Esercizio 3somma 7 con due dadi

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Obiettivo

Chiamiamo $A$ l'evento "la somma dei due dadi è $7$". Vogliamo $\mathbb{P}(A)$. Servono i tre ingredienti dello spazio di probabilitàLa terna (Ω, F, P): esiti possibili, eventi, misura di probabilità.Spazio campionario ed eventi →: $\Omega$, gli eventi, $\mathbb{P}$.

Passo 1: lo spazio campionario

Un esito deve descrivere completamente cosa è successo: il risultato del primo dado e quello del secondo. Si prende quindi l'insieme delle coppie ordinate

$$\Omega = \{1, \dots, 6\}^2 = \{(i, j) : i, j \in \{1, \dots, 6\}\}$$

(il prodotto cartesianoA × B è l'insieme delle coppie ordinate (a, b) con a in A e b in B.Operazioni tra insiemi → di $\{1, \dots, 6\}$ con se stesso), dove $i$ è il risultato del primo dado e $j$ quello del secondo. Per il principio di moltiplicazioneSe una scelta si fa in due passi con 6 possibilità ciascuno, le scelte totali sono 6 · 6.Calcolo combinatorio per la probabilità → $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$.

Perché coppie ordinate. Anche se i dadi sono uguali, sono due oggetti distinti (si può immaginare di colorarne uno di rosso). L'esito "1 sul rosso e 6 sul blu" è diverso da "6 sul rosso e 1 sul blu". Con le coppie ordinate tutti gli esiti hanno la stessa probabilità, ed è questo che permette di contare.

Passo 2: la misura di probabilità

I dadi sono equi e (implicitamente) lanciati in modo indipendente: nessuna coppia è privilegiata, quindi $\mathbb{P}$ è uniforme:

$$\mathbb{P}(\{(i, j)\}) = \frac{1}{|\Omega|} = \frac1{36} \qquad \text{per ogni } (i, j)$$

È lo stesso valore che si ottiene con l'indipendenzaP(E ∩ F) = P(E) P(F).Indipendenza di eventi →: $\{(i, j)\}$ è l'intersezione di "il primo dado dà $i$" (probabilità $\frac16$) e "il secondo dado dà $j$" (probabilità $\frac16$), quindi ha probabilità $\frac16 \cdot \frac16 = \frac1{36}$.

e per ogni evento vale la regola degli spazi uniformiP(A) = ∣A∣ / ∣Ω∣: casi favorevoli su casi possibili.Spazi di probabilità discreti e uniformi → $\mathbb{P}(A) = |A| / |\Omega|$.

Passo 3: l'evento e il conteggio

$$A = \{(i, j) \in \Omega : i + j = 7\}$$

Per ogni valore del primo dado $i \in \{1, \dots, 6\}$ c'è esattamente un valore del secondo che dà somma $7$, cioè $j = 7 - i$, e questo valore sta sempre tra $1$ e $6$:

$$A = \{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}, \qquad |A| = 6$$

Visto nel piano: gli esiti sono i 36 punti a coordinate intere del quadrato $[1, 6]^2$, e $A$ è fatto dai punti sulla retta $i + j = 7$, che attraversa il quadrato da un vertice all'altro sulla diagonale secondaria.

Passo 4: la probabilità

$$\mathbb{P}(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{36} = \frac16 \approx 0{,}167$$

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Tutte le somme

Lo stesso conteggio per ogni somma $s$ dà la tabella seguente. Per $s \le 7$ le coppie sono $(1, s-1), \dots, (s-1, 1)$: il primo dado va da $1$ a $s - 1$ (il secondo, $s - i$, è allora tra $1$ e $6$), quindi sono $s - 1$. Per $s \ge 7$ il secondo dado non può superare 6, quindi il primo deve essere almeno $s - 6$: le coppie sono $(s-6, 6), \dots, (6, s-6)$, e il primo dado va da $s - 6$ a $6$, cioè $6 - (s - 6) + 1 = 13 - s$ valori. Le due espressioni si riassumono in $6 - |s - 7|$ coppie, con il valore assolutoIl valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) →: per $s \le 7$ vale $|s - 7| = 7 - s$ e $6 - (7 - s) = s - 1$, per $s \ge 7$ vale $|s - 7| = s - 7$ e $6 - (s - 7) = 13 - s$.

Il totale delle coppie è $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36$ ✓: ogni coppia ha una e una sola somma.

$7$ è la somma più probabile perché è l'unica che si ottiene qualunque sia il primo dado.

Errori comuni

• Prendere come esiti le somme $\{2, 3, \dots, 12\}$ e rispondere $\frac1{11}$: le somme non sono equiprobabili (la tabella lo mostra), quindi "favorevoli su possibili" non si può applicare a quello spazio.
• Usare coppie non ordinate $\{i, j\}$: si otterrebbero 21 esiti (le $\binom62 = 15$ coppie con valori diversi più le 6 coppie doppie, cioè le combinazioni con ripetizioneNegli spazi uniformi bisogna contare: principio di moltiplicazione, disposizioni con ripetizione n^k, disposizioni semplici n!/(n−k)!, permutazioni n!, combinazioni (n su k); estrazioni con e senza reinserimento e distribuzione ipergeometrica.Calcolo combinatorio per la probabilità → $\binom{7}{2} = 21$; $\{1,6\}, \{2,5\}, \{3,4\}$ favorevoli) e la risposta sbagliata $\frac3{21} = \frac17$. Le coppie non ordinate non sono equiprobabili: $\{1, 6\}$ corrisponde a due esiti ordinati, $\{3, 3\}$ a uno solo.
• Dimenticare $(4, 3), (5, 2), (6, 1)$, cioè contare ogni coppia una volta sola.