Proiezioni ortogonali - metodo europeo e americano

Un foglio è piatto, un pezzo no: per descrivere un oggetto tridimensionale sulla carta servono più immagini piane, e un modo preciso per metterle in relazione. Il sistema più usato nel disegno meccanico è quello delle proiezioni ortogonali: di ogni vista si disegna come appare guardando il pezzo da una direzione perpendicolare a una sua faccia principale. Prima: Disegno tecnico e norme UNI-ISO - formati, linee, scale e cartiglioIl disegno tecnico è un linguaggio normato (UNI EN ISO): ogni foglio ha un formato della serie A (rapporto 1 : √2, A0 = 1 m²: A4 = 210 × 297 mm), una cornice, un cartiglio in basso a destra e una scala scelta tra quelle unificate (1:2, 1:5, 1:10, 2:1, 5:1 ...). Le linee hanno tipo e spessore con significato preciso (continua grossa = contorni in vista, tratteggiata = nascosti, mista punto-tratto = assi, continua sottile = quote e tratteggi); gli spessori seguono la serie con ragione √2 e la scrittura ha altezze 2,5 - 3,5 - 5 - 7 mm.Disegno tecnico e norme UNI-ISO - formati, linee, scale e cartiglio →. Seguito: Assonometrie e viste ausiliarieL'assonometria rappresenta un solido con un'unica immagine, proiettandolo su un piano insieme ai suoi tre assi. Isometrica: assi a 120 gradi, tre coefficienti di riduzione uguali a √(2/3) = 0,816 (nella pratica si disegna in scala 1:1 e il disegno risulta ingrandito di 1,225); un cerchio diventa un'ellisse con asse maggiore d (o 1,225 d) e minore d/√3 (o 0,707 d). Cavaliera: faccia frontale in vera forma, fuggenti a 45 gradi ridotte a metà. Dimetrica ISO: rapporti 1 : 1 : 1/2. Una faccia inclinata di α appare accorciata di cos α; per vederla in vera forma si disegna una vista ausiliaria su un piano parallelo alla faccia, con freccia e lettera, anche parziale.Assonometrie e viste ausiliarie → e Sezioni, tratteggi e convenzioni di rappresentazioneUna sezione mostra l'interno di un pezzo: si taglia con un piano (traccia in linea mista, grossa agli estremi, con frecce e lettere A-A), si toglie la parte davanti e si disegna ciò che resta; la parte tagliata si tratteggia con linee sottili a 45 gradi a passo costante (stesso pezzo, stesso tratteggio; pezzi adiacenti in direzione opposta). Tipi: totale, a piani paralleli, a piani concorrenti, mezza sezione (pezzi simmetrici), parziale, ribaltata in loco (contorno sottile) e traslata. Per convenzione non si tratteggiano, se tagliati nel senso della lunghezza, viti, bulloni, dadi, perni, spine, chiavette, rivetti, alberi pieni, sfere, rulli, nervature, razze e denti. Altre convenzioni: viste interrotte, semi-viste, elementi ripetuti, intersezioni fittizie, superfici piane con diagonali.Sezioni, tratteggi e convenzioni di rappresentazione →. Esercizi: Esercizio - terza vista di un blocco con gradino e foro, Esercizio - dal metodo europeo al metodo americano per una staffa, Esercizio - viste e linee nascoste di un cubo con due fori.

Proiezione ortogonale su un piano

Si proietta un punto $P$ su un piano mandando da $P$ la retta perpendicolare al piano (il raggio proiettante): il punto in cui la retta incontra il piano è la sua proiezione. In coordinate, scelti tre assi $x$ (larghezza), $y$ (profondità), $z$ (altezza), la proiezione di $P = (x, y, z)$ è

• sul piano frontale (quello $xz$, osservatore davanti): $(x, z)$, si perde $y$;
• sul piano orizzontale (quello $xy$, osservatore sopra): $(x, y)$, si perde $z$;
• sul piano laterale (quello $yz$, osservatore a sinistra o a destra): $(y, z)$, si perde $x$.

Ognuna è una proiezione ortogonale nel senso dell'algebra lineare (Proiezioni e simmetrieSe V = U ⊕ W, ogni v si scrive in modo unico v = u + w; la proiezione su U lungo W manda v in u e la simmetria rispetto a U lungo W manda v in u − w. Una funzione lineare p è una proiezione se e solo se p² = p (Im p = U, Ker p = W, autovalori 1 e 0); è una simmetria se e solo se s² = I (autovalori 1 e −1), e s = 2p − I. Sono diagonalizzabili, con rango uguale alla traccia per le proiezioni. Se W = U⊥ si ha la proiezione ortogonale, la cui matrice è simmetrica.Proiezioni e simmetrie →): si annulla la componente lungo la direzione di osservazione. Per questo una sola vista non basta: tutti i punti sullo stesso raggio proiettante finiscono nello stesso punto, e la profondità è persa. Servono almeno due viste (spesso tre) per ritrovare le tre coordinate di ogni punto.

I tre piani sono perpendicolari tra loro e formano un triedro: il piano frontale (verticale, sul quale si proietta la vista principale), il piano orizzontale e il piano laterale (o di profilo). Per mettere le proiezioni nel foglio si ribaltano i piani, facendoli ruotare attorno agli spigoli del triedro, finché stanno tutti nel piano del frontale.

Il metodo europeo (E): primo diedro

Nel metodo europeo l'oggetto si trova tra l'osservatore e il piano di proiezione: è come se si illuminasse il pezzo da davanti e si guardasse l'ombra sul piano alle sue spalle. Dopo il ribaltamento, ogni vista finisce dalla parte opposta a quella da cui si guarda:

(Le lettere A-F sono quelle della norma ISO 128 per indicare le sei viste.)

Il metodo americano (A): terzo diedro

Nel metodo americano il piano di proiezione si trova tra l'osservatore e l'oggetto, come un vetro trasparente su cui si ricalca il pezzo. Ogni vista si disegna dalla stessa parte da cui si guarda: la pianta sta sopra la frontale, la vista da sinistra a sinistra, quella da destra a destra, quella dal basso sotto. Usato nei paesi anglosassoni, compare nei disegni di fornitori esteri.

Regola pratica. Le viste sono le stesse nei due metodi: cambia solo dove si mettono. Passare da E ad A significa spostare la pianta sopra, la vista da sinistra a sinistra (e viceversa per quella da destra e dal basso), senza ridisegnarle.

Simboli e indicazione del metodo

Siccome le due disposizioni sono incompatibili, nel cartiglio si mette sempre il simbolo del metodo: un tronco di cono visto da due direzioni. Nel simbolo E la vista laterale (trapezio) sta a sinistra e la vista dall'estremità (due cerchi concentrici) a destra; nel simbolo A le posizioni sono invertite. In entrambi il tronco di cono ha la base minore a sinistra: i due cerchi pieni sono infatti la vista dalla base minore (da quella parte si vedono sia il cerchio piccolo sia il contorno grande), cioè la vista da sinistra, che nel metodo E va a destra e nel metodo A a sinistra. In un disegno non si mescolano mai i due metodi.

Quale lato della vista è "davanti"?

Un errore tipico è confondere il davanti con il dietro nelle viste laterali. Se $y$ è la profondità (cresce allontanandosi dall'osservatore frontale) e la vista da sinistra si mette a destra della frontale (metodo E), guardando da sinistra "a destra" c'è il davanti del pezzo. Quindi:

Proprietà (metodo europeo). Nella pianta e nelle viste laterali il lato rivolto verso la vista frontale è la parte posteriore del pezzo; il lato più lontano è la parte anteriore. Nel metodo americano è l'opposto: il lato vicino alla frontale è il davanti.

Se si sbaglia, il pezzo viene "girato" e un gradino finisce sul lato sbagliato.

Scelta delle viste

• Vista principale (frontale). È la più ricca di informazioni: mostra la forma più caratteristica del pezzo e i dettagli più importanti, nella posizione di funzionamento (per un albero, orizzontale) o di lavorazione.
• Numero di viste. Il minimo che definisce completamente il pezzo, senza ridondanze: un cilindro pieno richiede una vista e il simbolo Ø nella quota; una piastra con fori una vista e l'indicazione dello spessore ($t = 5$); una staffa a L due o tre viste.
• Le altre viste si scelgono per mostrare spigoli in vista invece che nascosti: se una faccia si vede meglio da destra che da sinistra, si disegna la vista da destra.
• Linee nascoste: si mettono solo dove servono a capire, e non sovraccaricano il disegno: le viste vanno scelte in modo da averne poche.

Corrispondenza tra le viste

Le viste sono proiezioni dello stesso pezzo e devono combaciare:

1. La frontale e la pianta hanno la stessa larghezza ($x$) e stanno incolonnate: le linee verticali si possono trasportare con linee di richiamo.
2. La frontale e la vista laterale hanno la stessa altezza ($z$) e stanno sulla stessa riga: le linee orizzontali si trasportano con richiami orizzontali.
3. La profondità ($y$) compare nella pianta (in verticale) e nella vista laterale (in orizzontale) e si trasporta da una all'altra con una linea a $45^\circ$ tracciata nell'angolo vuoto tra le due viste, oppure riportando la misura con il compasso.

Procedura (terza vista da due viste).

1. Riporta le quote orizzontali della pianta nella frontale con richiami verticali, e le altezze della frontale con richiami orizzontali verso la vista da costruire.
2. Trasporta le profondità dalla pianta con la linea a $45^\circ$.
3. Disegna i contorni e gli spigoli in vista (continua grossa), poi quelli nascosti (tratteggiati). Un punto si disegna in ogni vista, quindi si congiungono i punti che appartengono allo stesso spigolo.
4. Controlla che ogni linea di una vista abbia la corrispondente nelle altre.

Esempio: una staffa a L in tre viste

La staffa ha una base di $60 \times 40 \times 10$ mm e un montante di $20 \times 20 \times 30$ mm (sopra la base, nella parte posteriore sinistra, dunque con quote $x$ da 0 a 20, $y$ da 20 a 40, $z$ da 10 a 40). La base ha un foro passante verticale Ø14 nel punto $(40, 20)$.

Le tre viste si ricavano guardando il pezzo da davanti, dall'alto e da sinistra:

• Frontale (si guarda lungo $y$, si legge $(x, z)$): il contorno è una L: $(0,0)$, $(60,0)$, $(60,10)$, $(20,10)$, $(20,40)$, $(0,40)$. La linea orizzontale da $x = 0$ a $x = 20$ a quota $z = 10$ è il bordo anteriore della faccia superiore della base davanti al montante: è visibile. Il foro, nascosto dentro la base, si vede come due linee tratteggiate a $x = 33$ e $x = 47$ ($40 \pm 7$), tra $z = 0$ e $z = 10$.
• Pianta (si guarda lungo $z$, si legge $(x, y)$): un rettangolo $60 \times 40$; il montante dà la linea verticale in $x = 20$ (da $y = 20$ a $40$) e quella orizzontale in $y = 20$ (da $x = 0$ a $20$); il foro è un cerchio visibile Ø14 con gli assi in croce.
• Vista da sinistra (si guarda lungo $x$, si legge $(h, z)$ con $h = 40 - y$, perché con questo osservatore la parte anteriore sta a destra): ancora una L, con il montante ($y$ da 20 a 40, cioè $h$ da 0 a 20) a sinistra, cioè verso la frontale (è la parte posteriore!); il foro dà due tratteggiate a $h = 13$ e $h = 27$.

# vertici della staffa e loro posizione nelle tre viste (metodo europeo, distanza tra viste 15 mm)
solido = [("angolo base anteriore sinistro", (0, 0, 0)), ("angolo base anteriore destro", (60, 0, 0)),
          ("cima montante, davanti", (0, 20, 40)), ("cima montante, dietro", (0, 40, 40))]
for nome, (x, y, z) in solido:
    frontale = (x, z)
    pianta = (x, y - 55)                  # sotto la frontale: y = 40 sta a -15, y = 0 a -55
    sinistra = (75 + (40 - y), z)         # a destra della frontale: h = 40 - y
    print(f"{nome}: frontale {frontale}, pianta {pianta}, sinistra {sinistra}")

L'uscita elenca, per esempio, la cima del montante dietro ($y = 40$): frontale $(0, 40)$, pianta $(0, -15)$ (il bordo della pianta più vicino alla frontale), vista da sinistra $(75, 40)$ (il bordo della vista da sinistra più vicino alla frontale): è la parte posteriore, in accordo con la regola vista sopra.

Riassunto

Errori comuni

• Scambiare i due metodi (pianta sopra anziché sotto, o viceversa) senza cambiare il simbolo.
• Girare davanti e dietro nelle viste laterali: nel metodo E il lato vicino alla frontale è il posteriore.
• Disegnare più viste del necessario o dimenticare gli spigoli nascosti che definiscono un foro o un gradino.
• Non allineare le viste: un foro deve avere lo stesso centro nelle viste adiacenti.
• Mettere una linea tratteggiata dove lo spigolo è in vista (e viceversa).

Domande d'esame

1. In quale posizione si disegna la pianta nel metodo europeo? Sotto la vista frontale. Nel metodo americano, sopra.
2. Dove si trova l'oggetto rispetto al piano di proiezione nel metodo europeo? Tra l'osservatore e il piano (primo diedro).
3. Che cosa significa il simbolo con il tronco di cono nel cartiglio? Indica il metodo di proiezione usato, E o A secondo la disposizione delle due viste del tronco di cono.
4. Come si trasporta la profondità dalla pianta alla vista laterale? Con una linea a $45^\circ$ nell'angolo tra le viste, o con il compasso.