Varianza e momenti

Punto 2 del programma ("funzioni di v.a. e loro valore atteso: momenti e momenti centrati, varianza e sue proprietà"). Prerequisiti: Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →. Seguito: Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e JensenMarkov: per X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a; Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε²; Jensen: per φ convessa, φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]. Stimano probabilità e medie conoscendo solo media e varianza.Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen →, Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →.

Perché la media non basta

Due giochi:

• $X$: si vince sempre $0$ euro, cioè $X = 0$ con probabilità $1$;
• $Y$: si vincono $10$ euro o se ne perdono $10$, con probabilità $\frac12$ ciascuno.

Entrambi hanno media $0$ ($E[Y] = 10 \cdot \frac12 - 10 \cdot \frac12 = 0$), ma sono giochi completamente diversi: il secondo è rischioso. Serve un numero che misuri quanto i valori si allontanano dalla media. L'idea naturale è la media della distanza $|X - E[X]|$, ma il modulo è scomodo nei calcoli; si usa la media del quadrato della distanza: la varianza.

Momenti

Definizione (momenti). Sia $k \ge 1$ intero e $X$ una v.a. con $E[|X|^k] < \infty$.

• Il momento $k$-esimo di $X$ è $E[X^k]$.
• Il momento centrato $k$-esimo è $E[(X - \mu)^k]$, con $\mu = E[X]$.

Esempio. Dado equo: $E[X] = \frac{7}{2}$ e il momento secondo è $E[X^2] = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$ (si eleva al quadrato ogni valore $k$ e lo si pesa con $p_X(k) = \frac16$; il numeratore è anche $\frac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} = 91$ con la formula della somma dei quadrati).

Si calcolano col teorema fondamentale del valor medioLa media di g(X) è la somma di g(x) per la densità di X; qui g(x) = x^k oppure (x − μ)^k.Valore atteso →: per $X$ discreta $E[X^k] = \sum_x x^k p_X(x)$.

• Il momento primo è la media $\mu$. Il momento centrato primo è sempre $0$: $E[X - \mu] = \mu - \mu = 0$ (per linearitàIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso → $E[X - \mu] = E[X] - \mu$, perché $\mu$ è una costante).
• Il momento centrato secondo è la varianza.
• Se esiste il momento $k$-esimo, esistono tutti quelli di ordine $j < k$: per ogni $x$ vale $|x|^j \le 1 + |x|^k$ (se $|x| \le 1$ il primo membro è $\le 1$, se $|x| > 1$ è $\le |x|^k$ perché una base maggiore di $1$ elevata a un esponente più grande dà un numero più grande), quindi per monotonia e linearità del valore atteso $E[|X|^j] \le E[1 + |X|^k] = 1 + E[|X|^k] < \infty$. È il criterio del confrontoUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto → applicato alla serie $\sum_x |x|^j p_X(x)$.

Momenti fattoriali. Per le leggi con fattoriali (binomiale, Poisson) conviene calcolare $E[X(X - 1)]$, perché $\frac{k(k-1)}{k!} = \frac{1}{(k-2)!}$ semplifica; poi $E[X^2] = E[X(X - 1)] + E[X]$. È il trucco usato in Bernoulli, binomiale e uniforme discretaBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →, Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica → e Distribuzione di PoissonPoi(λ) conta eventi rari: P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k! per k = 0, 1, 2, …, con media e varianza entrambe uguali a λ; approssima la binomiale Bin(n, p) quando n è grande e p piccolo, con λ = np.Distribuzione di Poisson →.

Varianza

Definizione (varianza e deviazione standard). Sia $X$ con $E[X^2] < \infty$ e $\mu = E[X]$. La varianza di $X$ è $$\text{Var}(X) := E[(X - \mu)^2] = \sum_x (x - \mu)^2 \, p_X(x) \quad (\text{caso discreto}).$$ La deviazione standard è $\sigma_X := \sqrt{\text{Var}(X)}$.

Esempio. Dado equo: $\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$.

• La varianza si misura in unità al quadrato (euro², metri²); la deviazione standard nelle stesse unità di $X$, ed è quella che si confronta con la media.
• Nei due giochi: $\text{Var}(X) = 0$ (l'unico valore coincide con la media, ogni scarto è $0$), $\text{Var}(Y) = (10 - 0)^2 \cdot \frac12 + (-10 - 0)^2 \cdot \frac12 = 50 + 50 = 100$, $\sigma_Y = \sqrt{100} = 10$ euro: ogni volta si è a distanza esattamente $10$ dalla media.

Formula di calcolo

Formula (di calcolo della varianza). $$\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2.$$

Esempio. $X \sim \text{Be}(p)$: $E[X^2] = p$ e $E[X] = p$, quindi $\text{Var}(X) = p - p^2 = p(1 - p)$.

Dimostrazione. Si sviluppa il quadrato e si usa la linearità ($\mu$ è un numero, quindi esce dalla media):

$$E[(X - \mu)^2] = E[X^2 - 2\mu X + \mu^2] = E[X^2] - 2\mu E[X] + \mu^2 = E[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 = E[X^2] - \mu^2. \ \blacksquare$$

Passo per passo: $(X - \mu)^2 = X^2 - 2\mu X + \mu^2$ (quadrato di un binomio); per linearità la media della somma è la somma delle medie; $E[-2\mu X] = -2\mu E[X]$ perché $-2\mu$ è una costante; $E[\mu^2] = \mu^2$ perché la media di una costante è la costante; infine $E[X] = \mu$, quindi $-2\mu \cdot \mu = -2\mu^2$.

È quasi sempre la strada più rapida: si calcolano $E[X]$ ed $E[X^2]$ con la stessa tabella. Conseguenza: siccome $\text{Var}(X) \ge 0$, vale sempre $E[X^2] \ge E[X]^2$.

Esempi

Dado: $E[X^2] = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$, quindi $\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$ e $\sigma \approx 1{,}71$. ($E[X]^2 = \left(\frac72\right)^2 = \frac{49}{4}$; denominatore comune $12$: $\frac{91}{6} = \frac{182}{12}$ e $\frac{49}{4} = \frac{147}{12}$; $\sigma = \sqrt{35/12} \approx \sqrt{2{,}917} \approx 1{,}71$.)

Controllo con la definizione: gli scarti $k - 3{,}5$ sono $\pm 0{,}5$, $\pm 1{,}5$, $\pm 2{,}5$, con quadrati $0{,}25$, $2{,}25$, $6{,}25$, ciascuno due volte; $\frac{2(0{,}25 + 2{,}25 + 6{,}25)}{6} = \frac{17{,}5}{6} = \frac{35}{12}$ ✓.

Vincita all'urna ($x \in \{-2, 1, 4\}$ con probabilità $\frac9{49}, \frac{24}{49}, \frac{16}{49}$, media $\frac{10}{7}$):

$$E[X^2] = \frac{36 + 24 + 256}{49} = \frac{316}{49}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{316}{49} - \frac{100}{49} = \frac{216}{49} \approx 4{,}41.$$

La riga $x^2 p_X(x)$ viene da $(-2)^2 \cdot 9 = 36$, $1^2 \cdot 24 = 24$, $4^2 \cdot 16 = 256$ (tutto su $49$), e $E[X]^2 = \left(\frac{10}{7}\right)^2 = \frac{100}{49}$. La deviazione standard è $\sigma_X = \frac{\sqrt{216}}{7} = \frac{6\sqrt6}{7} \approx 2{,}10$ euro.

Proprietà della varianza

Proprietà (della varianza).

1. $\text{Var}(X) \ge 0$, e $\text{Var}(X) = 0$ se e solo se $X = \mu$ con probabilità $1$.
2. $\text{Var}(aX + b) = a^2 \, \text{Var}(X)$ per ogni $a, b \in \mathbb R$.
3. $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y)$; se $X$ e $Y$ sono indipendenti, $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$.

1. È la media di un quadrato, quindi $\ge 0$ (positività del valore atteso). Se è $0$, nella somma $\sum_x (x - \mu)^2 p_X(x)$ tutti i termini (che sono $\ge 0$) devono essere nulli: per ogni $x \ne \mu$ deve essere $p_X(x) = 0$. Quindi l'unico valore con probabilità positiva è $\mu$.

2. La media di $aX + b$ è $a\mu + b$, quindi lo scarto dalla media è $(aX + b) - (a\mu + b) = a(X - \mu)$: la traslazione $b$ sparisce. Allora

$$\text{Var}(aX + b) = E[a^2 (X - \mu)^2] = a^2 \, \text{Var}(X).$$

(Il quadrato di $a(X - \mu)$ è $a^2 (X - \mu)^2$; la costante $a^2$ esce dalla media per linearità.)

Intuizione: spostare tutti i valori di $b$ non cambia quanto sono sparpagliati; moltiplicarli per $a$ allarga le distanze di $|a|$, e i quadrati di $a^2$. Il segno di $a$ non conta: $\text{Var}(-X) = \text{Var}(X)$.

3. Si vede in Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →. Attenzione: anche per la differenza di v.a. indipendenti le varianze si sommano: $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + (-1)^2\text{Var}(Y)$.

Esempio d'esame (I parziale 17.11.2025, III appello 24.06.2026). $X = 3Y - 2$ con $Y \sim \text{Bin}(2, \frac47)$, $\text{Var}(Y) = 2 \cdot \frac47 \cdot \frac37 = \frac{24}{49}$:

$$\text{Var}(X) = 3^2 \, \text{Var}(Y) = 9 \cdot \frac{24}{49} = \frac{216}{49}, \ \text{come nel calcolo diretto.}$$

La media come miglior previsione

Per ogni numero $c$:

$$E[(X - c)^2] = \text{Var}(X) + (\mu - c)^2.$$

(Si scrive $X - c = (X - \mu) + (\mu - c)$, si sviluppa il quadrato, e il doppio prodotto ha media $2(\mu - c)E[X - \mu] = 0$.) In dettaglio:

$$E[(X - c)^2] = E[(X - \mu)^2] + 2(\mu - c)\,E[X - \mu] + (\mu - c)^2 = \text{Var}(X) + 0 + (\mu - c)^2,$$

dove $\mu - c$ è un numero ed esce dalle medie, e $E[X - \mu] = 0$ (momento centrato primo). Quindi l'errore quadratico medio che si commette prevedendo $X$ con un numero $c$ è minimo per $c = \mu$, e il minimo è la varianza: come funzione di $c$ è una parabola con vertice in $c = \mu$, perché $(\mu - c)^2 \ge 0$ e vale $0$ solo per $c = \mu$. È un'altra interpretazione: la varianza è l'errore quadratico medio della miglior previsione costante.

Standardizzazione

Se $\sigma_X > 0$, la v.a.

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma_X}$$

ha $E[Z] = \frac{\mu - \mu}{\sigma_X} = 0$ e $\text{Var}(Z) = \frac{1}{\sigma_X^2}\text{Var}(X) = 1$ (proprietà 2 con $a = \frac1{\sigma_X}$, $b = -\frac{\mu}{\sigma_X}$: $a^2 = \frac{1}{\sigma_X^2}$ e $\text{Var}(X) = \sigma_X^2$, che si semplificano). Si chiama standardizzata di $X$: misura di quante deviazioni standard $X$ si allontana dalla media. È il passaggio chiave dell'approssimazione normale: nel I appello 15.01.2026, $Y \sim \text{Bin}(100, \frac12)$ con media $np = 50$ e $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{25} = 5$, e si scrive (sottraendo $50$ e dividendo per $5 > 0$ entrambi i membri, la disuguaglianza non cambia verso; $\frac{47 - 50}{5} = -0{,}6$) $P(Y \le 47) = P\left(\frac{Y - 50}{5} \le -0{,}6\right)$ (Teorema del limite centrale e approssimazione normaleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →).

Tabella delle leggi discrete notevoli

(La colonna $E[X^2] = \text{Var}(X) + E[X]^2$ serve negli esercizi sulla convergenza in media seconda e nelle covarianze.)

Errori comuni

• $\text{Var}(aX + b) = a\,\text{Var}(X) + b$: sbagliato due volte; la costante sparisce e $a$ va al quadrato.
• $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y)$: per v.a. indipendenti le varianze si sommano sempre (e una varianza negativa non esiste).
• Confondere $E[X^2]$ con $E[X]^2$: la loro differenza è proprio la varianza.
• Sommare varianze di v.a. non indipendenti senza il termine di covarianza.
• Dimenticare la radice quando si chiede la deviazione standard (serve nella standardizzazione: si divide per $\sigma$, non per $\sigma^2$).