Esercizio - vera forma di una faccia inclinata con la vista ausiliaria

1. Lo spigolo inclinato

Componenti dello spigolo, con l'angolo di $30^\circ$ e la lunghezza $40$ mm:

$$\Delta x = -40\cos30^\circ = -34{,}64\ \text{mm}, \qquad \Delta z = 40\sin30^\circ = 20{,}00\ \text{mm}$$

da cui il punto finale $(80 - 34{,}64;\ 10 + 20) = (45{,}36;\ 30)$ ✓. La lunghezza è $\sqrt{34{,}64^2 + 20^2} = 40$ mm. Nella frontale lo spigolo è lungo $40$ mm, la vera lunghezza, perché la faccia contiene la direzione $y$ ed è perpendicolare al piano frontale: si vede di taglio, cioè come un segmento, e un segmento è visto in vera lunghezza quando è parallelo al piano di proiezione (Assonometrie e viste ausiliarieL'assonometria rappresenta un solido con un'unica immagine, proiettandolo su un piano insieme ai suoi tre assi. Isometrica: assi a 120 gradi, tre coefficienti di riduzione uguali a √(2/3) = 0,816 (nella pratica si disegna in scala 1:1 e il disegno risulta ingrandito di 1,225); un cerchio diventa un'ellisse con asse maggiore d (o 1,225 d) e minore d/√3 (o 0,707 d). Cavaliera: faccia frontale in vera forma, fuggenti a 45 gradi ridotte a metà. Dimetrica ISO: rapporti 1 : 1 : 1/2. Una faccia inclinata di α appare accorciata di cos α; per vederla in vera forma si disegna una vista ausiliaria su un piano parallelo alla faccia, con freccia e lettera, anche parziale.Assonometrie e viste ausiliarie →).

2. La faccia nella pianta

La pianta proietta sul piano orizzontale. Rispetto a esso la faccia è inclinata di $30^\circ$, quindi:

• larghezza: $40\cos30^\circ = 34{,}64$ mm (accorciata), profondità $50$ mm (invariata, perché parallela al piano);
• area: $34{,}64 \cdot 50 = 1732$ mm$^2$ invece di $40 \cdot 50 = 2000$ mm$^2$ (fattore $\cos30^\circ = 0{,}866$);
• foro: da cerchio diventa ellisse con asse maggiore $16$ mm (lungo $y$, direzione non accorciata) e asse minore $16\cos30^\circ = 13{,}86$ mm (lungo $x$).

Quindi né la pianta né la frontale permettono di misurare la faccia: serve la vista ausiliaria.

3. Vista ausiliaria A

La direzione di osservazione è perpendicolare alla faccia, cioè nel piano frontale e inclinata di $30^\circ$ rispetto alla verticale: versore $n = (\sin30^\circ,\ \cos30^\circ) = (0{,}5;\ 0{,}866)$ (verso l'esterno). Si traccia da ogni estremo della faccia una linea di richiamo lungo $n$ (la perpendicolare alla traccia della faccia):

• si portano le distanze $20$ mm e $20 + 50 = 70$ mm dallo spigolo: la prima per lo spazio tra le viste, la seconda perché la profondità della faccia ($50$ mm) si riporta in direzione della richiamo, da una vista che la mostra (qui la pianta);
• la lunghezza lungo la faccia è quella vera, $40$ mm.

Vertici della vista ausiliaria nel sistema della frontale: $A = (80, 10)$, $B = (45{,}36;\ 30)$:

$$A + 20n = (90{,}00;\ 27{,}32), \quad B + 20n = (55{,}36;\ 47{,}32), \quad B + 70n = (80{,}36;\ 90{,}62), \quad A + 70n = (115{,}00;\ 70{,}62)$$

Il rettangolo che ne risulta misura $40 \times 50$ mm. Il foro, centrato a metà della faccia, è un cerchio vero Ø16 con centro a $20 + 25 = 45$ mm dallo spigolo lungo $n$ (nella figura è a $45$ mm dalla traccia). Si segnano la freccia e la lettera A sulla frontale e la scritta "A" sotto la vista ausiliaria.

4. Area in vera forma

$$S = 40 \cdot 50 - \pi \cdot 8^2 = 2000 - 201{,}06 = 1798{,}9\ \text{mm}^2$$

(corrisponde all'area proiettata in pianta, $1732 - \pi \cdot 8 \cdot 6{,}93 = 1557{,}9$, divisa per $\cos30^\circ$: $1557{,}9/0{,}866 = 1798{,}9$ ✓).

import math
a = math.radians(30)
A = (80, 10); B = (A[0] - 40 * math.cos(a), A[1] + 40 * math.sin(a))
n = (math.sin(a), math.cos(a))
for nome, p, d in [("A+20n", A, 20), ("B+20n", B, 20), ("B+70n", B, 70), ("A+70n", A, 70)]:
    print(nome, round(p[0] + n[0] * d, 2), round(p[1] + n[1] * d, 2))
print(round(16 * math.cos(a), 2), round(40 * 50 - math.pi * 64, 1), round(40 * 50 * math.cos(a)))

L'uscita riporta i quattro vertici, poi 13.86 1798.9 1732.

5. Vera forma e vera lunghezza

Nella frontale la faccia è perpendicolare al piano di proiezione: i raggi proiettanti la attraversano di taglio e tutti i suoi punti cadono sulla traccia, un segmento lungo come la faccia (vera lunghezza della pendenza). Nella pianta la faccia è inclinata rispetto al piano e viene proiettata con il fattore $\cos\alpha$ nella direzione della pendenza, mentre nella direzione $y$ (parallela al piano) non cambia. Per avere tutte e due le dimensioni vere serve un piano di proiezione parallelo alla faccia: è quello della vista ausiliaria.

Risultati

Errori comuni

• Misurare la larghezza della faccia sulla pianta ($34{,}64$) invece che sulla frontale ($40$).
• Tracciare le linee di richiamo verticali invece che perpendicolari alla traccia della faccia.
• Riportare la profondità dal lato sbagliato: qui la vista ausiliaria sta dalla parte da cui si guarda (lungo la freccia, come una pianta del metodo americano), quindi il suo lato vicino alla frontale è la parte anteriore del pezzo ($y = 0$) e quello lontano la posteriore ($y = 50$).
• Dimenticare freccia e lettera della vista ausiliaria.