Esercizio - viste e linee nascoste di un cubo con due fori

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Teoria: Proiezioni ortogonali - metodo europeo e americano.

Testo. Un cubo di lato $40$ mm (con $x$ , $y$ , $z$ da $0$ a $40$ ; osservatore frontale davanti, $y$ cresce allontanandosi) ha due fori:

un foro passante verticale (asse parallelo a $z$ ) Ø12, con asse in $(x, y) = (20, 20)$ ;
un foro cieco orizzontale (asse parallelo a $x$ ) Ø8, che parte dalla faccia destra ( $x = 40$ ) con asse in $(y, z) = (20, 20)$ , profondo $12$ mm (fondo piano).

Si disegnano in proiezione europea la vista frontale, la pianta e la vista da destra.

Descrivere in ogni vista le linee in vista e quelle nascoste, con le loro posizioni.
Verificare che i due fori non si intersechino e calcolare lo spessore della parete tra loro.
Calcolare il volume del pezzo.
Domanda teorica. Perché serve la vista da destra? Quale vista basterebbe se il foro cieco non ci fosse?

1. Le tre viste

Posizione delle viste (metodo europeo): la pianta sotto la frontale e la vista da destra a sinistra della frontale.

Vista frontale (si legge $(x, z)$ ): contorno quadrato $40 \times 40$ . Il foro verticale, nascosto, dà due tratteggiate verticali a $x = 20 \pm 6 = 14$ e $26$ , per tutta l'altezza ( $z$ da $0$ a $40$ ). Il foro cieco, nascosto, dà due tratteggiate orizzontali a $z = 20 \pm 4 = 16$ e $24$ , da $x = 28$ a $x = 40$ , e un tratteggio verticale a $x = 28$ (il fondo del foro) tra $z = 16$ e $24$ . Totale: 5 tratteggi, nessun cerchio.

Pianta (si legge $(x, y)$ ): contorno quadrato $40 \times 40$ . Il foro verticale compare come cerchio in vista Ø12 centrato in $(20, 20)$ . Il foro cieco, sotto il materiale superiore, dà due tratteggiate a $y = 16$ e $24$ (da $x = 28$ a $40$ ) e il fondo tratteggiato a $x = 28$ . Totale: 1 cerchio in vista e 3 tratteggi.

Vista da destra (si legge $(y, z)$ , con $y$ che cresce verso destra perché si guarda da $+x$ verso $-x$ ; posta a sinistra della frontale): quadrato $40 \times 40$ . Il foro cieco, che si apre su questa faccia, è un cerchio in vista Ø8 centrato in $(y, z) = (20, 20)$ . Il foro verticale, nascosto, dà due tratteggiate verticali a $y = 14$ e $26$ . Totale: 1 cerchio in vista e 2 tratteggi.

Grafico interattivo: Soluzione: frontale, pianta e vista da destra del cubo con il foro passante verticale e il foro cieco orizzontale; le linee tratteggiate sono gli spigoli nascosti

2. Interferenza e parete

Il foro verticale occupa $x$ da $20 - 6 = 14$ a $20 + 6 = 26$ ; il foro cieco occupa $x$ da $28$ a $40$ . Tra i due resta una parete di spessore $28 - 26 = 2\ \text{mm}$ quindi non si intersecano (è però una parete sottile: in un progetto vero andrebbe verificata).

3. Volume

Cubo meno i due cilindri:

$V = 40^3 - \pi \cdot 6^2 \cdot 40 - \pi \cdot 4^2 \cdot 12 = 64000 - 4523{,}9 - 603{,}2 = 58872{,}9\ \text{mm}^3$

dove $\pi \cdot 36 \cdot 40 = 4523{,}9$ è il foro passante (raggio $6$ mm, lunghezza $40$ mm) e $\pi \cdot 16 \cdot 12 = 603{,}2$ il foro cieco (raggio $4$ mm, profondità $12$ mm).

python

import math
V = 40**3 - math.pi * 6**2 * 40 - math.pi * 4**2 * 12
print(round(math.pi * 36 * 40, 1), round(math.pi * 16 * 12, 1), round(V, 1), "parete:", 28 - 26)

L'uscita è 4523.9 603.2 58872.9 parete: 2.

4. Perché la vista da destra

Il foro cieco si apre sulla faccia destra: solo guardando da destra se ne vede il cerchio in vista, e quindi il suo diametro e la sua posizione si quotano in modo chiaro (le quote su linee nascoste sono vietate). Senza di essa il foro si vedrebbe solo come tratteggi. Se il foro cieco non ci fosse, il pezzo sarebbe descritto dalla sola pianta (cerchio Ø12) con la nota "cubo $40 \times 40 \times 40$ ": le altre due viste sarebbero quadrati con due tratteggiate e quindi superflue.

Risultati

punto	risultato
1	frontale: 5 tratteggi; pianta: cerchio Ø12 e 3 tratteggi; da destra: cerchio Ø8 e 2 tratteggi
2	parete tra i fori di $2$ mm: nessuna intersezione
3	$V = 58872{,}9$ mm $^3$
4	il cerchio del foro cieco si vede solo da destra e lì si quota

Errori comuni

Disegnare il foro cieco come passante nelle viste (tratteggi fino all'altra faccia).
Dimenticare il fondo del foro cieco nelle viste dove è tratteggiato.
Mettere la vista da destra a destra della frontale (nel metodo europeo sta a sinistra).
Quotare il foro cieco nella frontale, dove è nascosto, invece che nella vista da destra.

Versione ripasso

Testo. Cubo di lato $40$ mm con foro passante verticale Ø12 in $(20, 20)$ e foro cieco orizzontale Ø8 dalla faccia destra, asse in $(y, z) = (20, 20)$ , profondità $12$ mm. Viste (metodo europeo): frontale, pianta, da destra. Teoria: Proiezioni ortogonali - metodo europeo e americano.

Soluzione

Frontale: tratteggiate a $x = 14$ e $26$ ; a $z = 16$ e $24$ per $x = 28$ - $40$ ; fondo a $x = 28$ (5 tratteggi). Pianta: cerchio Ø12 in vista; tratteggiate $y = 16$ , $24$ ( $x = 28$ - $40$ ) e fondo (3). Da destra (a sinistra della frontale): cerchio Ø8 in vista; tratteggiate $y = 14$ e $26$ (2).
Parete: $28 - 26 = 2$ mm: nessuna intersezione.
$V = 64000 - \pi\cdot36\cdot40 - \pi\cdot16\cdot12 = 64000 - 4523{,}9 - 603{,}2 = 58872{,}9$ mm $^3$ .
Il cerchio del foro cieco si vede solo da destra e lì si quota; senza foro cieco basterebbe la pianta con "40×40×40".

Passaggi principali

Per ogni vista: contorno quadrato $40 \times 40$ mm, poi cerchi in vista, poi tratteggiate (generatrici dei fori) alle quote $x = 20 \pm 6$ e $z = 20 \pm 4$ rispetto agli assi dei fori.
Il foro cieco si apre sulla faccia destra: il suo cerchio si vede solo nella vista da destra, dove si quota; parete tra i fori $28 - 26 = 2$ mm.
Metodo europeo: pianta sotto la frontale, vista da destra a sinistra della frontale.

Errori comuni

Foro cieco passante; fondo omesso; vista da destra a destra; quota su nascosto.

Teoria collegata

Proiezioni ortogonali - metodo europeo e americano