Esercizio 1sigma-algebre su un insieme di quattro elementi

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Cosa bisogna controllare

Per la definizione di σ-algebraUna famiglia di sottoinsiemi di Ω che contiene ∅, contiene il complementare di ogni suo elemento e l'unione di ogni successione di suoi elementi.Sigma-algebre di eventi → servono tre cose:

1. $\emptyset \in \mathcal{F}$;
2. chiusura per complementare: $A \in \mathcal{F} \Rightarrow A^c \in \mathcal{F}$;
3. chiusura per unioni numerabili.

Semplificazione perché $\Omega$ è finito. $\mathcal{F}$ ha un numero finito di elementi (al massimo $2^4 = 16$, tutti i sottoinsiemi di $\Omega$: vedi Insiemi e insieme delle partiCome si descrive un insieme, sottoinsiemi, uguaglianza, insieme delle parti e insiemi finiti e infiniti.Insiemi e insieme delle parti →), quindi un'unione numerabile di elementi di $\mathcal{F}$ è in realtà un'unione di un numero finito di elementi distinti (le ripetizioni non cambiano l'unione, perché $A \cup A = A$). Inoltre basta controllare le unioni di due elementi: se $\mathcal{F}$ è chiusa per unioni di due, lo è per unioni di tre ($A \cup B \cup C = (A \cup B) \cup C$, unione di due elementi di $\mathcal{F}$) e così via, aggiungendo un insieme alla volta (è un ragionamento per induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione → sul numero di insiemi). Le operazioni tra insiemi usate qui sono quelle di Operazioni tra insiemiUnione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano, con le leggi di De Morgan e il legame con la logica.Operazioni tra insiemi →.

Per dimostrare che una famiglia non è una σ-algebra basta invece un solo controesempio.

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1. $\mathcal{F}_1 = \{\emptyset, \{1,2\}, \{3,4\}, \Omega\}$

Condizione 1. $\emptyset \in \mathcal{F}_1$ ✓.

Condizione 2: complementari (rispetto a $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$):

Condizione 3: unioni di due elementi. Unire con $\emptyset$ non cambia l'insieme, unire con $\Omega$ dà $\Omega$; l'unica unione "nuova" è $\{1, 2\} \cup \{3, 4\} = \Omega \in \mathcal{F}_1$ ✓.

Risposta: sì, $\mathcal{F}_1$ è una σ-algebra.

Perché funziona così bene. $\mathcal{F}_1$ è la σ-algebra generata dall'eventoPer un evento A non banale è {∅, A, Aᶜ, Ω}: la più piccola σ-algebra che lo contiene.Sigma-algebre di eventi → $A = \{1, 2\}$: è della forma $\{\emptyset, A, A^c, \Omega\}$ con $A^c = \{3, 4\}$. Descrive chi sa soltanto se il risultato è "piccolo" ($1$ o $2$) o "grande" ($3$ o $4$).

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2. $\mathcal{F}_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \{1,4\}, \{2,3,4\}, \Omega\}$

Condizione 1. $\emptyset \in \mathcal{F}_2$ ✓.

Condizione 2: complementari.

I complementari ci sono tutti: la condizione 2 è soddisfatta. Bisogna quindi guardare le unioni.

Condizione 3: unioni. Si prova a unire due elementi di $\mathcal{F}_2$:

$$\{1\} \cup \{2, 3\} = \{1, 2, 3\} \notin \mathcal{F}_2$$

Controesempio trovato: $\mathcal{F}_2$ non è chiusa per unione.

Risposta: no, $\mathcal{F}_2$ non è una σ-algebra.

Un altro elemento mancante (indicato a lezione): anche le intersezioni devono stare in una σ-algebra. Per De MorganL'intersezione è il complementare dell'unione dei complementari.Spazio campionario ed eventi → $A \cap B = (A^c \cup B^c)^c$: se $A, B \in \mathcal{F}$, i complementari $A^c, B^c$ stanno in $\mathcal{F}$ (condizione 2), la loro unione pure (condizione 3), e anche il suo complementare (di nuovo condizione 2). Qui

$$\{1, 4\} \cap \{2, 3, 4\} = \{4\} = \{1, 2, 3\}^c \notin \mathcal{F}_2$$

I due elementi mancanti sono legati: $\{4\}$ è il complementare di $\{1, 2, 3\}$, quindi se mancasse solo uno dei due la condizione 2 sarebbe violata.

Come si cercano i controesempi. Con famiglie piccole conviene provare prima le unioni di due insiemi disgiunti che non siano complementari tra loro (qui $\{1\}$ e $\{2, 3\}$): sono quelle che più facilmente producono insiemi nuovi.

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In più: la σ-algebra generata da $\mathcal{F}_2$

Quale è la più piccola σ-algebra che contiene tutti gli elementi di $\mathcal{F}_2$? Si osservi che con gli elementi di $\mathcal{F}_2$ si "isolano" tre blocchi che non si possono più spezzare:

$$\{1\}, \qquad \{4\} = \{1, 4\} \setminus \{1\}, \qquad \{2, 3\}$$

La differenza $\{1, 4\} \setminus \{1\} = \{1, 4\} \cap \{1\}^c$ sta in ogni σ-algebra che contiene $\{1, 4\}$ e $\{1\}$, perché è l'intersezione di un elemento con il complementare di un altro (e le intersezioni ci sono, come visto sopra).

Questi tre blocchi formano una partizionePezzi disgiunti che ricoprono Ω.Spazio campionario ed eventi → di $\Omega$, e nessun elemento di $\mathcal{F}_2$ separa $2$ da $3$ (ogni elemento di $\mathcal{F}_2$ li contiene entrambi o nessuno dei due). Questo resta vero per tutta la σ-algebra generata: la famiglia degli insiemi che contengono $2$ e $3$ insieme oppure nessuno dei due è chiusa per complementare e per unioni (se ogni insieme contiene la coppia per intero o per niente, lo stesso vale per il complementare e per l'unione), quindi è una σ-algebra che contiene $\mathcal{F}_2$, e $\sigma(\mathcal{F}_2)$, che è la più piccola, sta dentro di essa. La σ-algebra generata è quindi fatta di tutte le unioni di blocchi: con 3 blocchi ci sono $2^3 = 8$ unioni possibili (per ogni blocco: lo prendo o no; è lo stesso conteggio dei sottoinsiemi di un insieme di 3 elementi).

$$\sigma(\mathcal{F}_2) = \big\{\emptyset, \{1\}, \{4\}, \{2,3\}, \{1,4\}, \{1,2,3\}, \{2,3,4\}, \Omega\big\}$$

Rispetto a $\mathcal{F}_2$ si sono aggiunti proprio $\{4\}$ e $\{1, 2, 3\}$, i due insiemi mancanti trovati sopra. Si verifica facilmente che questa famiglia è chiusa per complementare (il complementare di un'unione di blocchi è l'unione degli altri blocchi) e per unione (un'unione di unioni di blocchi è un'unione di blocchi).

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Errori comuni

• Fermarsi ai complementari: $\mathcal{F}_2$ li ha tutti, ma non è una σ-algebra.
• Dimenticare che il complementare si fa rispetto a $\Omega$: $\{2, 3\}^c = \{1, 4\}$, non $\emptyset$.
• Pensare di dover verificare infinite unioni: su $\Omega$ finito bastano quelle di due elementi.