Esercizio - riduttore a una coppia di ruote dentate cilindriche

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Testo. Un riduttore a una coppia di ruote cilindriche a denti diritti ( $\alpha = 20^\circ$ ) deve avere un interasse $a = 90$ mm e un rapporto di trasmissione $i = 3$ . Il motore eroga $P = 7{,}5$ kW a $n_1 = 1500$ giri/min. Si prova il modulo $m = 2{,}5$ mm (modulo normalizzato).

a) Si determinino i numeri di denti $z_1$ e $z_2$ .

b) Si calcolino per entrambe le ruote il diametro primitivo, di testa, di piede e di base, il passo e la velocità $n_2$ della ruota.

c) Si calcolino la coppia $T_1$ all'albero motore, la forza tangenziale $F_t$ , la forza radiale $F_r$ e la forza totale sul dente.

d) Si verifichi che il numero di denti del pignone sia accettabile (interferenza) e si dica come si rappresenta la ruota nella vista frontale.

e) Domanda teorica. Perché due ruote ingranano solo se hanno lo stesso modulo? Cosa accadrebbe a parità di rapporto se si scegliesse $m = 5$ mm?

Teoria: Organi delle macchine - cuscinetti, ruote dentate, molle e tenute; velocità angolare: Moto circolare.

a) Numeri di denti

Dall'interasse $a = \dfrac{m(z_1 + z_2)}{2}$ si ricava la somma dei denti: $z_1 + z_2 = \frac{2a}{m} = \frac{2\cdot 90}{2{,}5} = 72$ Il rapporto $i = z_2/z_1 = 3$ dà $z_2 = 3z_1$ . Sostituendo, $4z_1 = 72$ , quindi $z_1 = 18, \qquad z_2 = 54$ Sono numeri interi: il modulo $2{,}5$ va bene.

b) Dimensioni geometriche

grandezza	pignone ( $z_1 = 18$ )	ruota ( $z_2 = 54$ )
$d = m z$	$45{,}0$ mm	$135{,}0$ mm
$d_a = m(z + 2)$	$50{,}0$ mm	$140{,}0$ mm
$d_f = m(z - 2{,}5)$	$38{,}75$ mm	$128{,}75$ mm
$d_b = d\cos20^\circ$	$42{,}29$ mm	$126{,}86$ mm

Passo $p = \pi m = \pi\cdot2{,}5 = 7{,}85$ mm. Controllo dell'interasse: $\frac{45 + 135}{2} = 90$ mm ✓. Velocità della ruota: $n_2 = n_1/i = 1500/3 = 500$ giri/min. Velocità periferica sul primitivo: $v = \dfrac{\pi\, d_1\, n_1}{60} = \dfrac{\pi\cdot0{,}045\cdot1500}{60} = 3{,}53$ m/s.

c) Forze

La coppia del motore, con la velocità angolare $\omega_1 = 2\pi n_1/60 = 157{,}1$ rad/s: $T_1 = \frac{P}{\omega_1} = \frac{7500}{157{,}1} = 47{,}7\ \text{N m}$ Forza tangenziale sul primitivo del pignone ( $r_1 = 22{,}5$ mm): $F_t = \frac{T_1}{r_1} = \frac{2\,T_1}{d_1} = \frac{2\cdot 47\,746\ \text{N mm}}{45\ \text{mm}} = 2122\ \text{N}$ Forza radiale: $F_r = F_t\tan 20^\circ = 2122\cdot0{,}364 = 772$ N. Forza totale lungo la retta d'azione: $F = \dfrac{F_t}{\cos20^\circ} = 2258$ N. La coppia sulla ruota (senza perdite) è $T_2 = T_1\cdot i = 143{,}2$ N m, e si verifica $F_t\cdot r_2 = 2122\cdot0{,}0675 = 143{,}2$ N m ✓.

d) Interferenza e rappresentazione

Numero minimo di denti con $\alpha = 20^\circ$ : $z_{min} = \dfrac{2}{\sin^2 20^\circ} = 17{,}1$ . Il pignone ha $18 \ge 17$ denti: nessuna interferenza di taglio.

Vista frontale (ISO 2203): cerchio primitivo $\varnothing 45$ in linea mista sottile (tratto-punto), cerchio di testa $\varnothing 50$ in linea continua grossa, cerchio di piede $\varnothing 38{,}75$ in linea continua sottile. In sezione assiale i denti non si tagliano. A lato si inserisce la tabella dei dati: $m = 2{,}5$ , $z = 18$ , $\alpha = 20^\circ$ , $d = 45$ .

e) Modulo

Le ruote ingranano solo se i passi $p = \pi m$ coincidono: i denti di una ruota devono entrare nei vani dell'altra. Con $m = 5$ mm si avrebbe $z_1 + z_2 = 2a/m = 36$ e quindi $z_1 = 9$ , $z_2 = 27$ : $z_1 = 9 < 17$ denti, il pignone sarebbe con forte interferenza e indebolito. Il modulo grande dà denti più robusti ma meno denti per il diametro, quindi è più adatto alle grandi potenze e agli interassi grandi.

Risultati

$z_1 = \mathbf{18}$ , $z_2 = \mathbf{54}$ .
$d_1 = 45$ , $d_{a1} = 50$ , $d_{f1} = 38{,}75$ ; $d_2 = 135$ , $d_{a2} = 140$ , $d_{f2} = 128{,}75$ mm; $p = 7{,}85$ mm; $n_2 = 500$ giri/min.
$T_1 = \mathbf{47{,}7\ N\,m}$ , $F_t = \mathbf{2122\ N}$ , $F_r = 772$ N, $F = 2258$ N.
$z_{min} = 17$ : pignone con $18$ denti accettabile.

Errori comuni

Calcolare l'interasse con i diametri di testa: usa i diametri primitivi.
Scrivere $F_t = T/d$ : è $T/r = 2T/d$ .
Confondere modulo e passo: $p = \pi m$ .
Dimenticare il controllo sul numero minimo di denti.

Versione ripasso

Testo. Interasse $a = 90$ mm, $i = 3$ , $m = 2{,}5$ mm, $\alpha = 20^\circ$ , $P = 7{,}5$ kW, $n_1 = 1500$ giri/min. Si chiedono $z_1$ , $z_2$ , diametri, $n_2$ , $T_1$ , $F_t$ , $F_r$ , $F$ , controllo del numero di denti.

Teoria: Organi delle macchine - cuscinetti, ruote dentate, molle e tenute.

Soluzione

$z_1 + z_2 = 2a/m = 72$ ; $z_2 = 3z_1$ , quindi $z_1 = 18$ , $z_2 = 54$ .
Pignone: $d = 45$ , $d_a = 50$ , $d_f = 38{,}75$ , $d_b = 42{,}29$ mm. Ruota: $d = 135$ , $d_a = 140$ , $d_f = 128{,}75$ , $d_b = 126{,}86$ mm. $p = \pi m = 7{,}85$ mm; $n_2 = 500$ giri/min; $v = 3{,}53$ m/s.
$T_1 = P/\omega_1 = 7500/157{,}1 = 47{,}7$ N m; $F_t = 2T_1/d_1 = 2122$ N; $F_r = F_t\tan20^\circ = 772$ N; $F = F_t/\cos20^\circ = 2258$ N; $T_2 = 143{,}2$ N m.
$z_{min} = 2/\sin^2 20^\circ = 17{,}1$ : $z_1 = 18$ va bene. Con $m = 5$ si avrebbe $z_1 = 9$ , con interferenza.
Disegno: primitiva mista sottile, testa continua grossa, piede continua sottile; denti non tagliati in sezione assiale.

Errori tipici: interasse con i diametri di testa; $F_t = T/d$ ; modulo e passo scambiati; dimenticare $z_{min}$ .