Esercizio - molla elicoidale di compressione e tenute di un albero

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Testo. Una molla elicoidale cilindrica di compressione in acciaio ( $G = 80\,000$ MPa) ha filo $d = 3$ mm, diametro medio $D = 24$ mm, $n_a = 10$ spire attive ed estremità chiuse e molate (spire totali $n_a + 2$ ). Deve lavorare con una forza massima $F = 100$ N.

a) Si calcolino l'indice di molla $C$ , la rigidezza $k$ , la freccia $f$ e la lunghezza a spire serrate $L_s$ .

b) Si calcoli il fattore di Wahl e la tensione massima di taglio; si confronti con la tensione senza correzione.

c) Due molle uguali a questa si montano in parallelo e poi in serie: rigidezza e freccia a $100$ N.

d) La stessa macchina ha un albero $\varnothing 30$ che gira a $3000$ giri/min, con un anello di tenuta radiale $30\times47\times7$ . Si calcoli la velocità periferica, si indichino tolleranze e rugosità dell'albero e dell'alloggiamento (dati: IT11 per $\varnothing 30$ vale $130\ \mu\text{m}$ , IT8 per $\varnothing 47$ vale $39\ \mu\text{m}$ ; limite di velocità periferica del labbro in gomma nitrilica, dal catalogo del costruttore, $12$ m/s) e si verifichi la compatibilità.

e) Domanda teorica. Che cosa si ottiene con un O-ring di sezione $s = 3$ mm in una gola profonda $2{,}4$ mm? Perché l'albero di una tenuta radiale non deve avere rigature elicoidali?

Teoria: Organi delle macchine - cuscinetti, ruote dentate, molle e tenute; Forza elastica.

a) Rigidezza e freccia

Indice di molla $C = D/d = 24/3 = 8$ . Rigidezza: $k = \frac{G\,d^4}{8\,D^3\,n_a} = \frac{80\,000\cdot 3^4}{8\cdot 24^3\cdot10} = \frac{6\,480\,000}{1\,105\,920} = 5{,}86\ \text{N/mm}$ Freccia a $F = 100$ N: $f = F/k = 100/5{,}86 = 17{,}1$ mm. Lunghezza a spire serrate: $L_s = (n_a + 2)\,d = 12\cdot3 = 36$ mm (con estremità chiuse e molate). L'energia elastica immagazzinata è $U = \tfrac12 F f = \tfrac12\cdot100\cdot17{,}07 = 853\ \text{N mm} = 0{,}85$ J.

b) Tensione

Fattore di Wahl (con $C = 8$ ): $K_W = \frac{4C - 1}{4C - 4} + \frac{0{,}615}{C} = \frac{31}{28} + \frac{0{,}615}{8} = 1{,}107 + 0{,}077 = 1{,}184$ Tensione nominale di torsione: $\tau_0 = \dfrac{8\,F\,D}{\pi\,d^3} = \dfrac{8\cdot100\cdot24}{\pi\cdot27} = 226{,}3$ MPa. Tensione massima: $\tau_{max} = K_W\,\tau_0 = 1{,}184\cdot226{,}3 = 268\ \text{MPa}$ La correzione di Wahl aumenta la tensione del $18\%$ ; un acciaio per molle regge molto di più (centinaia di MPa in più) a carico statico.

c) Parallelo e serie

Parallelo (la forza si divide, lo spostamento è lo stesso): $k_p = 2k = 11{,}72$ N/mm; a $100$ N la freccia è $100/11{,}72 = 8{,}5$ mm.
Serie (stessa forza, spostamenti che si sommano): $k_s = k/2 = 2{,}93$ N/mm; a $100$ N la freccia è $100/2{,}93 = 34{,}1$ mm. Ciascuna molla lavora a $100$ N come prima, ma l'insieme è più cedevole.

d) Tenuta radiale

Velocità periferica: $v = \dfrac{\pi\,d\,n}{60} = \dfrac{\pi\cdot0{,}030\cdot3000}{60} = 4{,}71$ m/s, minore di $12$ m/s: la gomma nitrilica è adatta.

Albero: tolleranza h11, cioè $0 / -130\ \mu\text{m}$ (IT11 $= 130$ ); alloggiamento H8, cioè $+39 / 0\ \mu\text{m}$ su $\varnothing 47$ . Albero con durezza almeno $45$ HRC, rugosità $R_a\ 0{,}2$ - $0{,}8\ \mu\text{m}$ e rettificato a tuffo, con smusso di invito di $15$ - $30^\circ$ . L'anello si monta con interferenza nell'alloggiamento (sul suo diametro esterno) e il labbro striscia sull'albero.

e) O-ring e rigature

L'O-ring da $3$ mm in gola profonda $2{,}4$ mm è compresso di $\frac{s - h}{s} = \frac{3 - 2{,}4}{3} = 0{,}20 = 20\,\%$ nel campo normale $15$ - $30\,\%$ per le tenute statiche: l'anello tiene senza essere schiacciato.

Un albero con rigature elicoidali (per esempio dal tornio) agisce come una vite senza fine: mentre ruota, spinge l'olio lungo le rigature e lo porta fuori dal labbro (o dentro, a seconda del verso), con perdita. La rettifica a tuffo lascia rigature circonferenziali che non portano olio.

Risultati

$C = 8$ , $k = \mathbf{5{,}86\ N/mm}$ , $f = \mathbf{17{,}1\ mm}$ , $L_s = 36$ mm.
$K_W = 1{,}184$ , $\tau_{max} = \mathbf{268\ MPa}$ ( $\tau_0 = 226$ ).
Parallelo $11{,}72$ N/mm ( $8{,}5$ mm); serie $2{,}93$ N/mm ( $34{,}1$ mm).
$v = 4{,}71$ m/s $< 12$ ; albero h11 ( $0/-130$ ), alloggiamento H8 ( $+39/0$ ), $R_a\ 0{,}2$ - $0{,}8$ .
O-ring: compressione $20\%$ .

Errori comuni

Usare $D$ e $d$ scambiati nella formula di $k$ (la rigidezza va con $d^4/D^3$ ).
Contare tutte le spire invece delle spire attive nella rigidezza.
Scambiare serie e parallelo.
Albero tornito con rigature elicoidali per una tenuta radiale.

Versione ripasso

Testo. Molla con $d = 3$ mm, $D = 24$ mm, $n_a = 10$ , $G = 80\,000$ MPa, $F = 100$ N, estremità chiuse e molate. Poi parallelo e serie di due molle, tenuta radiale $30\times47\times7$ su albero $\varnothing 30$ a $3000$ giri/min e O-ring da $3$ mm in gola profonda $2{,}4$ mm.