Collegamenti albero-mozzo - linguette, profili scanalati, spine e anelli elastici

Prima: Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamentiNessun pezzo viene fabbricato esattamente alla quota nominale: la tolleranza T = limite superiore - limite inferiore dice quanto si può sbagliare. Il sistema ISO la codifica con una lettera (posizione rispetto alla linea dello zero) e un numero (grado IT, ampiezza). Un accoppiamento foro-albero ha gioco, interferenza o è incerto a seconda di come si sovrappongono le due zone di tolleranza; si calcola con gioco massimo = ES - ei e gioco minimo = EI - es.Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamenti → (forzamento e fit di linguetta), Rugosità e stato delle superficiUna superficie reale non è liscia: il profilo di rugosità è l'insieme delle irregolarità a passo piccolo, misurate da una linea media. Il parametro più usato è Ra, la media aritmetica degli scostamenti; Rz è la somma di picco massimo e valle massima. La misura va fatta su una lunghezza di valutazione = 5 lunghezze di campionamento, scelta in base al valore di Ra (ISO 4288). Sul disegno il simbolo di stato superficiale (ISO 1302) indica Ra, processo, direzione delle rigature e sovrametallo.Rugosità e stato delle superfici →, Collegamenti filettati - filettature, viti, dadi e rappresentazioneUna filettatura è un piano inclinato avvolto a elica: la vite trasforma la coppia di serraggio in una forza assiale di precarico che tiene unite le parti per attrito. Il profilo metrico ISO ha angolo di 60 gradi, si designa M10 (passo grosso) o M10x1,25 (passo fine), e l'area resistente As usa il diametro medio tra d2 e d3. Il precarico si porta al 75% del carico di prova Sp di una vite di classe 8.8 (Sp = 580 MPa); la coppia vale circa 0,2 F d. Nel disegno la cresta è una linea grossa, il fondo una linea sottile.Collegamenti filettati - filettature, viti, dadi e rappresentazione →. Rappresentazione in sezione: Sezioni, tratteggi e convenzioni di rappresentazioneUna sezione mostra l'interno di un pezzo: si taglia con un piano (traccia in linea mista, grossa agli estremi, con frecce e lettere A-A), si toglie la parte davanti e si disegna ciò che resta; la parte tagliata si tratteggia con linee sottili a 45 gradi a passo costante (stesso pezzo, stesso tratteggio; pezzi adiacenti in direzione opposta). Tipi: totale, a piani paralleli, a piani concorrenti, mezza sezione (pezzi simmetrici), parziale, ribaltata in loco (contorno sottile) e traslata. Per convenzione non si tratteggiano, se tagliati nel senso della lunghezza, viti, bulloni, dadi, perni, spine, chiavette, rivetti, alberi pieni, sfere, rulli, nervature, razze e denti. Altre convenzioni: viste interrotte, semi-viste, elementi ripetuti, intersezioni fittizie, superfici piane con diagonali.Sezioni, tratteggi e convenzioni di rappresentazione →. Statica di base: Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza →. Esercizi: Esercizio - dimensionamento e verifica di una linguetta parallela, Esercizio - profilo scanalato a confronto con la linguetta e forzamento, Esercizio - spina trasversale di sicurezza e scelta del collegamento albero-mozzo.

Il problema: trasmettere la coppia

Un albero porta un organo (ruota dentata, puleggia, giunto) detto mozzo. Per trasmettere la coppia $T$ dall'albero al mozzo il collegamento deve:

1. impedire la rotazione relativa (collegamenti di forma o di attrito);
2. fissare la posizione assiale (anelli elastici, spallamenti, ghiere);
3. possibilmente centrare il mozzo e permetterne il montaggio e lo smontaggio.

Due famiglie:

• per forma: linguette, profili scanalati, spine. La coppia passa per pressione tra le facce a contatto;
• per attrito: forzamento (interferenza H7/p6, H7/s6), calettatori a espansione, anelli di serraggio. La coppia passa per la forza d'attrito sulla superficie di contatto.

Linguette

La linguetta parallela (ISO 773, ex UNI 6604) è una barretta a sezione rettangolare $b \times h$ e lunghezza $l$, alloggiata in due cave: una nell'albero e una nel mozzo. Le due cave non sono profonde uguali: l'albero ha profondità $t_1$ e il mozzo $t_2$, con $t_1 + t_2 \approx h + 0{,}1\ldots 0{,}3$ mm (gioco sul dorso). Il tipo A ha le estremità arrotondate (si fresa con fresa a candela), il tipo B le ha dritte; esistono anche forme con un'estremità arrotondata e una dritta.

Dimensioni in funzione del diametro $d$ dell'albero (valori in mm da tabella di unificazione):

Lunghezze normalizzate: $\dots,28,32,36,40,45,50,56,63,70,80,90,100,\dots$ mm; di norma $l \approx 1$-$1{,}5\,d$.

Tolleranze della sede. La linguetta ha larghezza $b$ tollerata h9. Nelle cave: assemblaggio normale con cava dell'albero N9 e del mozzo JS9; assemblaggio forzato (carichi alternati, inversioni di marcia) con P9 su entrambe. La profondità si quota come $d - t_1$ sull'albero e $d + t_2$ nel mozzo. La chiavetta a cuneo (DIN 6886, conicità $1:100$) è forzata nella cava e crea un'eccentricità e un carico radiale: non adatta ai moti precisi. Al suo posto si usa la linguetta parallela, che non stringe in direzione radiale. La linguetta a disco (Woodruff) ha una cava circolare, è più profonda e centra bene alberi conici; indebolisce però l'albero.

Calcolo di una linguetta

La coppia $T$ si trasmette attraverso la linguetta con una forza $F$ applicata al raggio dell'albero:

Formula (forza sulla linguetta). $$F = \frac{2T}{d}$$

La forza agisce sulla faccia laterale della linguetta, di area $\frac{h}{2}\,l_{eff}$ (si considera circa metà dell'altezza a contatto con ciascuna cava), e provoca anche un taglio sulla sezione di base $b\, l_{eff}$. La lunghezza efficace, per il tipo A, è $l_{eff} = l - b$ (le estremità arrotondate non portano). Le due verifiche:

Formula (verifica a pressione e a taglio). $$p = \frac{F}{\dfrac{h}{2}\, l_{eff}} \le p_{adm}, \qquad \tau = \frac{F}{b\, l_{eff}} \le \tau_{adm}$$ Per l'acciaio con carichi moderati si usano come ordine di grandezza $p_{adm} \approx 100$-$150$ MPa e $\tau_{adm} \approx 60$-$90$ MPa; la pressione è quasi sempre la verifica che comanda.

Dalla pressione si ricava la lunghezza necessaria: $l_{eff} \ge \dfrac{2F}{h\,p_{adm}}$.

Esempio svolto. Albero $d = 40$ mm, $T = 400$ N m. La tabella dà $12\times8$ (tipo A). $F = \frac{2\cdot400\,000\ \text{N mm}}{40\ \text{mm}} = 20\,000$ N. Con $l = 50$ mm, $l_{eff} = 50 - 12 = 38$ mm: $$p = \frac{20\,000}{4\cdot 38} = 131{,}6\ \text{MPa}, \qquad \tau = \frac{20\,000}{12\cdot 38} = 43{,}9\ \text{MPa}$$ Con $p_{adm} = 120$ MPa la pressione è troppo alta. Serve $l_{eff} \ge \frac{20\,000}{4\cdot120} = 41{,}7$ mm, quindi $l \ge 53{,}7$ mm: si sceglie $l = 56$ mm e si ottiene $p = 113{,}6$ MPa e $\tau = 37{,}9$ MPa, verificate.

Profili scanalati

Quando la coppia è grande o il mozzo deve scorrere assialmente sull'albero (cambio di velocità, alberi cardanici), si fresano sull'albero più denti (o scanalature) che entrano nelle cave del mozzo. Si ottiene un collegamento che trasmette coppie maggiori della linguetta a pari diametro, perché il carico è distribuito su $z$ denti, e si centra meglio.

• Profili a fianchi paralleli (ISO 14): 6, 8, 10 denti, due serie, leggera e media. Designazione $z \times d \times D$ (numero dei denti × diametro interno × diametro esterno), per esempio $6\times21\times25$ (serie media).
• Profili a evolvente (ISO 4156 o DIN 5480): fianchi a evolvente come le ruote dentate, con angolo di pressione $30^\circ$, molti denti piccoli, centraggio sui fianchi; per cambi e trasmissioni.
• Serrazioni (profili triangolari) per collegamenti leggeri.

La coppia trasmissibile si ricava dalla pressione sui fianchi. Non tutti i denti portano allo stesso modo (errori di passo), perciò si introduce un fattore di ripartizione $\psi \approx 0{,}75$:

Formula (coppia di un profilo scanalato). $$T = \psi\, z\, h\, l\, r_m\, p_{adm}, \qquad r_m = \frac{D + d}{4}, \quad \psi \approx 0{,}75$$ con $h$ altezza portante del dente (profondità del dente meno gli smussi), $l$ lunghezza di impegno e $r_m$ raggio medio. È un'estensione della formula della linguetta: ogni dente porta una forza $p\, h\, l$ al raggio $r_m$.

Esempio svolto. Profilo $6\times21\times25$, altezza portante $h = 1{,}4$ mm, $l = 30$ mm, $p_{adm} = 100$ MPa. Raggio medio $r_m = \frac{25+21}{4} = 11{,}5$ mm: $$T = 0{,}75\cdot 6\cdot 1{,}4\cdot 30\cdot 11{,}5\cdot100 = 217\,350\ \text{N mm} = 217\ \text{N m}.$$ Una linguetta $6\times6$ sullo stesso albero ($d = 21$ mm, $l = 30$, tipo A, $l_{eff} = 24$ mm, $p_{adm} = 100$ MPa) trasmette: $F_{max} = 100\cdot3\cdot24 = 7200$ N, $T = F_{max}\cdot\frac{d}{2} = 7200\cdot10{,}5 = 75\,600$ N mm $= 75{,}6$ N m. Il profilo scanalato porta $2{,}9$ volte la coppia.

Rappresentazione (ISO 6413): nel disegno si usa la stessa convenzione delle filettature, con la cresta in linea grossa e il fondo in linea sottile; nella vista assiale si disegna un solo dente (o pochi) e si scrive la designazione ($6\times21\times25$); in sezione longitudinale i denti non si tagliano.

Collegamento per forzamento

La coppia si trasmette per attrito sull'accoppiamento con interferenza (Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamentiNessun pezzo viene fabbricato esattamente alla quota nominale: la tolleranza T = limite superiore - limite inferiore dice quanto si può sbagliare. Il sistema ISO la codifica con una lettera (posizione rispetto alla linea dello zero) e un numero (grado IT, ampiezza). Un accoppiamento foro-albero ha gioco, interferenza o è incerto a seconda di come si sovrappongono le due zone di tolleranza; si calcola con gioco massimo = ES - ei e gioco minimo = EI - es.Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamenti →). Se $\delta$ è l'interferenza diametrale efficace, la pressione di contatto per albero pieno e mozzo di diametro esterno $D$ (stesso materiale, modulo $E$) è

Formula (pressione e coppia del forzamento). $$p = \frac{E\,\delta}{2d}\left(1 - \frac{d^2}{D^2}\right), \qquad T = \mu\, p\,\pi d\, l\,\frac{d}{2} = \mu\,p\,\frac{\pi d^2 l}{2}$$ La forza d'attrito è $\mu\,p\,(\pi d l)$ applicata al raggio $d/2$.

Esempio. $\varnothing 40$ H7/s6 (interferenza da $18$ a $59\ \mu\text{m}$), mozzo con $D = 80$ mm, $l = 40$ mm, $\mu = 0{,}15$, $E = 210\,000$ MPa: con $\delta = 18\ \mu\text{m}$ si ha $p = 35{,}4$ MPa e $T = 534$ N m; con $\delta = 59\ \mu\text{m}$ si ha $p = 116$ MPa e $T = 1752$ N m. La dispersione (un fattore tre) deriva dalla tolleranza e dalla rugosità: le creste si schiacciano e riducono l'interferenza efficace (vedi Rugosità e stato delle superficiUna superficie reale non è liscia: il profilo di rugosità è l'insieme delle irregolarità a passo piccolo, misurate da una linea media. Il parametro più usato è Ra, la media aritmetica degli scostamenti; Rz è la somma di picco massimo e valle massima. La misura va fatta su una lunghezza di valutazione = 5 lunghezze di campionamento, scelta in base al valore di Ra (ISO 4288). Sul disegno il simbolo di stato superficiale (ISO 1302) indica Ra, processo, direzione delle rigature e sovrametallo.Rugosità e stato delle superfici →). Per questo si progetta con l'interferenza minima.

Spine

Una spina è un cilindro (o cono) di acciaio inserito in un foro comune ad albero e mozzo, perpendicolare all'asse o parallelo. Si usa per posizionare (spine di riferimento tra due pezzi che devono rimontarsi nella stessa posizione), per trasmettere carichi piccoli o come organo di sicurezza (si taglia se il carico supera un limite, proteggendo il resto).

• Spina cilindrica (ISO 2338, tolleranza m6; ISO 8734 temprata): in foro alesato H7, accoppiamento leggermente forzato (incerto).
• Spina conica (ISO 2339, conicità $1:50$): in foro alesato conico; si fissa a colpi di martello e si smonta; il diametro nominale è quello dell'estremità più piccola. Garantisce il rimontaggio ripetibile.
• Spina elastica (ISO 8752, un tubo arrotolato con taglio): si monta in un foro di tolleranza meno stretta (H12) e fa molla; non richiede alesatura.
• Spina scanalata (ISO 8745): con scanalature che si deformano nel foro, senza alesatura.

Calcolo di una spina trasversale che attraversa albero e mozzo: lavora a taglio su due sezioni (le due interfacce albero-mozzo). Ciascuna trasmette la forza $F = T/d$ (le due forze formano una coppia di braccio $d$), quindi $$\tau = \frac{F}{\pi d_p^2/4} = \frac{4T}{\pi\, d\, d_p^2}, \qquad T_{max} = \tau_{adm}\,\frac{\pi\, d\, d_p^2}{4}$$ con $d$ diametro dell'albero e $d_p$ diametro della spina. Si controlla anche la pressione sul foro di albero e mozzo: $p = F/(d_p\, t)$ con $t$ spessore della parete interessata.

Anelli elastici e fissaggio assiale

Per impedire gli spostamenti assiali di un organo sull'albero o in un alloggiamento si usano:

• anelli elastici di arresto (DIN 471 per alberi, DIN 472 per fori), anelli di acciaio armonico con un taglio, montati con pinze in una gola ricavata al tornio: sono economici e compatti ma reggono solo carichi assiali modesti, e la gola indebolisce l'albero;
• ghiere filettate e rosette di sicurezza, per carichi maggiori;
• spallamenti (aumenti di diametro dell'albero) che fermano l'organo da un lato;
• rondelle e viti di testa (vite assiale con rondella in fondo all'albero).

Il carico assiale passa per pressione sul fianco della gola e per taglio nell'anello; la gola è un intaglio ad alta concentrazione di tensioni, perciò va fatta con raggi di raccordo e in una zona dove il momento flettente è basso (fatica dell'albero).

Come scegliere

Rappresentazione

Nella sezione longitudinale i particolari pieni e allungati (alberi, viti, spine, linguette) non si tagliano e non si tratteggiano; nella sezione trasversale sono invece sezionati e si tratteggiano con direzione diversa tra parti contigue (vedi Sezioni, tratteggi e convenzioni di rappresentazioneUna sezione mostra l'interno di un pezzo: si taglia con un piano (traccia in linea mista, grossa agli estremi, con frecce e lettere A-A), si toglie la parte davanti e si disegna ciò che resta; la parte tagliata si tratteggia con linee sottili a 45 gradi a passo costante (stesso pezzo, stesso tratteggio; pezzi adiacenti in direzione opposta). Tipi: totale, a piani paralleli, a piani concorrenti, mezza sezione (pezzi simmetrici), parziale, ribaltata in loco (contorno sottile) e traslata. Per convenzione non si tratteggiano, se tagliati nel senso della lunghezza, viti, bulloni, dadi, perni, spine, chiavette, rivetti, alberi pieni, sfere, rulli, nervature, razze e denti. Altre convenzioni: viste interrotte, semi-viste, elementi ripetuti, intersezioni fittizie, superfici piane con diagonali.Sezioni, tratteggi e convenzioni di rappresentazione →). La cava si quota con $d - t_1$, la larghezza con la tolleranza (N9, JS9) e la lunghezza.

Calcolo con Python

from math import pi

def forzamento(delta_mm, d=40.0, D=80.0, l=40.0, mu=0.15, E=210000.0):
    p = E * delta_mm / (2 * d) * (1 - (d / D) ** 2)        # pressione di contatto [MPa]
    T = mu * p * pi * d ** 2 * l / 2 / 1000                 # coppia trasmissibile [N m]
    sigma_h = p * (D ** 2 + d ** 2) / (D ** 2 - d ** 2)     # tensione circonferenziale al foro [MPa]
    return p, T, sigma_h

for delta in (0.018, 0.059):                                # H7/s6 su d = 40: interferenza minima e massima
    p, T, s = forzamento(delta)
    print(f"interferenza {delta*1000:.0f} um: p {p:.1f} MPa, T {T:.0f} N m, sigma {s:.0f} MPa")

Output:

interferenza 18 um: p 35.4 MPa, T 534 N m, sigma 59 MPa
interferenza 59 um: p 116.2 MPa, T 1752 N m, sigma 194 MPa

Errori comuni

• Usare $F = T/d$ invece di $2T/d$ per la linguetta: $F = T/(d/2)$.
• Verificare solo a taglio: la pressione sulla faccia ($h/2$) è quasi sempre quella critica.
• Dimenticare di togliere $b$ dalla lunghezza di una linguetta di tipo A.
• Scambiare $t_1$ e $t_2$: la cava dell'albero è più profonda di quella del mozzo (per $12\times8$: $5{,}0$ contro $3{,}3$ mm).
• Contare le spine a una sola sezione: la spina trasversale lavora a due sezioni.

Domande d'esame

1. Perché la linguetta si verifica a pressione e a taglio? Perché la forza $F = 2T/d$ preme sulle facce laterali (area $h\,l_{eff}/2$) e taglia la base (area $b\,l_{eff}$).
2. Quando si preferisce un profilo scanalato? Per coppie elevate, per mozzi scorrevoli e per un miglior centraggio.
3. Che cos'è una spina elastica e perché non serve alesare? È un tubo arrotolato con taglio, che fa molla nel foro (H12) e si adatta.
4. Che cosa trasmette la coppia in un forzamento? L'attrito sulla superficie di contatto, dovuto alla pressione dell'interferenza.