Esercizio 8tre fornitori e componenti difettosi

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Impostazione

L'esperimento ha due fasi: (1) si sceglie il fornitore; (2) si prendono due componenti di quel fornitore. Gli eventi $A, B, C$ ("il fornitore è A", ecc.) formano una partizione con probabilità $\frac12, \frac13, \frac16$ (somma $1$ ✓).

Poniamo $p_A = \frac1{20}$, $p_B = \frac1{10}$, $p_C = \frac15$ le probabilità di difetto.

Ipotesi implicita: una volta fissato il fornitore, i due componenti sono difettosi indipendentemente l'uno dall'altro, ciascuno con la probabilità di quel fornitore. Cioè $D_1$ e $D_2$ sono condizionatamente indipendenti dato il fornitore:

$$P(D_1 \cap D_2 \mid A) = p_A^2, \qquad P(D_1 \cap D_2^c \mid A) = p_A(1 - p_A), \ \dots$$

(a) Esattamente un difettoso

Dato il fornitore A, "esattamente uno difettoso" è l'unione disgiunta di "primo difettoso e secondo no" e "primo buono e secondo difettoso":

$$P(\text{esattamente uno} \mid A) = p_A(1 - p_A) + (1 - p_A)p_A = 2p_A(1 - p_A).$$

Ogni addendo è la probabilità condizionata di un'intersezione, che per l'indipendenza condizionata è il prodotto: $P(D_1 \cap D_2^c \mid A) = P(D_1 \mid A)\,P(D_2^c \mid A) = p_A (1 - p_A)$, dove $P(D_2^c \mid A) = 1 - p_A$ per la regola del complementare applicata alla misura $P(\cdot \mid A)$ (vedi Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata →). I due casi si sommano perché sono disgiunti (il primo componente è difettoso nell'uno e buono nell'altro).

È la binomialeP(k successi in n prove) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k).Bernoulli, binomiale e uniforme discreta → $\text{Bin}(2, p_A)$ valutata in $1$: $\binom21 p_A(1 - p_A)$.

Calcolo per ogni fornitore:

Probabilità totaliP(E) = somma delle P(E ∣ scenario) pesate con le probabilità degli scenari.Formula delle probabilità totali e formula di Bayes → con la partizione $\{A, B, C\}$:

$$P(\text{esattamente uno}) = \frac12 \cdot \frac{19}{200} + \frac13 \cdot \frac{9}{50} + \frac16 \cdot \frac{8}{25} = \frac{19}{400} + \frac{3}{50} + \frac{4}{75}.$$

(I prodotti: $\frac12 \cdot \frac{19}{200} = \frac{19}{400}$; $\frac13 \cdot \frac{9}{50} = \frac{9}{150} = \frac{3}{50}$; $\frac16 \cdot \frac{8}{25} = \frac{8}{150} = \frac{4}{75}$.) Il testo permette di fermarsi qui. Per completezza, con denominatore comune $1200$ (il minimo comune multiplo di $400 = 2^4 \cdot 5^2$, $50 = 2 \cdot 5^2$ e $75 = 3 \cdot 5^2$ è $2^4 \cdot 3 \cdot 5^2 = 1200$): $\frac{19 \cdot 3}{1200} + \frac{3 \cdot 24}{1200} + \frac{4 \cdot 16}{1200} = \frac{57}{1200} + \frac{72}{1200} + \frac{64}{1200}$.

$$\boxed{P(\text{esattamente uno difettoso}) = \frac{193}{1200} \approx 0{,}161}$$

(b) $D_1$ e $D_2$ sono indipendenti?

Bisogna confrontare $P(D_1 \cap D_2)$ con $P(D_1)P(D_2)$ (Indipendenza di eventiA e B sono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B), cioè se sapere che uno si è verificato non cambia la probabilità dell'altro; l'indipendenza passa ai complementari, non va confusa con l'incompatibilità, e per più eventi va richiesta su ogni sottofamiglia.Indipendenza di eventi →).

$P(D_1)$, probabilità totali:

$$P(D_1) = \frac12 \cdot \frac1{20} + \frac13 \cdot \frac1{10} + \frac16 \cdot \frac15 = \frac1{40} + \frac1{30} + \frac1{30} = \frac{3 + 4 + 4}{120} = \frac{11}{120}.$$

Per simmetria (il secondo componente ha la stessa probabilità di difetto del primo in ogni scenario) $P(D_2) = \frac{11}{120}$.

$P(D_1 \cap D_2)$, probabilità totali con le probabilità condizionate $p^2$:

$$P(D_1 \cap D_2) = \frac12\left(\frac1{20}\right)^2 + \frac13\left(\frac1{10}\right)^2 + \frac16\left(\frac15\right)^2 = \frac1{800} + \frac1{300} + \frac1{150}.$$

I tre addendi vengono da $\frac12 \cdot \frac{1}{400}$, $\frac13 \cdot \frac{1}{100}$, $\frac16 \cdot \frac{1}{25}$. Con denominatore $2400$ ($= 800 \cdot 3 = 300 \cdot 8 = 150 \cdot 16$): $\frac{3 + 8 + 16}{2400} = \frac{27}{2400} = \frac{9}{800}$ (dividendo per $3$).

Qui la formula delle probabilità totali è applicata all'evento $D_1 \cap D_2$, e $P(D_1 \cap D_2 \mid A) = p_A^2$ è l'indipendenza condizionata dell'impostazione.

Confronto:

$$P(D_1)P(D_2) = \left(\frac{11}{120}\right)^2 = \frac{121}{14400} \approx 0{,}0084, \qquad P(D_1 \cap D_2) = \frac{9}{800} = \frac{162}{14400} \approx 0{,}0113.$$

(Per confrontare le frazioni si porta $\frac{9}{800}$ al denominatore $14\,400 = 800 \cdot 18$: $9 \cdot 18 = 162$.)

Sono diversi, quindi

$$\boxed{D_1 \text{ e } D_2 \text{ non sono indipendenti}}$$

Perché, intuitivamente

$D_1$ e $D_2$ sono indipendenti dato il fornitore, ma non in assoluto. Se il primo componente è difettoso, diventa più probabile che il fornitore sia C (il peggiore), e quindi diventa più probabile che anche il secondo sia difettoso. Infatti

$$P(D_2 \mid D_1) = \frac{P(D_1 \cap D_2)}{P(D_1)} = \frac{9/800}{11/120} = \frac{9 \cdot 120}{800 \cdot 11} = \frac{27}{220} \approx 0{,}123 > P(D_2) \approx 0{,}092.$$

Lo si vede anche con la formula di BayesSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes →: sapendo che il primo componente è difettoso, la probabilità che il fornitore sia C diventa $$P(C \mid D_1) = \frac{P(D_1 \mid C)\,P(C)}{P(D_1)} = \frac{\frac15 \cdot \frac16}{\frac{11}{120}} = \frac{1/30}{11/120} = \frac{4}{11} \approx 0{,}36,$$ più del doppio della probabilità a priori $\frac16 \approx 0{,}17$, mentre A scende da $\frac12$ a $\frac{1/40}{11/120} = \frac{3}{11}$.

L'informazione su un componente "passa" all'altro attraverso il fornitore comune. È un caso di dipendenza positiva: $P(D_1 \cap D_2) > P(D_1)P(D_2)$. In generale vale sempre $E[p^2] \ge (E[p])^2$: se si pensa alla probabilità di difetto $p$ come a una quantità che vale $p_A, p_B, p_C$ con probabilità $\frac12, \frac13, \frac16$, allora $P(D_1) = E[p]$ e $P(D_1 \cap D_2) = E[p^2]$, e la differenza $E[p^2] - (E[p])^2$ è la sua varianzaI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →, che è $\ge 0$. Qui vale $\frac{162 - 121}{14400} = \frac{41}{14400}$; l'uguaglianza (e quindi l'indipendenza) ci sarebbe solo se i tre fornitori avessero la stessa $p$.

Errori comuni

• Calcolare $P(D_1)^2$ come probabilità che entrambi siano difettosi: confonde l'indipendenza condizionata con quella assoluta.
• In (a) dimenticare il fattore 2: i casi "primo sì, secondo no" e "primo no, secondo sì" sono due.
• Mescolare i fornitori: i due componenti vengono dallo stesso fornitore, quindi in ogni scenario si usa una sola $p$, non prodotti come $p_A p_B$.