Proiezioni e simmetrie

Prerequisiti: Formula di Grassmann e somma direttaFormula di Grassmann: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W), come contare gli elementi di un'unione senza contare due volte quelli comuni. Se U ∩ W = {0} la somma è diretta, U ⊕ W, e ogni vettore si scrive in modo unico come u + w.Formula di Grassmann e somma diretta →, Funzioni lineari e isomorfismiUna funzione tra spazi vettoriali è lineare se rispetta somma e prodotto per uno scalare; manda 0 in 0, è determinata dalle immagini di una base e si chiama isomorfismo quando è anche biiettiva.Funzioni lineari e isomorfismi →, Nucleo e immagineIl nucleo (vettori mandati in 0) e l'immagine (vettori raggiunti) di una funzione lineare sono sottospazi; f è iniettiva se e solo se Ker f = {0}; dim Ker f + dim Im f = dim V (nullità + rango); l'antimmagine di un vettore è una soluzione particolare più il nucleo.Nucleo e immagine →, Cambiamenti di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base →. Collegamenti: Complemento ortogonale e proiezioni ortogonaliL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali → (il caso ortogonale), DiagonalizzazioneUna matrice è diagonalizzabile se è simile a una diagonale, cioè se esiste una base di autovettori: allora A = S D S⁻¹ con gli autovettori nelle colonne di S e gli autovalori in D. Criterio: tutti gli autovalori nel campo e molteplicità geometrica uguale a quella algebrica. Le matrici simmetriche reali hanno autovalori reali.Diagonalizzazione →, Isometrie e matrici ortogonaliUna matrice Q è ortogonale se QᵀQ = I, cioè se ha colonne (e righe) ortonormali; equivale a conservare prodotto scalare, norme e angoli, ed è la matrice di una isometria lineare. Ha Q⁻¹ = Qᵀ e det Q = ±1. In R² le ortogonali sono le rotazioni (det 1) e le riflessioni rispetto a una retta (det −1); in R³ le rotazioni hanno un asse (autovalore 1) e un angolo con tr Q = 1 + 2 cos θ, le riflessioni rispetto a un piano hanno Q = I − 2nnᵀ/(n·n). Le isometrie affini sono x ↦ Qx + b.Isometrie e matrici ortogonali → (le simmetrie ortogonali sono le riflessioni). Esercizi svolti: Esercizio 140 · proiezione obliqua su un piano lungo una retta, Esercizio 141 · riconoscere proiezioni e simmetrie dalle matrici, Esercizio 142 · scomposizione di una forza su un piano inclinato.

Decomporre un vettore

Se $V = U \oplus W$ (somma diretta di due sottospazi: $U \cap W = \{0\}$ e $U + W = V$), ogni vettore $v \in V$ si scrive in un solo modo come $$v = u + w, \qquad u \in U,\ w \in W .$$ È la proprietà che definisce la somma diretta. Concretamente, se $\{u_1, \dots, u_k\}$ è una base di $U$ e $\{w_1, \dots, w_m\}$ è una base di $W$, l'insieme di tutti questi vettori è una base di $V$ e $u$ e $w$ si leggono dalle coordinate di $v$ rispetto a essa. Si decompone per esempio una forza in due componenti lungo due direzioni date.

Definizione. La proiezione su $U$ lungo $W$ è la funzione $p: V \to V$, $p(u + w) = u$. La simmetria rispetto a $U$ lungo $W$ è $s: V \to V$, $s(u + w) = u - w$.

Entrambe sono lineari (la decomposizione è unica, quindi le componenti di una combinazione lineare sono le combinazioni lineari delle componenti). La proiezione "tiene la parte in $U$ e cancella quella in $W$"; la simmetria "tiene la parte in $U$ e rovescia quella in $W$" (uno specchio che fissa $U$ e manda ogni direzione di $W$ nell'opposta).

Esempio in $\mathbb{R}^2$. $U = \langle(1, 0)\rangle$ (asse $x$) e $W = \langle(1, 1)\rangle$. Un vettore $(x, y)$ si scrive $(x, y) = a(1, 0) + b(1, 1)$ con $b = y$ e $a = x - y$. Quindi $$p(x, y) = (x - y,\ 0), \qquad s(x, y) = (x - y, 0) - (y, y) = (x - 2y,\ -y),$$ con matrici $P = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ e $S = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$. Si proietta sull'asse $x$ "lungo" la direzione obliqua $(1, 1)$: ogni punto scivola lungo una retta parallela a $W$ finché non tocca $U$ (è la proiezione di una luce con raggi paralleli inclinati). Per questo, a differenza della proiezione ortogonale, dipende da $W$ e non solo da $U$.

La matrice

Se $\{u_1, \dots, u_k\}$ è una base di $U$ e $\{w_1, \dots, w_m\}$ una base di $W$, nella base $\mathcal{B} = \{u_1, \dots, u_k, w_1, \dots, w_m\}$ la proiezione manda $u_i \mapsto u_i$ e $w_j \mapsto 0$, quindi ha la matrice diagonale $$D = \begin{pmatrix} I_k & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},$$ mentre la simmetria ha $\begin{pmatrix} I_k & 0 \\ 0 & -I_m \end{pmatrix}$. Nella base canonica si torna con il cambiamento di baseLa matrice di cambiamento di base è la matrice dell'identità rispetto a due basi diverse: trasforma le coordinate in una base nelle coordinate nell'altra ed è invertibile; la matrice di f in nuove basi è M(id)·A·M(id), e per un endomorfismo A' = P⁻¹AP (matrici simili).Cambiamenti di base →: se $B$ è la matrice che ha i vettori di $\mathcal{B}$ in colonna, $$P = B D B^{-1} .$$

Esempio in $\mathbb{R}^3$. $U$ = piano $z = 0$ con base $e_1, e_2$, e $W = \langle(1, 1, 1)\rangle$. Con $B = \begin{pmatrix} 1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ (colonne $e_1, e_2, (1,1,1)$), $B^{-1} = \begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}$ e $D = \operatorname{diag}(1, 1, 0)$: $$P = BDB^{-1} = \begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&1&-1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \qquad p(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0) .$$ Si legge: il punto $(x, y, z)$ viene spinto lungo $(1, 1, 1)$ fino al piano $z = 0$ (si sottrae $z(1,1,1)$ dall'ultima coordinata azzerata). Verifica: $(x, y, z) - p(x, y, z) = (z, z, z) \in W$ ✓.

Caratterizzazioni

Teorema. Sia $f: V \to V$ lineare.

1. $f$ è una proiezione (su $\operatorname{Im} f$ lungo $\operatorname{Ker} f$) se e solo se $f \circ f = f$.
2. $f$ è una simmetria (rispetto a $\operatorname{Ker}(f - I)$ lungo $\operatorname{Ker}(f + I)$) se e solo se $f \circ f = \mathrm{id}$.

Perché (1). Se $p$ è una proiezione, $p(p(u + w)) = p(u) = u = p(u + w)$: $p^2 = p$. Viceversa sia $f^2 = f$. Allora per ogni $v$: $v = f(v) + (v - f(v))$ con $f(v) \in \operatorname{Im} f$ e $v - f(v) \in \operatorname{Ker} f$ (perché $f(v - f(v)) = f(v) - f^2(v) = 0$): quindi $V = \operatorname{Im} f + \operatorname{Ker} f$. L'intersezione è nulla: se $w = f(x)$ e $f(w) = 0$, allora $0 = f(w) = f^2(x) = f(x) = w$. Dunque $V = \operatorname{Im} f \oplus \operatorname{Ker} f$ e $f$ manda $u + w$ in $u$. ∎

Perché (2). Una simmetria ripetuta due volte riporta $u - w$ in $u + w$, quindi $s^2 = \mathrm{id}$. Viceversa, se $f^2 = \mathrm{id}$, si scrive $v = \frac12(v + f(v)) + \frac12(v - f(v))$: il primo addendo $u$ soddisfa $f(u) = \frac12(f(v) + v) = u$ (sta in $\operatorname{Ker}(f - I)$), il secondo $w$ soddisfa $f(w) = -w$ (sta in $\operatorname{Ker}(f + I)$), e le due componenti sono univoche. ∎

Legame fra le due. Per la decomposizione $v = u + w$: $$s = 2p - \mathrm{id}\ (\text{infatti } 2u - (u + w) = u - w), \qquad p = \tfrac12(\mathrm{id} + s), \qquad \mathrm{id} - p = \text{proiezione su } W \text{ lungo } U .$$ Nelle matrici: $S = 2P - I$ e $P = \frac12(I + S)$.

Esempio. Se $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, allora $A^2 = \begin{pmatrix} 4 - 2 & -4 + 2 \\ 2 - 1 & -2 + 1 \end{pmatrix} = A$: è una proiezione, su $\operatorname{Im} A = \langle(2, 1)\rangle$ lungo $\operatorname{Ker} A = \langle(1, 1)\rangle$.

Autovalori e diagonalizzabilità

Una proiezione ha come autovalori $1$ (autospazio $U$: $p(u) = u$) e $0$ (autospazio $W = \operatorname{Ker} p$), e una simmetria ha $1$ (autospazio $U$) e $-1$ (autospazio $W$). In entrambi i casi la somma degli autospazi è $V$, quindi sono sempre diagonalizzabili, con la matrice $D$ vista sopra. Conseguenze utili:

• $\operatorname{rango} p = \dim U = \operatorname{tr} p$ (la traccia è la somma degli autovalori, $1$ ripetuto $\dim U$ volte): una proiezione ha traccia uguale al rango, in particolare intera. Ad esempio la matrice $P$ dell'esempio in $\mathbb{R}^3$ ha traccia $2 = \dim U$.
• $\operatorname{tr} s = \dim U - \dim W$ e $\det s = (-1)^{\dim W}$.
• Una proiezione non banale non è invertibile ($\det = 0$ se $W \ne 0$): schiaccia $W$ sullo $0$. Una simmetria sì: $s^{-1} = s$.
• Il polinomio minimo è $x^2 - x$ per $p$ e $x^2 - 1$ per $s$: sono le equazioni $p^2 = p$ e $s^2 = \mathrm{id}$ lette in termini di autovalori.

Proiezioni e simmetrie ortogonali

Se $V = \mathbb{R}^n$ con il prodotto scalare e $W = U^\perp$ (il complemento ortogonaleL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali →), la proiezione su $U$ lungo $U^\perp$ è la proiezione ortogonale: $p(v)$ è il punto di $U$ più vicino a $v$. In questo caso:

• se $\{f_1, \dots, f_k\}$ è una base ortonormale di $U$, $p(v) = (v\cdot f_1)f_1 + \dots + (v\cdot f_k)f_k$ e $P = \sum_i f_if_i^T$; per una base qualunque con matrice $A$ ($n \times k$, colonne la base) $P = A(A^TA)^{-1}A^T$;
• la matrice $P$ è simmetrica ($P^T = P$), e vale anche il viceversa: una proiezione è ortogonale se e solo se $P = P^T$. Perché: se $P^T = P$, $x = Pa \in \operatorname{Im}P$ e $y \in \operatorname{Ker}P$ danno $x \cdot y = Pa \cdot y = a \cdot P^Ty = a \cdot Py = 0$, quindi $\operatorname{Ker}P \perp \operatorname{Im}P$;
• la simmetria ortogonale è $S = 2P - I$, ortogonale e simmetrica: per un piano di normale $n$ è la riflessione $I - \frac{2}{n\cdot n}nn^T$ di Isometrie e matrici ortogonaliUna matrice Q è ortogonale se QᵀQ = I, cioè se ha colonne (e righe) ortonormali; equivale a conservare prodotto scalare, norme e angoli, ed è la matrice di una isometria lineare. Ha Q⁻¹ = Qᵀ e det Q = ±1. In R² le ortogonali sono le rotazioni (det 1) e le riflessioni rispetto a una retta (det −1); in R³ le rotazioni hanno un asse (autovalore 1) e un angolo con tr Q = 1 + 2 cos θ, le riflessioni rispetto a un piano hanno Q = I − 2nnᵀ/(n·n). Le isometrie affini sono x ↦ Qx + b.Isometrie e matrici ortogonali → (infatti la proiezione sul piano è $I - \frac{nn^T}{n\cdot n}$ e $2P - I = I - \frac{2nn^T}{n\cdot n}$).

Una proiezione obliqua (come $P$ dell'esempio sopra) non è simmetrica e non accorcia sempre i vettori: $\|p(v)\|$ può superare $\|v\|$, mentre per la proiezione ortogonale $\|p(v)\| \le \|v\|$.

Un'applicazione alla meccanica: componenti di una forza

Scomporre una forza $F$ lungo due direzioni è proiettare. Un blocco di peso $100$ N su un piano inclinato di $30^\circ$: nel riferimento con $x$ orizzontale e $y$ verticale verso l'alto, $F = (0, -100)$. La direzione del piano è $t = (\cos30^\circ, \sin30^\circ) = \left(\frac{\sqrt3}2, \frac12\right)$ e la normale è $n = \left(-\frac12, \frac{\sqrt3}2\right)$ (ortogonali, di norma $1$). La componente lungo il piano è la proiezione ortogonale su $\langle t\rangle$, $P_t = tt^T = \begin{pmatrix} \frac34 & \frac{\sqrt3}4 \\ \frac{\sqrt3}4 & \frac14 \end{pmatrix}$: $$F_\parallel = P_tF = (F\cdot t)\,t = -50\,t \approx (-43{,}3;\ -25), \qquad F_\perp = F - F_\parallel \approx (43{,}3;\ -75),$$ con $\|F_\parallel\| = 50$ N e $\|F_\perp\| = 100\cos30^\circ \approx 86{,}6$ N. Se invece le due direzioni non sono perpendicolari (per esempio un tirante orizzontale e un puntone inclinato di $45^\circ$) si usa una proiezione obliqua. I conti completi sono nell'Esercizio 142 · scomposizione di una forza su un piano inclinato.

Domande d'esame

• Dire se una matrice (data) è una proiezione o una simmetria: si calcola $A^2$ e si confronta con $A$ o con $I$.
• Dati $U$ e $W$ con $V = U \oplus W$, scrivere la matrice della proiezione su $U$ lungo $W$ (con $BDB^{-1}$) e verificare $P^2 = P$.
• Trovare $\operatorname{Im}$, $\operatorname{Ker}$, autovalori e traccia di una proiezione assegnata.
• Per quali valori di un parametro $k$ la funzione $f_k$ (data da una matrice con $k$) è una proiezione o una simmetria?
• Vero o falso: la traccia di una proiezione è il suo rango (vero); una proiezione è invertibile (falso, se non è l'identità); la matrice di una proiezione ortogonale è simmetrica (vero); $(I - P)$ è una proiezione (vero, su $W$ lungo $U$).

Errori comuni

• Confondere "proiezione su $U$" con "proiezione ortogonale su $U$": la proiezione dipende anche da $W$, e coincide con quella ortogonale solo per $W = U^\perp$.
• Scrivere $P = BDB^{-1}$ con $B$ non invertibile (le basi di $U$ e $W$ non sono complementari) o con $B^{-1}$ e $B$ scambiati.
• Credere che $p^2 = p$ implichi $p = \mathrm{id}$: vale solo se $p$ è invertibile.
• Dimenticare che $s = 2p - \mathrm{id}$ e non $p - \mathrm{id}$.