Prove ripetute e modello binomiale

Prima: Indipendenza di eventiA e B sono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B), cioè se sapere che uno si è verificato non cambia la probabilità dell'altro; l'indipendenza passa ai complementari, non va confusa con l'incompatibilità, e per più eventi va richiesta su ogni sottofamiglia.Indipendenza di eventi →. Dopo: Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →, Bernoulli, binomiale e uniforme discretaBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →. Esercizio svolto: Esercizio 4 · 42 teste in 100 lanci di una moneta.

Lo schema delle prove ripetute

Si ripete $n$ volte lo stesso esperimento, che ha solo due esiti: successo (indicato con $1$) e insuccesso ($0$). Si suppone che

1. ogni prova dia successo con la stessa probabilità $p \in [0, 1]$;
2. le prove siano indipendenti: gli eventi $S_i =$ "successo alla prova $i$" sono mutuamente indipendentiPer ogni sottofamiglia di prove, la probabilità che diano tutte i risultati indicati è il prodotto delle probabilità.Indipendenza di eventi →.

Esempi: $n$ lanci di una moneta (successo = testa, $p = \frac12$); $n$ lanci di un dado (successo = "esce 6", $p = \frac16$); $n$ estrazioni con reinserimento da un'urna (successo = "nera", $p =$ frazione di nere); $n$ pezzi prodotti da una macchina che sbaglia con probabilità $p$.

Il nome tecnico è prove di Bernoulli (prove ripetute indipendenti ed equiprobabili).

Lo spazio di probabilità

$$\Omega = \{0, 1\}^n = \{(x_1, \dots, x_n) : x_i \in \{0, 1\}\}, \qquad |\Omega| = 2^n$$

Gli esiti sono le $n$-uple di $0$ e $1$ (il prodotto cartesianoUnione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano, con le leggi di De Morgan e il legame con la logica.Operazioni tra insiemi → di $n$ copie di $\{0, 1\}$): due possibilità per ciascuna prova, quindi $2^n$ in tutto per il principio di moltiplicazione.

Una sequenza $\omega = (x_1, \dots, x_n)$ con $k$ successi (cioè $\sum_i x_i = k$: la somma degli $x_i$ conta gli $1$) e $n - k$ insuccessi è l'intersezione di $n$ eventi, uno per prova: $S_i$ ("successo alla prova $i$") dove $x_i = 1$, $S_i^c$ ("insuccesso alla prova $i$") dove $x_i = 0$. Questi eventi sono indipendenti, perché nella definizione di indipendenza di più eventi si può sostituire ogni evento con il suo complementareSe A_1, ..., A_n sono indipendenti lo restano sostituendo qualunque A_i con A_i^c.Indipendenza di eventi →. Quindi la probabilità dell'intersezione è il prodotto delle probabilità: $k$ fattori $p$ (uno per ogni successo) e $n - k$ fattori $1 - p$ (uno per ogni insuccesso):

Formula (probabilità di una sequenza di prove). $$\boxed{p(\omega) = p^{k} (1 - p)^{n - k}, \qquad k = \sum_{i=1}^n x_i}$$

Esempio: $n = 4$, $\omega = (1, 0, 1, 1)$, cioè $\{\omega\} = S_1 \cap S_2^c \cap S_3 \cap S_4$: $p \cdot (1-p) \cdot p \cdot p = p^3 (1 - p)$. Con $p = 0{,}3$: $0{,}3^3 \cdot 0{,}7 = 0{,}027 \cdot 0{,}7 = 0{,}0189$.

Questa densità somma a $1$ (segue dal binomio di Newton, vedi sotto). Se $p = \frac12$ ogni sequenza ha probabilità $\frac1{2^n}$: si ritrova lo spazio uniformeTutti gli esiti hanno la stessa probabilità 1/∣Ω∣.Spazi di probabilità discreti e uniformi →. Se $p \ne \frac12$ le sequenze non sono equiprobabili (con $p$ grande sono più probabili quelle con tanti successi) e "favorevoli su possibili" non si può usare.

Probabilità di esattamente $k$ successi

Sia $A_k =$ "esattamente $k$ successi nelle $n$ prove", $k = 0, 1, \dots, n$.

• Ogni sequenza di $A_k$ ha la stessa probabilità $p^k (1-p)^{n-k}$ (dipende solo da quanti successi contiene, non da dove).
• Le sequenze di $A_k$ sono tante quante i modi di scegliere le posizioni dei $k$ successi tra le $n$ prove: $\binom{n}{k}$ (combinazioniIl numero di sottoinsiemi di k elementi presi da n è n! / (k! (n−k)!).Calcolo combinatorio per la probabilità →).

$A_k$ è l'unione disgiunta dei suoi singoletti (le singole sequenze), quindi per additività $\mathbb{P}(A_k)$ è la somma di $\binom{n}{k}$ termini tutti uguali a $p^k(1-p)^{n-k}$, cioè $\binom{n}{k}$ volte quel valore. Per esempio con $n = 3$, $k = 2$: $A_2 = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\}$ e $\mathbb{P}(A_2) = 3\,p^2(1-p)$.

Quindi

Formula (esattamente k successi in n prove). $$\boxed{\mathbb{P}(A_k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n}$$

È il modello binomiale. Le probabilità sommano a $1$ per il binomio di Newton(a + b)^n = Σ_{k=0}^{n} (n su k) a^k b^(n−k).Binomio di Newton → con $a = p$ e $b = 1 - p$: $\sum_{k=0}^n \binom nk p^k (1-p)^{n-k} = (p + (1 - p))^n = 1^n = 1$. Deve essere così anche senza conti: gli eventi $A_0, A_1, \dots, A_n$ sono una partizione di $\Omega$ (ogni sequenza ha uno e un solo numero di successi).

Esempio (dado). 10 lanci di un dado equo, probabilità di ottenere esattamente due 6: $n = 10$, $k = 2$, $p = \frac16$, $1 - p = \frac56$, $n - k = 8$:

$$\binom{10}{2} \left(\frac16\right)^2 \left(\frac56\right)^8 = 45 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5^8}{6^8} = \frac{45 \cdot 390\,625}{36 \cdot 1\,679\,616} \approx 0{,}291$$

con $\binom{10}{2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45$, $5^8 = 390\,625$ e $6^8 = 1\,679\,616$.

Esempio ("almeno uno"). Probabilità di almeno un 6 in 10 lanci: "almeno uno" è il complementare di "nessuno", cioè di $A_0$, e $\mathbb{P}(A_0) = \binom{10}{0} \left(\frac16\right)^0 \left(\frac56\right)^{10} = \left(\frac56\right)^{10}$. Quindi $1 - \mathbb{P}(A_0) = 1 - \left(\frac56\right)^{10} \approx 1 - 0{,}162 = 0{,}838$. Sommare $\mathbb{P}(A_1) + \dots + \mathbb{P}(A_{10})$ darebbe lo stesso numero con dieci termini invece di uno.

Esempio (42 teste su 100 lanci). $p = \frac12$, quindi $p^{42}(1-p)^{58} = \left(\frac12\right)^{100}$ e $\mathbb{P}(A_{42}) = \binom{100}{42} \frac{1}{2^{100}} \approx 0{,}0223$. Svolgimento nell'Esercizio 4 · 42 teste in 100 lanci di una moneta.

Valori esatti: $0{,}028$; $0{,}121$; $0{,}233$; $0{,}267$; $0{,}200$; $0{,}103$; $0{,}037$; $0{,}009$; $0{,}001$; $\dots$ per $k = 0, 1, 2, \dots$ Le probabilità crescono fino a $k = 3$ e poi decrescono: il valore più probabile è vicino a $np$.

Perché il massimo è vicino a $np$. Si confrontano due termini consecutivi con il loro rapporto. Scrivendo i coefficienti binomiali con i fattoriali, $\binom{n}{k+1} \big/ \binom{n}{k} = \frac{k!\,(n-k)!}{(k+1)!\,(n-k-1)!} = \frac{n - k}{k + 1}$, quindi $$\frac{\mathbb{P}(A_{k+1})}{\mathbb{P}(A_k)} = \frac{n - k}{k + 1} \cdot \frac{p}{1 - p}.$$ Il rapporto è $> 1$ (le probabilità crescono) quando $(n - k)p > (k + 1)(1 - p)$, cioè, sviluppando e semplificando $-kp$ da entrambe le parti, quando $k < (n + 1)p - 1$. Con $n = 10$, $p = 0{,}3$: $(n+1)p - 1 = 2{,}3$, quindi le probabilità crescono passando da $k = 0, 1, 2$ al successivo (fino a $k = 3$) e poi decrescono. Il massimo sta sempre tra $(n+1)p - 1$ e $(n+1)p$, cioè a distanza meno di $1$ da $np$.

Tempo del primo successo

Si ripetono le prove senza fermarsi e si guarda quando arriva il primo successo. L'evento "il primo successo arriva alla prova $k$" è "insuccesso alle prove $1, \dots, k - 1$ e successo alla prova $k$"; per l'indipendenza

Formula (tempo del primo successo). $$\mathbb{P}(\text{primo successo alla prova } k) = (1 - p)^{k - 1} p, \qquad k = 1, 2, \dots$$

e

$$\mathbb{P}(\text{nessun successo nelle prime } k \text{ prove}) = (1 - p)^k$$

(la "probabilità di lunga attesa", usata negli appelli). Sono le probabilità della distribuzione geometricaGeo(p): P(T = k) = (1−p)^(k−1) p per k = 1, 2, ...; media 1/p.Distribuzione geometrica →.

Da dove vengono. La prima: l'evento è $S_1^c \cap \dots \cap S_{k-1}^c \cap S_k$, intersezione di $k$ eventi indipendenti, $k - 1$ di probabilità $1 - p$ e uno di probabilità $p$. La seconda: l'evento è $S_1^c \cap \dots \cap S_k^c$, con $k$ fattori $1 - p$. Si ritrova anche sommando le probabilità che il primo successo arrivi dopo la prova $k$, con la serie geometricaPer abs(q) < 1 vale Σ_{j≥0} q^j = 1/(1−q).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → di ragione $q = 1 - p$ (per $0 < p \le 1$): $$\sum_{j = k+1}^{\infty} (1-p)^{j-1} p = p\,(1-p)^k \sum_{i=0}^{\infty} (1-p)^i = p\,(1-p)^k \cdot \frac{1}{1 - (1-p)} = (1-p)^k,$$ dove si è posto $i = j - k - 1$ (così $j - 1 = k + i$) e si è portato fuori il fattore costante $p(1-p)^k$. Con $k = 0$ la stessa serie dà $\sum_{j \ge 1} (1-p)^{j-1} p = 1$: se $p > 0$ il primo successo arriva prima o poi con probabilità $1$.

Esempio: con un dado, probabilità che il primo 6 arrivi al terzo lancio: due lanci senza 6 e poi un 6, $\left(\frac56\right)^2 \frac16 = \frac{25}{36} \cdot \frac16 = \frac{25}{216} \approx 0{,}116$; probabilità di non vedere nessun 6 nei primi 3 lanci: $\left(\frac56\right)^3 = \frac{125}{216} \approx 0{,}579$.

Riepilogo

Con le variabili aleatorieUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta → queste probabilità diventano le densità della binomiale $\text{Bin}(n, p)$ e della geometrica $\text{Geo}(p)$.

Errori comuni

• Dimenticare il coefficiente $\binom nk$: $p^k (1-p)^{n-k}$ è la probabilità di una sequenza, non di "$k$ successi".
• Usare il modello binomiale per estrazioni senza reinserimento: le prove non sono indipendenti (si usa l'ipergeometrica, vedi Calcolo combinatorio per la probabilitàNegli spazi uniformi bisogna contare: principio di moltiplicazione, disposizioni con ripetizione n^k, disposizioni semplici n!/(n−k)!, permutazioni n!, combinazioni (n su k); estrazioni con e senza reinserimento e distribuzione ipergeometrica.Calcolo combinatorio per la probabilità →).
• Confondere "esattamente $k$" con "almeno $k$": "almeno $k$" è la somma da $k$ a $n$, spesso più comoda con il complementare. Esempio: almeno due 6 in 10 lanci è $1 - \mathbb{P}(A_0) - \mathbb{P}(A_1) = 1 - \left(\frac56\right)^{10} - 10 \cdot \frac16 \left(\frac56\right)^9 \approx 1 - 0{,}162 - 0{,}323 = 0{,}515$.