Quotatura funzionale e catene di quote

La nota Quotatura - elementi, regole e disposizione delle quoteLa quotatura (ISO 129) scrive sul disegno tutte e sole le misure necessarie a costruire e controllare il pezzo. Una quota è fatta da linea di misura (continua sottile con frecce), linee di richiamo (perpendicolari, sporgono 1-2 mm), cifra (altezza 3,5 mm, letta dal basso o da destra), linee di riferimento e simboli (Ø, R, SØ, □, t=, 4×). Regole: ogni quota una sola volta, fuori dalle viste, quelle piccole più vicine al contorno (circa 10 mm dal contorno, circa 7 mm tra loro), mai su linee nascoste, mai assi o contorni come linee di misura, nessuna quota ridondante. Disposizioni: in serie, in parallelo (da un riferimento), progressiva, combinata, per coordinate.Quotatura - elementi, regole e disposizione delle quote → dice come si scrive una quota. Questa dice quali quote scrivere e da dove misurarle: un pezzo fatto bene non è quello con più quote, ma quello le cui quote proteggono il funzionamento. Si usa il concetto di catena di quote, che permette di calcolare come le tolleranze delle singole misure si sommano su una dimensione importante (un gioco, una distanza); le tolleranze vere e proprie si definiscono in Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamentiNessun pezzo viene fabbricato esattamente alla quota nominale: la tolleranza T = limite superiore - limite inferiore dice quanto si può sbagliare. Il sistema ISO la codifica con una lettera (posizione rispetto alla linea dello zero) e un numero (grado IT, ampiezza). Un accoppiamento foro-albero ha gioco, interferenza o è incerto a seconda di come si sovrappongono le due zone di tolleranza; si calcola con gioco massimo = ES - ei e gioco minimo = EI - es.Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamenti → e in Tolleranze geometriche - forma, orientamento, posizione e oscillazioneLa tolleranza dimensionale non controlla forma e posizione: un albero Ø40 h6 può essere ovale, curvo o storto. Le tolleranze geometriche (ISO 1101) definiscono una zona di tolleranza, di larghezza t, entro cui deve stare l'elemento: forma (senza riferimenti), orientamento e posizione (con riferimenti A, B, C), oscillazione (durante la rotazione). Nel quadro di tolleranza si legge simbolo, valore (con Ø se la zona è cilindrica), riferimenti. Il requisito del massimo materiale M regala un bonus uguale alla distanza della quota effettiva dal massimo materiale.Tolleranze geometriche - forma, orientamento, posizione e oscillazione →. Prima: Disegno tecnico e norme UNI-ISO - formati, linee, scale e cartiglioIl disegno tecnico è un linguaggio normato (UNI EN ISO): ogni foglio ha un formato della serie A (rapporto 1 : √2, A0 = 1 m²: A4 = 210 × 297 mm), una cornice, un cartiglio in basso a destra e una scala scelta tra quelle unificate (1:2, 1:5, 1:10, 2:1, 5:1 ...). Le linee hanno tipo e spessore con significato preciso (continua grossa = contorni in vista, tratteggiata = nascosti, mista punto-tratto = assi, continua sottile = quote e tratteggi); gli spessori seguono la serie con ragione √2 e la scrittura ha altezze 2,5 - 3,5 - 5 - 7 mm.Disegno tecnico e norme UNI-ISO - formati, linee, scale e cartiglio →. Esercizi: Esercizio - gioco di una catena di quote nel caso peggiore e statistico, Esercizio - posizione di tre fori quotati in serie o dal riferimento, Esercizio - classificare le quote e ripartire le tolleranze di una catena.

Quote funzionali, non funzionali, ausiliarie

Ogni pezzo di un assieme ha una funzione: appoggiarsi, centrare un albero, lasciare un gioco, trasmettere un moto. Le sue quote si classificano in tre gruppi.

• Quota funzionale (F). Quota da cui dipende il funzionamento del pezzo nell'assieme: il diametro di un albero che deve entrare in un foro, la distanza tra due appoggi, la posizione di un foro che deve combaciare con un perno dell'altro pezzo. Se questa quota varia, l'assieme non funziona (o funziona peggio).
• Quota non funzionale (NF). Quota che serve solo a definire la forma o a lavorare il pezzo, senza influire sul funzionamento: lo spessore di una parete poco sollecitata, la lunghezza di una parte libera.
• Quota ausiliaria (AUX). Quota ricavata da altre, data solo per comodità di lettura; si scrive tra parentesi e non ha tolleranza.

Un test pratico: "se questa misura cambiasse di qualche decimo, l'assieme funzionerebbe ancora?" Se no, è F; se sì, è NF.

Le regole della quotatura funzionale

1. Le quote F si danno direttamente, tra le due superfici (o i due elementi) che determinano la funzione, e non si ottengono come somma o differenza di altre quote. Se si ricavassero per somma, le loro tolleranze si sommerebbero e la precisione richiesta non sarebbe garantita.
2. Le quote NF si scelgono nel modo più comodo per la lavorazione e non influenzano le F.
3. Mai catene chiuse: in una catena chiusa (parziali più totale) una quota va omessa. Si omette (o si mette tra parentesi come AUX) la meno importante per il funzionamento, che è di solito una NF o la più facile da recuperare in produzione: questa diventa la quota di chiusura, che assorbe le tolleranze di tutte le altre.
4. Si sceglie un riferimento funzionale (datum): la superficie con cui il pezzo si appoggia all'assieme, oppure un asse o un piano di simmetria. Da lì partono le quote F, in parallelo, così la posizione di ogni elemento rispetto al riferimento ha una sola tolleranza (Quotatura - elementi, regole e disposizione delle quoteLa quotatura (ISO 129) scrive sul disegno tutte e sole le misure necessarie a costruire e controllare il pezzo. Una quota è fatta da linea di misura (continua sottile con frecce), linee di richiamo (perpendicolari, sporgono 1-2 mm), cifra (altezza 3,5 mm, letta dal basso o da destra), linee di riferimento e simboli (Ø, R, SØ, □, t=, 4×). Regole: ogni quota una sola volta, fuori dalle viste, quelle piccole più vicine al contorno (circa 10 mm dal contorno, circa 7 mm tra loro), mai su linee nascoste, mai assi o contorni come linee di misura, nessuna quota ridondante. Disposizioni: in serie, in parallelo (da un riferimento), progressiva, combinata, per coordinate.Quotatura - elementi, regole e disposizione delle quote →).
5. Le quote devono potersi controllare con gli strumenti disponibili (calibro, micrometro): una quota tra due superfici raggiungibili si misura meglio di una tra una superficie e un asse.

Catene di quote

Una catena di quote è l'insieme delle quote (maglie) che collegano due superfici o elementi dello stesso assieme (o dello stesso pezzo), dalla prima alla seconda, passando per i pezzi intermedi. Una di esse è la maglia di chiusura: la quantità che interessa al funzionamento, per esempio un gioco $G$ o una distanza. Le altre sono le maglie della catena, ognuna con un verso: quelle che, crescendo, aumentano la chiusura sono positive, quelle che la diminuiscono sono negative. Per un gioco tra una cavità di lunghezza $A$ e tre elementi di lunghezze $B$, $C$, $D$ messi in fila:

$$G = A - (B + C + D)$$

cioè la cavità ($A$) è maglia positiva e i pezzi che la riempiono ($B$, $C$, $D$) sono maglie negative.

Esempio (valori nominali). $A = 80$ mm, anelli $B = D = 12$ mm, distanziale $C = 52$ mm: $G = 80 - (12 + 52 + 12) = 4$ mm.

Caso peggiore: le tolleranze si sommano

Nessuna lunghezza si lavora esattamente al valore nominale: ciascuna ha una tolleranza (vedi Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamentiNessun pezzo viene fabbricato esattamente alla quota nominale: la tolleranza T = limite superiore - limite inferiore dice quanto si può sbagliare. Il sistema ISO la codifica con una lettera (posizione rispetto alla linea dello zero) e un numero (grado IT, ampiezza). Un accoppiamento foro-albero ha gioco, interferenza o è incerto a seconda di come si sovrappongono le due zone di tolleranza; si calcola con gioco massimo = ES - ei e gioco minimo = EI - es.Tolleranze dimensionali e sistema ISO di accoppiamenti →), cioè sta tra un massimo e un minimo. Il gioco è massimo quando la maglia positiva è al massimo e quelle negative sono al minimo, minimo nel caso opposto (caso peggiore, o worst case):

$$G_{\max} = A_{\max} - \sum B_{i,\min}, \qquad G_{\min} = A_{\min} - \sum B_{i,\max}$$

Sottraendo, la tolleranza di chiusura è la somma delle tolleranze di tutte le maglie, positive e negative (le negative contano come positive, perché il loro valore massimo è quello che riduce il gioco minimo):

Formula (caso peggiore). $$T_G = G_{\max} - G_{\min} = \sum_i T_i$$

Con tolleranze simmetriche $\pm t_i$ (cioè $T_i = 2t_i$) la semi-tolleranza di chiusura è $\sum t_i$. Conseguenza: più maglie ha una catena, peggio è, perché la tolleranza si accumula; questo è anche il motivo per cui le quote funzionali si danno direttamente.

Metodo statistico (radice della somma dei quadrati)

Il caso peggiore è prudente: richiede che tutti i pezzi siano insieme al limite estremo nel verso peggiore, e questo è raro. Se le misure sono variabili casuali indipendenti, le loro varianze si sommano (Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →: è la stessa regola con cui si combinano le incertezze di misura indipendenti) e la tolleranza di chiusura risulta la radice della somma dei quadrati (RSS, root sum square):

$$t_G = \sqrt{\sum_i t_i^2}$$

È sempre minore o uguale della somma dei $t_i$: si può quindi ammettere tolleranze più larghe sulle singole maglie, accettando una piccola probabilità (non nulla) di assiemi fuori dal gioco richiesto. Si usa per grandi produzioni.

Esempio (con tolleranze). $A = 80 \pm 0{,}10$, $B = D = 12 \pm 0{,}05$, $C = 52 \pm 0{,}05$ mm.

• Caso peggiore: $G_{\max} = 80{,}10 - (11{,}95 + 51{,}95 + 11{,}95) = 4{,}25$ mm e $G_{\min} = 79{,}90 - (12{,}05 + 52{,}05 + 12{,}05) = 3{,}75$ mm, quindi $G = 4{,}00 \pm 0{,}25$ mm, cioè $\sum t_i = 0{,}10 + 3\cdot0{,}05$.
• Statistico: $t_G = \sqrt{0{,}10^2 + 3\cdot0{,}05^2} = \sqrt{0{,}0175} = 0{,}132$ mm, cioè $G = 4{,}00 \pm 0{,}13$ mm.

import math
A = (80.0, 0.10)                                        # maglia positiva: (nominale, semitolleranza)
neg = [(12.0, 0.05), (52.0, 0.05), (12.0, 0.05)]        # maglie negative
G = A[0] - sum(n for n, _ in neg)
wc = A[1] + sum(t for _, t in neg)
rss = math.sqrt(A[1] ** 2 + sum(t ** 2 for _, t in neg))
print(f"G = {G:.2f}; caso peggiore {G - wc:.2f} .. {G + wc:.2f} (+-{wc:.2f}); statistico {G - rss:.2f} .. {G + rss:.2f} (+-{rss:.3f})")

L'uscita è G = 4.00; caso peggiore 3.75 .. 4.25 (+-0.25); statistico 3.87 .. 4.13 (+-0.132).

Progettare le tolleranze di una catena

Spesso il problema è inverso: è dato il gioco richiesto ($G_{\min}$ e $G_{\max}$) e si devono scegliere le tolleranze delle $n$ maglie. Con tolleranze uguali:

Si chiama $t_G$ la semi-tolleranza richiesta alla chiusura. Allora:

• caso peggiore: $t = t_G / n$ per ciascuna maglia (perché $\sum t_i = n\,t = t_G$);
• statistico: $t = t_G / \sqrt n$ (perché $\sqrt{n\,t^2} = t_G$): si può essere più larghi.

Poi si ridistribuisce: si stringono le maglie facili da lavorare con precisione (o già date da componenti unificati, come cuscinetti e anelli) e si allarga quelle costose. È meglio che una maglia (la quota di chiusura "sacrificata") assorba il resto.

Effetto della disposizione delle quote su un pezzo

La stessa regola spiega la scelta tra serie e parallelo (Quotatura - elementi, regole e disposizione delle quoteLa quotatura (ISO 129) scrive sul disegno tutte e sole le misure necessarie a costruire e controllare il pezzo. Una quota è fatta da linea di misura (continua sottile con frecce), linee di richiamo (perpendicolari, sporgono 1-2 mm), cifra (altezza 3,5 mm, letta dal basso o da destra), linee di riferimento e simboli (Ø, R, SØ, □, t=, 4×). Regole: ogni quota una sola volta, fuori dalle viste, quelle piccole più vicine al contorno (circa 10 mm dal contorno, circa 7 mm tra loro), mai su linee nascoste, mai assi o contorni come linee di misura, nessuna quota ridondante. Disposizioni: in serie, in parallelo (da un riferimento), progressiva, combinata, per coordinate.Quotatura - elementi, regole e disposizione delle quote →). Tre fori con ogni quota $\pm 0{,}05$ mm:

Si sceglie la disposizione che dà una sola quota a ciò che deve essere preciso: gli appoggi rispetto al riferimento in parallelo, due elementi che si innestano su due perni dell'altro pezzo in serie tra loro.

Riassunto

Errori comuni

• Ricavare una quota funzionale per somma o differenza di altre: le tolleranze si accumulano.
• Dimenticare di segnare quale quota si omette in una catena chiusa (o non metterla tra parentesi).
• Contare solo le maglie positive nel calcolo della tolleranza di chiusura: contano tutte.
• Sottrarre le tolleranze invece di sommarle.
• Usare il metodo statistico senza ipotesi di indipendenza e di grande produzione: per piccole serie si usa il caso peggiore.

Domande d'esame

1. Che cosa distingue una quota funzionale da una non funzionale? La funzionale influenza il funzionamento dell'assieme; la non funzionale serve solo alla forma o alla lavorazione.
2. In una catena chiusa di quote quale quota si omette e perché? La meno importante per il funzionamento (di norma una NF): diventa la quota di chiusura e assorbe le tolleranze delle altre.
3. Come si calcola la tolleranza di chiusura nel caso peggiore? Somma di tutte le tolleranze delle maglie, positive e negative.
4. Perché si preferisce la quotatura in parallelo per le posizioni funzionali? Perché ogni posizione dipende da una sola quota rispetto al riferimento, quindi le tolleranze non si accumulano.