Esercizio 25convergenze di Xn a valori −√n, 0, √n

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Perché $n \ge 2$: serve $1 - \frac2n \ge 0$, cioè $n \ge 2$, perché sia una densità.

La struttura è quella dell'Esercizio 24 · convergenze di Xn a valori 0 e n: quasi sempre $0$, raramente un valore grande, qui simmetrico ($\pm\sqrt n$). La differenza è che la convergenza in distribuzione si studia con la funzione caratteristica.

(a) Funzione caratteristica e convergenze

Calcolo di $\varphi_n$

Definizione (Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →) e teorema fondamentale del valor medioLa media di g(X) è la somma di g(x) per la densità di X.Valore atteso → con $g(x) = e^{i\theta x}$, sommando sui tre valori:

$$\varphi_n(\theta) = E[e^{i\theta X_n}] = e^{i\theta\cdot 0}\left(1 - \frac2n\right) + e^{-i\theta\sqrt n}\cdot\frac1n + e^{i\theta\sqrt n}\cdot\frac1n = 1 - \frac2n + \frac1n\left(e^{i\theta\sqrt n} + e^{-i\theta\sqrt n}\right).$$

Per la formula di Euleroe^(ix) = cos x + i sin x per ogni x reale.Numeri complessi, formula di Eulero ed esponenziali complessi →, $e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos x$ (sommando $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ ed $e^{-ix} = \cos x - i\sin x$ le parti immaginarie si cancellano), con $x = \theta\sqrt n$; inoltre $e^{i\theta \cdot 0} = e^0 = 1$:

$$\boxed{\varphi_n(\theta) = 1 - \frac2n + \frac2n\cos\left(\theta\sqrt n\right)}$$

È reale perché $X_n$ è simmetrica ($X_n$ e $-X_n$ hanno la stessa legge). (Nella soluzione ufficiale compare $\cos(\theta n)$: è un refuso per $\cos(\theta\sqrt n)$, e il limite non cambia.)

Limite

Per $\theta$ fissato, $|\cos(\theta\sqrt n)| \le 1$, quindi $\left|\frac2n\cos(\theta\sqrt n)\right| \le \frac2n \to 0$ (limitata per infinitesima: è il teorema del confronto, perché $-\frac2n \le \frac2n\cos(\theta\sqrt n) \le \frac2n$ e i due estremi tendono a $0$; vedi Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →). Anche $\frac2n \to 0$. Dunque

$$\lim_{n\to\infty}\varphi_n(\theta) = 1 \qquad \text{per ogni } \theta \in \mathbb R.$$

Il coseno da solo non ha limite (oscilla sempre più velocemente al crescere di $n$): è il fattore $\frac2n$ davanti a schiacciarlo.

La funzione costante $1$ è continua (in particolare in $0$) ed è la funzione caratteristica della v.a. costante $0$ ($E[e^{i\theta\cdot 0}] = 1$). Per il teorema di continuità di Lévy (Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →):

$$\boxed{X_n \xrightarrow{d} 0}$$

Probabilità

Convergenza in distribuzione verso una costante ⇒ convergenza in probabilità verso la stessa costante:

$$\boxed{X_n \xrightarrow{p} 0}$$

Verifica diretta: per $\varepsilon > 0$ e $n > \varepsilon^2$ (così che $\sqrt n > \varepsilon$), $$P(|X_n| > \varepsilon) = P(X_n = \sqrt n) + P(X_n = -\sqrt n) = \frac2n \to 0 \ ✓$$

Verifica con la FdD (strada alternativa a Lévy): $F_{X_n}(x)$ vale $0$ per $x < -\sqrt n$, $\frac1n$ per $-\sqrt n \le x < 0$, $1 - \frac1n$ per $0 \le x < \sqrt n$, $1$ per $x \ge \sqrt n$. Con $x$ fissato e $n$ grande ($\sqrt n > |x|$): per $x < 0$ si è nel secondo tratto e $F_{X_n}(x) = \frac1n \to 0$, per $x \ge 0$ nel terzo e $F_{X_n}(x) = 1 - \frac1n \to 1$. È la FdD della costante $0$, come trovato con Lévy.

(b) Media e media seconda

Candidato limite

Come sempre, se c'è convergenza in $L^1$ o $L^2$, il limite coincide con quello in probabilità: $0$.

Momenti

Attenzione al modulo. Per $L^1$ serve $E[|X_n - 0|] = E[|X_n|]$, non $E[X_n]$:

$$E[X_n] = -\sqrt n\cdot\frac1n + 0 + \sqrt n\cdot\frac1n = 0 \quad \text{(per simmetria, per ogni } n\text{)},$$

$$E[|X_n|] = \sqrt n\cdot\frac1n + 0 + \sqrt n\cdot\frac1n = \frac{2}{\sqrt n},$$

$$E[X_n^2] = n\cdot\frac1n + 0 + n\cdot\frac1n = 2.$$

Nel secondo conto $|\pm\sqrt n| = \sqrt n$, e $\sqrt n \cdot \frac1n = \frac{1}{\sqrt n}$ (perché $n = \sqrt n \cdot \sqrt n$); nel terzo $(\pm\sqrt n)^2 = n$. Si può controllare $E[X_n^2]$ anche con la funzione caratteristica: $E[X_n^2] = -\varphi_n''(0)$, e $\varphi_n''(\theta) = -\frac2n \cdot n\cos(\theta\sqrt n) = -2\cos(\theta\sqrt n)$ (ogni derivata del coseno fa uscire un fattore $\sqrt n$), quindi $-\varphi_n''(0) = 2$ ✓.

Conclusioni

$$E[|X_n - 0|] = \frac{2}{\sqrt n} \to 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_n \xrightarrow{L^1} 0}$$

$$E[|X_n - 0|^2] = 2 \not\to 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_n \text{ non converge in } L^2}$$

Non converge in $L^2$ a nessuna v.a.: il limite in $L^2$, se esistesse, dovrebbe essere il limite in probabilità $0$, e verso $0$ la media seconda resta $2$.

Sulla soluzione ufficiale. Lì si scrive $\lim E(|X_n - 0|) = \lim E(X_n) = 0$. La conclusione è corretta, ma il passaggio no: $E[X_n] = 0$ per ogni $n$ solo perché i valori positivi e negativi si compensano, e questo non dice nulla sulla distanza da $0$. Ad esempio, $Y_n = \pm n$ con probabilità $\frac12$ ciascuno ha $E[Y_n] = 0$ ma $E[|Y_n|] = n \to \infty$. Il conto corretto è $E[|X_n|] = \frac{2}{\sqrt n}$.

Lettura

Il valore anomalo $\sqrt n$ ha probabilità totale $\frac2n$. Nella media pesa $\sqrt n\cdot\frac2n = \frac{2}{\sqrt n} \to 0$; nella media seconda pesa $n\cdot\frac2n = 2$: il quadrato compensa esattamente la rarità.

Riepilogo

Errori comuni

• Usare $E[X_n]$ al posto di $E[|X_n|]$ per la convergenza in $L^1$.
• Dimenticare il fattore $2$ del coseno: $e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos x$.
• Concludere da $\varphi_n \to 1$ senza dire di chi è la funzione caratteristica $1$ (della costante $0$) e senza citare Lévy.