Esercizio - catena chiusa di quote su un perno a gradini

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Teoria: Quotatura - elementi, regole e disposizione delle quote, Quotatura funzionale e catene di quote.

Testo. Un perno a gradini ha tre tratti: Ø20 lungo $30$ mm, Ø30 lungo $45$ mm, Ø16 lungo $25$ mm, per una lunghezza totale di $100$ mm. Un progettista ha scritto tutte e quattro le quote di lunghezza (figura).

Grafico interattivo: Perno a gradini quotato con tutte e quattro le quote: la catena 30, 45, 25 e la lunghezza totale 100 è chiusa

Verificare che la quotatura è una catena chiusa e dire quale difetto ha.
Caso A. Il tratto Ø30 (lungo $45$ ) si inserisce tra due anelli di una macchina e deve essere $45 \pm 0{,}05$ mm; i tratti da $30$ e $25$ mm sono liberi ( $\pm 0{,}5$ mm); la lunghezza totale non interessa. Quale quota si omette? Con quale tolleranza risulta la lunghezza totale?
Caso B. Ora la lunghezza totale deve essere $100 \pm 0{,}2$ mm (il perno entra in un vano di quella lunghezza) e il tratto da $45$ resta $\pm 0{,}05$ ; il tratto da $30$ è libero ( $\pm 0{,}5$ ). Quale quota si omette e con quale tolleranza risulta?
Quali quote di diametro vanno aggiunte e su quale vista?
Domanda teorica. Perché la quota omessa assorbe le tolleranze delle altre?

1. Catena chiusa

Le quote parziali sommano: $30 + 45 + 25 = 100$ , uguale alla quota totale. La catena è chiusa: una delle quattro quote è ridondante, ricavabile dalle altre. Il difetto è che le tolleranze sulle quattro quote potrebbero essere incompatibili (per esempio $30 \pm 0{,}5$ , $45 \pm 0{,}05$ , $25 \pm 0{,}5$ e totale $100 \pm 0{,}2$ : la somma delle parziali varia tra $98{,}95$ e $101{,}05$ , mentre il totale dovrebbe stare tra $99{,}8$ e $100{,}2$ ): il disegno si contraddice.

2. Caso A: omettere la lunghezza totale

Le quote funzionali sono quella da $45 \pm 0{,}05$ ; le altre due sono libere e la totale non interessa. Si omette la totale (o la si scrive come ausiliaria, (100)): è la quota di chiusura. Conseguenza sulle tolleranze (somma nel caso peggiore):

$t_{\text{tot}} = 0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}5 = 1{,}05\ \text{mm}$

La lunghezza totale risulta $100 \pm 1{,}05$ mm, cioè tra $98{,}95$ e $101{,}05$ mm: è un valore ausiliario, senza obbligo.

3. Caso B: omettere il tratto da 25

Qui le quote funzionali sono la totale ( $100 \pm 0{,}2$ ) e il tratto da $45$ ( $\pm 0{,}05$ ); il tratto da $30$ è libero ma va dato. Si omette la meno importante: il tratto da 25 mm, che diventa la quota di chiusura. Poiché $25 = 100 - 45 - 30$ :

$t_{25} = 0{,}2 + 0{,}05 + 0{,}5 = 0{,}75\ \text{mm}$

cioè il tratto da $25$ mm, scritto (25), risulta $25 \pm 0{,}75$ mm, tra $24{,}25$ e $25{,}75$ mm. Si vede che chi ha la tolleranza larga (il tratto libero da $30$ ) fa peggiorare la quota omessa: se serve più precisione sul tratto da $25$ conviene stringere il tratto da $30$ .

python

t_A = 0.5 + 0.05 + 0.5          # totale omessa
t_B = 0.2 + 0.05 + 0.5          # tratto da 25 omesso
print(round(100 - t_A, 2), round(100 + t_A, 2), round(25 - t_B, 2), round(25 + t_B, 2))

L'uscita è 98.95 101.05 24.25 25.75.

4. Quote di diametro

Si aggiungono Ø20, Ø30 e Ø16, scritti sulla vista longitudinale dove ogni tratto appare come un rettangolo: così bastano una sola vista e il simbolo Ø (non servono viste con cerchi). Le quote sono comunque quelle di un cilindro: ciascun diametro è una quota funzionale se il tratto si accoppia con altri pezzi.

5. Perché la quota omessa assorbe le tolleranze

Quando si lavora il pezzo, ogni quota data viene rispettata entro la sua tolleranza. La grandezza che non è quotata non si controlla: risulta uguale alla somma o alla differenza di quelle che lo sono, e quindi le sue variazioni sono la somma delle variazioni delle altre (le tolleranze si cumulano). Per questo la quota omessa deve essere quella meno importante per il funzionamento: il suo valore può "ballare" senza danni per il funzionamento.

Risultati

punto	risultato
1	$30 + 45 + 25 = 100$ : catena chiusa, quota ridondante
2	si omette (o si mette tra parentesi) la totale: $100 \pm 1{,}05$ mm
3	si omette il tratto da $25$ : risulta $25 \pm 0{,}75$ mm
4	Ø20, Ø30, Ø16 sulla vista longitudinale
5	la grandezza non quotata è somma o differenza delle altre, quindi ne accumula le tolleranze

Errori comuni

Lasciare tutte e quattro le quote: catena chiusa e possibile contraddizione.
Omettere una quota funzionale (per esempio il tratto da $45$ nel caso A).
Sommare le tolleranze con segno invece che in valore assoluto.
Dimenticare di mettere tra parentesi una quota ausiliaria che si vuole lasciare.

Versione ripasso

Testo. Perno con tratti Ø20 lungo $30$ , Ø30 lungo $45$ , Ø16 lungo $25$ mm (totale $100$ ) con tutte e quattro le quote scritte: difetto; caso A ( $45 \pm 0{,}05$ funzionale, altri liberi $\pm 0{,}5$ ); caso B (totale $100 \pm 0{,}2$ e $45 \pm 0{,}05$ funzionali); quote di diametro. Teoria: Quotatura funzionale e catene di quote.

Soluzione

$30 + 45 + 25 = 100$ : catena chiusa, una quota ridondante (tolleranze incompatibili).
Caso A: si omette la totale, $t = 0{,}5 + 0{,}05 + 0{,}5 = 1{,}05$ : $100 \pm 1{,}05$ (ausiliaria).
Caso B: si omette il tratto da $25$ : $t = 0{,}2 + 0{,}05 + 0{,}5 = 0{,}75$ : $25 \pm 0{,}75$ .
Ø20, Ø30, Ø16 sulla vista longitudinale.
La quota omessa non è controllata: accumula le tolleranze delle altre, quindi deve essere la meno importante.

Controllo finale

Intervalli: caso A $98{,}95 \div 101{,}05$ mm; caso B $24{,}25 \div 25{,}75$ mm per il tratto da $25$ .
La somma delle tolleranze di chiusura si fa in valore assoluto: $0{,}2 + 0{,}05 + 0{,}5 = 0{,}75$ .

Errori comuni

Quattro quote insieme; quota funzionale omessa; tolleranze sommate con segno; ausiliaria senza parentesi.

Esercizio - catena chiusa di quote su un perno a gradini

1. Catena chiusa

2. Caso A: omettere la lunghezza totale

3. Caso B: omettere il tratto da 25

4. Quote di diametro

5. Perché la quota omessa assorbe le tolleranze

Risultati

Errori comuni

Soluzione

Controllo finale

Errori comuni

Teoria collegata