Somma di variabili aleatorie indipendenti

Punto 4 del programma ("somma di v.a. e casi notevoli", nel discreto e nel continuo). Prerequisiti: Vettori aleatori discretiUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →, Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →. Strada alternativa, spesso più rapida: Funzione generatrice dei momentiLa funzione generatrice dei momenti M_X(t) = E[e^(tX)] (quando è finita vicino a 0) produce i momenti per derivazione, E[X^k] = M_X^(k)(0); trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti, M(X+Y) = M_X M_Y, e se finita in un intorno di 0 determina la legge.Funzione generatrice dei momenti → e Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →.

Perché è importante

Le somme di v.a. indipendenti sono ovunque: il numero totale di successi in più blocchi di prove, il tempo totale di più attese successive, il segnale ricevuto come somma di segnale e rumore indipendente, la media campionaria. Media e varianza di una somma si trovano subito:

$$E[X + Y] = E[X] + E[Y] \ \text{(sempre)}, \qquad \text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) \ \text{(se indipendenti)}.$$

La prima è la linearità della media (Vettori aleatori discretiUn vettore aleatorio discreto (X, Y) è descritto dalla densità congiunta p(x, y) = P(X = x, Y = y); le marginali si ottengono sommando sull'altra variabile, X e Y sono indipendenti se p(x, y) = p_X(x) p_Y(y) per ogni coppia, e E[g(X, Y)] = Σ g(x, y) p(x, y).Vettori aleatori discreti →); la seconda viene da $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y)$, dove la covarianza è nulla per v.a. indipendenti (Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →).

Ma per calcolare probabilità come $P(X + Y \le 47)$ serve la legge della somma.

Caso discreto: convoluzione discreta

Formula (convoluzione discreta). Se $X$ e $Y$ sono indipendenti a valori interi, $Z = X + Y$ ha densità $$p_Z(n) = \sum_{k} p_X(k) \, p_Y(n - k).$$

Esempio. Due dadi: $p_Z(7) = \sum_{k=1}^{6} \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Qui $k$ va da $1$ a $6$ perché per ogni $k \in \{1, \dots, 6\}$ anche $7 - k \in \{1, \dots, 6\}$; per $n = 3$ invece serve $3 - k \ge 1$, cioè $k \le 2$, e $p_Z(3) = \frac{2}{36}$.

Perché. L'evento $\{Z = n\}$ si spezza secondo il valore di $X$ (le possibilità $\{X = k\}$ sono una partizione):

$$\{X + Y = n\} = \bigcup_k \{X = k, \ Y = n - k\} \quad \text{(unione disgiunta)},$$

quindi per σ-additività e indipendenza

$$P(Z = n) = \sum_k P(X = k, Y = n - k) = \sum_k P(X = k) P(Y = n - k).$$

È la formula delle probabilità totaliSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes → condizionando al valore di una delle due. Il punto delicato sono gli estremi della somma: $k$ deve essere un valore possibile di $X$ e $n - k$ un valore possibile di $Y$.

Somma di due geometriche

(II appello 12.02.2026 e III appello 24.06.2026; svolto in Esercizio 12 · somma di due geometriche indipendenti.) $X, Y \sim \text{Geo}(p)$ indipendenti, $q = 1 - p$.

• Alfabeto di $Z$: $X, Y \ge 1$, quindi $Z \ge 2$; ogni intero $n \ge 2$ si ottiene (es. $1 + (n - 1)$). $\mathcal X_Z = \{2, 3, \dots\}$.
• Estremi: serve $k \ge 1$ (valore di $X$) e $n - k \ge 1$ (valore di $Y$), cioè $1 \le k \le n - 1$: sono $n - 1$ termini.
• Calcolo: $$p_Z(n) = \sum_{k = 1}^{n - 1} q^{k - 1} p \cdot q^{n - k - 1} p = \sum_{k = 1}^{n - 1} p^2 q^{n - 2} = (n - 1) p^2 q^{n - 2}.$$

Si usa la densità $p_X(k) = q^{k-1} p$ di Geo(p)Geo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →, calcolata in $k$ per $X$ e in $n - k$ per $Y$. Ogni termine è uguale, perché l'esponente totale $(k - 1) + (n - k - 1) = n - 2$ non dipende da $k$; la somma di $n - 1$ termini tutti uguali a una costante è la costante per $n - 1$ (SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie →). Per $p = \frac12$: $p_Z(n) = (n - 1) \cdot \frac14 \cdot \frac{1}{2^{n-2}} = \frac{n - 1}{2^n}$.

Controllo che sia una densità. $\sum_{n \ge 2} (n - 1) p^2 q^{n-2} = p^2 \sum_{m \ge 0} (m + 1) q^m = p^2 \cdot \frac{1}{(1 - q)^2} = 1$ (con $m = n - 2$; la serie $\sum (m+1) q^m = \frac{1}{(1-q)^2}$ è la derivata termine a termine della serie geometricaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → $\sum q^{m+1} = \frac{q}{1-q}$, lecita per le serie di potenzeLe serie di potenze sono serie di funzioni della forma $\sum a_n(x-x_0)^n$. Esse convergono assolutamente all'interno del raggio di convergenza $\rho$ e uniformemente nei compatti interni, permettendo l'integrazione e la derivazione termine a termine.Serie di potenze e serie di Taylor → dentro il raggio di convergenza).

Interpretazione: $Z$ è il numero di prove necessarie per ottenere due successi. $\{Z = n\}$ vuol dire: la prova $n$ è un successo, e tra le prime $n - 1$ c'è esattamente un successo ($n - 1$ posizioni possibili). Si ritrova $(n - 1) \cdot p \cdot q^{n - 2} \cdot p$ ✓.

Somma di due binomiali (stesso $p$)

$X \sim \text{Bin}(n, p)$, $Y \sim \text{Bin}(m, p)$ indipendenti: $X + Y \sim \text{Bin}(n + m, p)$.

Senza conti: $X$ conta i successi in $n$ prove, $Y$ in altre $m$ prove indipendenti con la stessa $p$; la somma conta i successi in $n + m$ prove. Con la convoluzione, si usa l'identità di VandermondeLa somma su k di C(n,k) C(m,j−k) vale C(n+m,j): scegliere j oggetti da n+m equivale a sceglierne k dai primi n e j−k dagli altri m, sommando su k.:

$$p_{X+Y}(j) = \sum_k \binom nk p^k q^{n-k} \binom{m}{j-k} p^{j-k} q^{m-j+k} = p^j q^{n+m-j} \sum_k \binom nk \binom{m}{j-k} = \binom{n+m}{j} p^j q^{n+m-j}.$$

Nel secondo passaggio si raccolgono le potenze: $p^k \cdot p^{j-k} = p^j$ e $q^{n-k} \cdot q^{m-j+k} = q^{n+m-j}$, che non dipendono più da $k$ e escono dalla somma. La somma corre sui $k$ con $0 \le k \le n$ e $0 \le j - k \le m$; scrivendola su tutti i $k$ interi non cambia nulla, perché si pone per convenzione $\binom nk = 0$ quando $k < 0$ o $k > n$ (non ci sono modi di scegliere un numero negativo di oggetti, o più oggetti di quanti ce ne sono; per i coefficienti binomiali vedi Fattoriale e coefficienti binomialiFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali →).

Esempio (I appello 15.01.2026, Esercizio 23 · teste di due monete e approssimazione normale): $X_A, X_B \sim \text{Bin}(50, \frac12)$ indipendenti, $Y = X_A + X_B \sim \text{Bin}(100, \frac12)$.

Somma di due Poisson

$X \sim \text{Poi}(\lambda)$, $Y \sim \text{Poi}(\mu)$ indipendenti: $X + Y \sim \text{Poi}(\lambda + \mu)$. Infatti, con $k$ da $0$ a $n$:

$$p_{X+Y}(n) = \sum_{k=0}^n e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\mu}\frac{\mu^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{n!}\sum_{k=0}^n \binom nk \lambda^k \mu^{n-k} = e^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^n}{n!},$$

moltiplicando e dividendo per $n!$ e usando il binomio di Newton. In dettaglio: $X$ e $Y$ valgono almeno $0$, quindi servono $k \ge 0$ e $n - k \ge 0$; si raccoglie $e^{-\lambda} e^{-\mu} = e^{-(\lambda + \mu)}$ fuori dalla somma; poi $$\frac{1}{k!\,(n-k)!} = \frac{1}{n!} \cdot \frac{n!}{k!\,(n-k)!} = \frac{1}{n!}\binom nk,$$ e infine $\sum_{k=0}^n \binom nk \lambda^k \mu^{n-k} = (\lambda + \mu)^n$ è il Binomio di NewtonLa formula per sviluppare (a+b)^n con i coefficienti binomiali.Binomio di Newton →. Esempio: chiamate a due centralini indipendenti, in media $3$ e $5$ all'ora: in totale $\text{Poi}(8)$.

Caso continuo: integrale di convoluzione

Formula (convoluzione continua). Se $X$ e $Y$ sono indipendenti e a.c., $Z = X + Y$ è a.c. con densità $$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(z - y) \, f_Y(y) \, dy = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \, f_Y(z - x) \, dx.$$ Si scrive $f_Z = f_X * f_Y$ (convoluzione).

Esempio. $X, Y \sim U(0,1)$ indipendenti: per $0 \le z \le 1$, $f_Z(z) = \int_0^z 1\,dy = z$ (la densità triangolare). L'integranda $f_X(z - y) f_Y(y)$ vale $1$ quando $0 \le y \le 1$ e $0 \le z - y \le 1$, e $0$ altrove; per $0 \le z \le 1$ le due condizioni insieme danno $0 \le y \le z$ (il caso completo è più sotto).

Perché. Si calcola la FdD integrando la congiunta $f_X(x)f_Y(y)$ (prodotto delle marginali per l'indipendenza) sul semipiano $\{x + y \le z\}$, fissando $y$ e facendo variare $x$ fino a $z - y$:

$$F_Z(z) = \int_{\mathbb R} f_Y(y) \left(\int_{-\infty}^{z - y} f_X(x) \, dx\right) dy = \int_{\mathbb R} f_Y(y) F_X(z - y) \, dy.$$

L'integrale interno è la FdD di $X$ calcolata in $z - y$. Derivando in $z$ sotto il segno di integrale (Integrali dipendenti da parametriUn integrale dipendente da un parametro è F(y) = ∫ab f(x,y) dx. Se f è continua sul rettangolo [a,b]×[c,d], F è continua su [c,d] (quindi si può portare il limite sotto il segno di integrale: lim F(y) = ∫ lim f). Se anche ∂f/∂y è continua, F è derivabile e F'(y) = ∫ab ∂f/∂y (x,y) dx (derivazione sotto il segno di integrale, regola di Leibniz). Con estremi variabili, G(y) = ∫α(y)β(y) f(x,y) dx, vale G' = f(β,y)β' − f(α,y)α' + ∫ ∂f/∂y dx. Serve per calcolare integrali che non hanno primitiva elementare.Integrali dipendenti da parametri →; qui si può fare quando le densità sono abbastanza regolari) e usando $F_X' = f_X$ insieme alla regola della catena ($\frac{d}{dz} F_X(z - y) = f_X(z - y) \cdot 1$): $f_Z(z) = \int f_Y(y) f_X(z - y) \, dy$. La seconda forma della formula viene dalla sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione → $x = z - y$ ($dx = -dy$; il segno meno si compensa scambiando gli estremi $+\infty$ e $-\infty$). È la stessa formula del caso discreto con l'integrale al posto della somma, ed è identica alla convoluzione dei segnali, dove descrive l'uscita di un sistema lineare: il metodo per trovare gli estremi a casi è lo stesso di Calcolo della convoluzione e sue proprietàIl supporto della convoluzione è la somma dei supporti, $\operatorname{rect}*\operatorname{rect}=\Lambda$, e due esponenziali causali danno $(e^{-bt}-e^{-at})/(a-b)$. Si calcola con il metodo grafico a casi (ribaltare, traslare, individuare gli intervalli di sovrapposizione). Proprietà: lineare, commutativa, associativa, $\delta$ è l'elemento neutro, la traslazione si somma, l'area è il prodotto delle aree.Calcolo della convoluzione e sue proprietà →.

Come trovare gli estremi. L'integranda è diversa da zero solo dove entrambi i fattori lo sono. Si scrivono le due condizioni come vincoli su $y$ e si intersecano, distinguendo i casi secondo $z$.

Due esponenziali con lo stesso parametro

(I appello 15.01.2026, Esercizio 16 · due esponenziali indipendenti, quadrato e somma.) $X, Y \sim \text{Exp}(2)$.

• $f_Y(y) \ne 0$ richiede $y \ge 0$; $f_X(z - y) \ne 0$ richiede $z - y \ge 0$, cioè $y \le z$.
• Se $z < 0$ nessun $y$ soddisfa entrambe: $f_Z(z) = 0$ (ovvio, la somma di positivi è positiva).
• Se $z \ge 0$, $y \in [0, z]$: $$f_Z(z) = \int_0^z 2e^{-2(z - y)} \cdot 2e^{-2y} \, dy = 4e^{-2z} \int_0^z dy = 4z e^{-2z}.$$

Gli esponenziali si combinano: $e^{-2(z - y)} e^{-2y} = e^{-2z + 2y - 2y} = e^{-2z}$, che non dipende da $y$ ed esce dall'integrale. Resta $\int_0^z dy = z$, la lunghezza dell'intervallo: è questo che rende il conto immediato. Controllo: $\int_0^\infty 4z e^{-2z} \, dz = 1$ (per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →, con $\int_0^\infty z e^{-2z} dz = \frac14$).

Il risultato è la densità $\Gamma(2, 2)$ (Distribuzione gammaΓ(α, λ) ha densità λ^α x^(α−1) e^(−λx) / Γ(α) per x > 0, dove Γ(α) = ∫ x^(α−1) e^(−x) dx è la funzione Gamma (Γ(n) = (n − 1)!, Γ(1/2) = √π); media α/λ, varianza α/λ²; Γ(1, λ) = Exp(λ), e la somma di n esponenziali Exp(λ) indipendenti è Γ(n, λ), il tempo d'attesa dell'n-esimo evento.Distribuzione gamma →). In generale:

Proprietà (somma di esponenziali e di gamma). $\text{Exp}(\lambda) + \text{Exp}(\lambda) = \Gamma(2, \lambda)$, e più in generale $\Gamma(\alpha, \lambda) + \Gamma(\beta, \lambda) = \Gamma(\alpha + \beta, \lambda)$ (indipendenti, stesso tasso).

Esempio. $X, Y \sim \text{Exp}(2)$ indipendenti: $X + Y \sim \Gamma(2, 2)$, con densità $4z\,e^{-2z}$ per $z > 0$.

Due uniformi: la densità triangolare

$X, Y \sim U(0, 1)$ indipendenti. I vincoli sono $0 \le y \le 1$ e $0 \le z - y \le 1$ (cioè $z - 1 \le y \le z$). L'intervallo ammesso per $y$ è $[\max(0, z - 1), \min(1, z)]$:

• $0 \le z \le 1$: $\max(0, z - 1) = 0$ e $\min(1, z) = z$, quindi $y \in [0, z]$ e $f_Z(z) = \int_0^z 1 \, dy = z$;
• $1 \le z \le 2$: $\max(0, z - 1) = z - 1$ e $\min(1, z) = 1$, quindi $y \in [z - 1, 1]$ e $f_Z(z) = \int_{z-1}^1 1 \, dy = 1 - (z - 1) = 2 - z$;
• altrove l'intervallo è vuoto (per $z < 0$ servirebbe $y \le z < 0$, per $z > 2$ servirebbe $y \ge z - 1 > 1$) e $f_Z(z) = 0$.

In tutti i casi $f_Z(z)$ è la lunghezza dell'intervallo ammesso per $y$, perché la funzione integrata vale $1$.

La somma di due uniformi non è uniforme: i valori centrali si ottengono in più modi (come il 7 con due dadi, Esercizio 3 · somma 7 con due dadi).

Gaussiane indipendenti

$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$, $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ indipendenti: $X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$. Con la convoluzione si completa il quadrato all'esponente (conto lungo); con la Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica → è una riga: la funzione caratteristica della somma di indipendenti è il prodotto, e $$\varphi_X(\theta)\,\varphi_Y(\theta) = e^{i\mu_1 \theta - \sigma_1^2 \theta^2/2} \, e^{i\mu_2 \theta - \sigma_2^2 \theta^2/2} = e^{i(\mu_1 + \mu_2) \theta - (\sigma_1^2 + \sigma_2^2) \theta^2/2},$$ che è la funzione caratteristica di $N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$; poiché la funzione caratteristica determina la legge, la somma è quella gaussiana. È la stessa idea della trasformata di FourierLa trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate.Proprietà della trasformata di Fourier →, che trasforma la convoluzione in un prodotto. Vedi Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →.

Tabella dei casi notevoli

Condizionare alla somma

Una domanda frequente: sapendo che $X + Y = n$, che probabilità ha $X = k$? Per definizione di probabilità condizionata e indipendenza

$$P(X = k \mid Z = n) = \frac{P(X = k, Y = n - k)}{P(Z = n)} = \frac{p_X(k) \, p_Y(n - k)}{p_Z(n)}.$$

Esempio (II appello, Esercizio 12 · somma di due geometriche indipendenti): $X, Y \sim \text{Geo}(\frac12)$, $P(X = 3 \mid Z = 5) = \frac{(1/2)^3 (1/2)^2}{4/2^5} = \frac14$. Al numeratore $p_X(3) = \frac{1}{2^3}$ e $p_Y(5 - 3) = \frac{1}{2^2}$, il cui prodotto è $\frac{1}{32}$; al denominatore $p_Z(5) = \frac{5 - 1}{2^5} = \frac{4}{32}$; il rapporto è $\frac14$. In generale, dato $Z = n$, $X$ è uniforme su $\{1, \dots, n - 1\}$: tutti i termini della convoluzione erano uguali.

Errori comuni

• Sbagliare gli estremi della somma o dell'integrale: imporre sempre che entrambi gli argomenti stiano nei rispettivi supporti.
• Moltiplicare le densità ($f_Z(z) = f_X(z) f_Y(z)$): è sbagliato, serve la convoluzione.
• Sommare binomiali con $p$ diversi o gamma con tassi diversi aspettandosi la stessa famiglia.
• Usare la convoluzione senza indipendenza: la formula usa $f_{X,Y} = f_X f_Y$. Per v.a. dipendenti si integra la congiunta: $f_Z(z) = \int f_{X,Y}(z - y, y) \, dy$.