\cdot t)t$" valgono solo per direzioni ortogonali.
• Scambiare simmetria e proiezione: $S = 2P_t - I$, non $P_t - I$.