Organi delle macchine - cuscinetti, ruote dentate, molle e tenute

Prima: Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamentiNessun pezzo viene fabbricato esattamente alla quota nominale: la tolleranza T = limite superiore - limite inferiore dice quanto si può sbagliare. Il sistema ISO la codifica con una lettera (posizione rispetto alla linea dello zero) e un numero (grado IT, ampiezza). Un accoppiamento foro-albero ha gioco, interferenza o è incerto a seconda di come si sovrappongono le due zone di tolleranza; si calcola con gioco massimo = ES - ei e gioco minimo = EI - es.Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamenti → (sedi di cuscinetto), Rugosità e stato delle superficiUna superficie reale non è liscia: il profilo di rugosità è l'insieme delle irregolarità a passo piccolo, misurate da una linea media. Il parametro più usato è Ra, la media aritmetica degli scostamenti; Rz è la somma di picco massimo e valle massima. La misura va fatta su una lunghezza di valutazione = 5 lunghezze di campionamento, scelta in base al valore di Ra (ISO 4288). Sul disegno il simbolo di stato superficiale (ISO 1302) indica Ra, processo, direzione delle rigature e sovrametallo.Rugosità e stato delle superfici → (superfici di tenuta), Sezioni, tratteggi e convenzioni di rappresentazioneUna sezione mostra l'interno di un pezzo: si taglia con un piano (traccia in linea mista, grossa agli estremi, con frecce e lettere A-A), si toglie la parte davanti e si disegna ciò che resta; la parte tagliata si tratteggia con linee sottili a 45 gradi a passo costante (stesso pezzo, stesso tratteggio; pezzi adiacenti in direzione opposta). Tipi: totale, a piani paralleli, a piani concorrenti, mezza sezione (pezzi simmetrici), parziale, ribaltata in loco (contorno sottile) e traslata. Per convenzione non si tratteggiano, se tagliati nel senso della lunghezza, viti, bulloni, dadi, perni, spine, chiavette, rivetti, alberi pieni, sfere, rulli, nervature, razze e denti. Altre convenzioni: viste interrotte, semi-viste, elementi ripetuti, intersezioni fittizie, superfici piane con diagonali.Sezioni, tratteggi e convenzioni di rappresentazione →. Collegamento all'albero: Collegamenti albero-mozzo - linguette, profili scanalati, spine e anelli elasticiPer trasmettere la coppia tra albero e mozzo si usano la forma (linguetta, profilo scanalato, spina) o l'attrito (forzamento, calettatori). La linguetta parallela trasmette la forza F = 2T/d con una verifica a pressione di contatto (altezza h/2) e a taglio (sezione b l). Il profilo scanalato ripartisce il carico su più denti: T ≈ 0,75 z h l r_m p. Le spine posizionano o fanno da elemento di sicurezza (taglio a due sezioni); gli anelli elastici bloccano gli spostamenti assiali.Collegamenti albero-mozzo - linguette, profili scanalati, spine e anelli elastici →. Fisica di base: Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →, Moto circolareSulla circonferenza la posizione è data dall'angolo θ(t): s = Rθ, v = ωR con ω = dθ/dt. Moto uniforme: periodo T = 2π/ω, accelerazione solo centripeta ω²R. Moto non uniforme: anche accelerazione tangenziale αR. In forma vettoriale v = ω × r.Moto circolare →, Forze di attrito radenteL'attrito radente è la componente della reazione vincolare parallela alla superficie. Statico: impedisce lo scivolamento e vale quanto serve, fino a μs N. Dinamico: agisce durante lo strisciamento, vale μd N ed è opposto alla velocità relativa.Forze di attrito radente →. Esercizi: Esercizio - riduttore a una coppia di ruote dentate cilindriche, Esercizio - scelta e vita di un cuscinetto a sfere con le tolleranze delle sedi, Esercizio - molla elicoidale di compressione e tenute di un albero.

Cuscinetti

Un cuscinetto sostiene un albero e ne permette la rotazione con poco attrito. Due famiglie:

• volventi: tra due anelli (interno ed esterno) rotolano sfere o rulli, mantenuti a distanza da una gabbia. L'attrito è basso (coefficiente $0{,}001$-$0{,}005$) e l'avviamento facile;
• a strisciamento (bronzine, bussole): l'albero scorre su un velo d'olio; più silenziosi e resistenti agli urti, ma con attrito maggiore all'avviamento.

Tipi di cuscinetti volventi

Designazione e dimensioni

La sigla di un cuscinetto radiale rigido a sfere è un numero a quattro cifre, per esempio 6208:

• la prima cifra ($6$) indica il tipo (cuscinetto radiale rigido a sfere);
• la seconda ($2$) indica la serie delle dimensioni (larghezza e diametro esterno rispetto all'alesaggio): $0$ extra leggera, $2$ leggera, $3$ media, $4$ pesante;
• le ultime due cifre danno l'alesaggio $d$: da $04$ in poi si moltiplicano per $5$. Quindi $08 \to d = 8\cdot5 = 40$ mm. Sotto $04$: $00 \to 10$ mm, $01 \to 12$ mm, $02 \to 15$ mm, $03 \to 17$ mm.

Dimensioni ($d \times D \times B$, mm): $6204$: $20\times47\times14$; $6205$: $25\times52\times15$; $6206$: $30\times62\times16$; $6207$: $35\times72\times17$; $6208$: $40\times80\times18$; $6308$: $40\times90\times23$ (stessa $d$, serie media, più robusto).

Carico dinamico e vita

Ogni cuscinetto ha un carico dinamico $C$ (da catalogo) che dà una vita di $1$ milione di giri. La vita nominale $L_{10}$ è il numero di giri raggiunto o superato dal $90\%$ di un gruppo di cuscinetti uguali:

Formula (vita nominale di un cuscinetto). $$L_{10} = \left(\frac{C}{P}\right)^p \ [\text{milioni di giri}], \qquad L_{10h} = \frac{10^6}{60\,n}\left(\frac{C}{P}\right)^p\ [\text{ore}]$$ con $P$ carico dinamico equivalente, $n$ velocità in giri/min, $p = 3$ per sfere e $p = 10/3$ per rulli.

Il carico equivalente è $P = X F_r + Y F_a$ con coefficienti $X$, $Y$ di catalogo; con solo carico radiale $P = F_r$. Poiché la vita dipende dalla terza potenza del carico, aumentare il carico del $50\%$ la divide per $1{,}5^3 = 3{,}4$.

Esempio svolto. Cuscinetto $6208$ ($C = 32{,}5$ kN) con $F_r = 3{,}0$ kN a $n = 1500$ giri/min: $L_{10} = (32{,}5/3{,}0)^3 = 1271$ milioni di giri e $L_{10h} = \dfrac{10^6\cdot1271}{60\cdot1500} = 14\,127$ ore.

Montaggio: tolleranze delle sedi

Gli anelli devono essere trattenuti da un accoppiamento adeguato:

• Anello che ruota rispetto al carico (di solito l'anello interno su un albero rotante, con carico fisso): deve essere montato con interferenza (albero $k5$, $k6$, $m6$), altrimenti scorrerebbe e consumerebbe la sede (creep);
• Anello fermo rispetto al carico (esterno, nel supporto): con gioco o interferenza leggera, alloggiamento H7 (o J7 per carichi pesanti). Le tolleranze degli anelli stessi sono fissate dalla norma (classe normale): l'alesaggio ha tolleranza $0 / -\delta$, ovvero sempre negativa, e il diametro esterno idem.

Esempio. Cuscinetto $\varnothing 40$ con alesaggio $0 / -12\ \mu\text{m}$ montato su albero $\varnothing 40$ k6 (scostamenti $+2 / +18\ \mu\text{m}$ dalla tabella ISO per 30-50 mm). Interferenza minima $= 2 - 0 = 2\ \mu\text{m}$, massima $= 18 - (-12) = 30\ \mu\text{m}$. Il montaggio è leggermente forzato (a pressa) sull'albero.

Disposizione e rappresentazione

Un albero con due cuscinetti ha in genere un cuscinetto fisso (blocca l'albero assialmente, in entrambi i versi) e uno libero (scorre nella sede per dilatazioni termiche). La fissazione si fa con spallamenti, anelli elastici, ghiere e coperchi flangiati. La lubrificazione è a grasso (prolungata, semplice) o a olio (alte velocità).

Nei disegni di assieme i cuscinetti si rappresentano in modo semplificato (ISO 8826-1): rettangolo con un segno convenzionale che ne indica il tipo, con la designazione sulla distinta (non si dettagliano sfere e gabbia). Nei disegni di particolari si quotano le sedi con le loro tolleranze e la rugosità ($R_a\ 0{,}8$ per l'albero) e i raccordi.

Ruote dentate

La ruota dentata trasmette il moto tra due alberi con rapporto di velocità costante, per forma dei denti (profilo a evolvente). Per le ruote cilindriche a denti diritti i parametri si derivano dal modulo $m$, in mm, che è il rapporto tra il diametro primitivo e il numero di denti.

Definizione (modulo e passo). $$m = \frac{d}{z}, \qquad p = \pi\, m$$ con $d$ diametro primitivo, $z$ numero di denti e $p$ passo (distanza fra due denti consecutivi misurata sul cerchio primitivo). Due ruote ingranano solo se hanno lo stesso modulo.

I moduli unificati (serie preferenziale ISO 54): $1; 1{,}25; 1{,}5; 2; 2{,}5; 3; 4; 5; 6; 8; 10\ \text{mm}$.

Per un ingranamento standard con angolo di pressione $\alpha = 20^\circ$:

Il numero minimo di denti per evitare l'interferenza di taglio con $\alpha = 20^\circ$ è $z_{min} = \dfrac{2}{\sin^2\alpha} = 17{,}1$, cioè $17$ (in pratica si accetta anche $14$ con una piccola sottrazione di materiale alla base). La larghezza di fascia è di solito $b \approx 8$-$12\,m$.

Esempio svolto. Pignone $z_1 = 20$ e ruota $z_2 = 60$ con $m = 3$ mm:

• $d_1 = 60$ mm, $d_2 = 180$ mm; $d_{a1} = 3\cdot22 = 66$ mm, $d_{a2} = 186$ mm; $d_{f1} = 3\cdot17{,}5 = 52{,}5$ mm, $d_{f2} = 172{,}5$ mm;
• interasse $a = \frac{3\cdot80}{2} = 120$ mm (somma dei raggi primitivi $30 + 90$); passo $p = 9{,}42$ mm;
• rapporto $i = 60/20 = 3$: se il pignone gira a $1500$ giri/min, la ruota gira a $500$ giri/min.

Le forze sui denti seguono dal momento $T_1$: forza tangenziale $F_t = \dfrac{2T_1}{d_1}$, forza radiale $F_r = F_t \tan\alpha$ e forza totale $F_t/\cos\alpha$ lungo la retta d'azione inclinata di $\alpha$.

Altri tipi. Ruote elicoidali (denti inclinati dell'angolo $\beta$, più silenziose, generano spinta assiale), coniche (assi incidenti, di solito perpendicolari), vite senza fine e ruota elicoidale (assi sghembi, rapporti $i$ molto alti: $i = z_{ruota}/n_{principi}$, autobloccante se l'angolo d'elica è piccolo), cremagliera e pignone (moto rotatorio che si trasforma in traslatorio).

Rappresentazione (ISO 2203): nelle viste frontali il cerchio primitivo è una linea mista sottile (tratto-punto), il cerchio di testa una linea continua grossa, il cerchio di piede una linea continua sottile; in sezione assiale i denti non si tagliano (si disegnano interi, con la linea di piede continua grossa) anche se il piano passa per un vano. Si disegna la ruota con una tabella dei dati (modulo, numero di denti, angolo di pressione, diametro primitivo, classe di precisione). In un ingranamento il pignone nasconde la ruota (o viceversa) nella zona di contatto e si indica la linea primitiva tangente.

Molle

La molla è un elemento elastico che immagazzina energia deformandosi e restituisce una forza proporzionale alla deformazione (Forza elasticaUna molla ideale esercita F = −k Δx, opposta alla deformazione (legge di Hooke). Una massa attaccata a una molla compie un moto armonico con ω = √(k/m); ampiezza e fase vengono dalle condizioni iniziali, e v² = ω²(A² − x²). Una forza costante in più sposta solo la posizione di equilibrio.Forza elastica →). Tipi principali: elicoidale di compressione, di trazione (con gancio), di torsione; a tazza (Belleville), a lamina o balestra, a spirale.

Molla elicoidale cilindrica di compressione

Filo di diametro $d$ avvolto a elica con diametro medio $D$ e $n_a$ spire attive. Si chiama indice di molla $C = D/d$ (tipicamente tra $4$ e $12$). Il filo è sollecitato soprattutto a torsione: la forza $F$ applicata sull'asse genera nel filo un momento torcente $T = F\,D/2$.

Formula (rigidezza e tensione). $$k = \frac{G\, d^4}{8\, D^3\, n_a}, \qquad \tau_{max} = K_W\,\frac{8\,F\,D}{\pi\, d^3}, \qquad K_W = \frac{4C - 1}{4C - 4} + \frac{0{,}615}{C}$$ con $G$ modulo di taglio ($\approx 80\,000$ MPa per gli acciai), $K_W$ fattore di Wahl (tiene conto della curvatura e del taglio diretto).

Esempio svolto. $d = 4$ mm, $D = 32$ mm, $n_a = 8$, $F = 200$ N, $G = 80\,000$ MPa:

• $k = \dfrac{80\,000\cdot 4^4}{8\cdot32^3\cdot8} = 9{,}77\ \text{N/mm}$; freccia $f = F/k = 20{,}5$ mm;
• $C = 8$, $K_W = \frac{31}{28} + \frac{0{,}615}{8} = 1{,}184$; $\tau_{max} = 1{,}184\cdot\frac{8\cdot200\cdot32}{\pi\cdot 64} = 302$ MPa.

Più molle: in parallelo (stesso spostamento) le rigidezze si sommano, $k = k_1 + k_2$; in serie (stessa forza) si sommano le cedevolezze, $\frac{1}{k} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$. La lunghezza a spire serrate (di blocco) di una molla con estremità chiuse e molate è $L_s = (n_a + 2)\,d$ (qui $40$ mm).

Rappresentazione (ISO 2162): in vista semplificata la molla è un segmento di linea (o due linee parallele con indicazione delle spire estreme); nel disegno si aggiunge una tabella con $d$, $D$, $n_a$, numero totale di spire, lunghezza libera, senso di avvolgimento, materiale e carichi/lunghezze di lavoro.

Tenute

Le tenute impediscono perdite di fluido o ingresso di polvere tra due parti.

• Statiche (nessun moto relativo): guarnizioni piane (fogli di fibra o gomma tra flange), anelli O-ring in gola, sigillanti. Un O-ring si designa con $d_i \times s$ (diametro interno × sezione) e si comprime di circa $15$-$30\,\%$ della sezione per tenere (la profondità della gola è minore di $s$).
• Dinamiche (albero rotante o asta alternativa): anelli di tenuta radiali (ISO 6194) con labbro in gomma premuto da una molla; designati $d\times D\times b$ (albero × alloggiamento × larghezza); tenute a labirinto (senza contatto, per alte velocità), tenute meccaniche frontali (due facce piane di materiali duri, per pompe), baderne (corda impregnata che si comprime).

Per una tenuta radiale: albero con tolleranza h11, alloggiamento H8, albero con durezza almeno $45$ HRC e rugosità $R_a\ 0{,}2$-$0{,}8\ \mu\text{m}$ senza rigature elicoidali (rettifica a tuffo), con smusso di invito di $15$-$30^\circ$ per non danneggiare il labbro al montaggio. La velocità periferica $v = \pi d n/60$ deve restare sotto il limite del materiale del labbro, che si legge nel catalogo del costruttore (per la gomma nitrilica è dell'ordine di $10$-$15$ m/s, molto più alto per le gomme fluorurate). In disegno la tenuta si rappresenta con la sua sede quotata e la designazione.

Calcolo con Python

from math import pi

def ruota(m, z):
    return {"d": m * z, "da": m * (z + 2), "df": m * (z - 2.5)}

m, z1, z2 = 3.0, 20, 60
r1, r2 = ruota(m, z1), ruota(m, z2)
print(f"pignone d {r1['d']:.0f}  da {r1['da']:.0f}  df {r1['df']:.1f}")
print(f"ruota   d {r2['d']:.0f}  da {r2['da']:.0f}  df {r2['df']:.1f}")
print(f"interasse {m*(z1+z2)/2:.0f} mm, rapporto {z2/z1:.0f}, passo {pi*m:.2f} mm")

# cuscinetto 6208: C = 32,5 kN, carico radiale 3 kN, 1500 giri/min
C, P, n = 32.5, 3.0, 1500
L10 = (C / P) ** 3                  # milioni di giri
L10h = L10 * 1e6 / (60 * n)         # ore
print(f"L10 = {L10:.0f} milioni di giri = {L10h:.0f} h")

# molla: d = 4, D = 32, n_a = 8, G = 80000 MPa, F = 200 N
G, d, D, na, F = 80000, 4.0, 32.0, 8, 200.0
k = G * d**4 / (8 * D**3 * na)
Cw = D / d
Kw = (4 * Cw - 1) / (4 * Cw - 4) + 0.615 / Cw
tau = Kw * 8 * F * D / (pi * d**3)
print(f"k = {k:.2f} N/mm, freccia {F/k:.1f} mm, Kw = {Kw:.3f}, tau = {tau:.0f} MPa")

Output:

pignone d 60  da 66  df 52.5
ruota   d 180  da 186  df 172.5
interasse 120 mm, rapporto 3, passo 9.42 mm
L10 = 1271 milioni di giri = 14127 h
k = 9.77 N/mm, freccia 20.5 mm, Kw = 1.184, tau = 302 MPa

Errori comuni

• Confondere diametro primitivo e di testa: $d = m z$, $d_a = m(z+2)$.
• Calcolare l'interasse con i diametri: è $\frac{d_1 + d_2}{2}$.
• Usare $p = 3$ per i rulli: per i rulli è $10/3$.
• Dimenticare l'interferenza sull'anello che ruota rispetto al carico.
• Nella molla usare $D$ come diametro esterno o dimenticare $K_W$.
• Dimenticare che una tenuta radiale vuole un albero rettificato a tuffo, senza rigature elicoidali.

Domande d'esame

1. Che cosa indica 6208? Cuscinetto radiale rigido a sfere, serie leggera, con alesaggio $8\cdot5 = 40$ mm.
2. Che cosa significa $L_{10}$? La vita (in milioni di giri) raggiunta o superata dal $90\%$ di un lotto di cuscinetti uguali; $L_{10} = (C/P)^3$ per le sfere.
3. Quali sono d, da, df di una ruota con $m = 2{,}5$ e $z = 30$? $d = 75$, $d_a = 80$, $d_f = 68{,}75$ mm.
4. Perché in una tenuta radiale l'albero deve essere rettificato senza rigature elicoidali? Le rigature elicoidali pomperebbero l'olio fuori dal labbro.