Esercizio 23teste di due monete e approssimazione normale

(a) Le distribuzioni

$X_A$ e $X_B$

Ogni lancio della moneta A è una prova con successo "testa" di probabilità $\frac12$; i 50 lanci sono indipendenti. $X_A$ conta i successi in 50 prove: per il modello binomialen prove indipendenti, ciascuna con probabilità di successo p: una sequenza con k successi ha probabilità p^k (1−p)^(n−k), e la probabilità di esattamente k successi è (n su k) p^k (1−p)^(n−k) (modello binomiale); il primo successo alla prova k ha probabilità (1−p)^(k−1) p.Prove ripetute e modello binomiale →,

$$X_A \sim \text{Bin}\left(50, \tfrac12\right), \qquad P(X_A = k) = \binom{50}{k}\frac{1}{2^{50}}, \quad k = 0, \dots, 50.$$

(La densità binomiale è $\binom{50}{k}p^k(1 - p)^{50 - k}$, vedi Bernoulli, binomiale e uniforme discretaBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →: il coefficiente binomialeFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali → $\binom{50}{k}$ conta le posizioni delle $k$ teste tra i 50 lanci, e $p^k(1 - p)^{50-k}$ è la probabilità di una singola sequenza con $k$ teste. Con $p = \frac12$ i due fattori si combinano in $\left(\frac12\right)^k\left(\frac12\right)^{50 - k} = \left(\frac12\right)^{50} = \frac{1}{2^{50}}$.) Lo stesso vale per $X_B$.

$X_A$ e $X_B$ sono indipendenti: riguardano lanci di monete diverse, che non si influenzano. In termini di modello: tutti i 100 lanci sono indipendenti, $X_A$ è funzione dei primi 50 e $X_B$ degli altri 50, e funzioni di gruppi disgiunti di v.a. indipendenti sono indipendenti.

$Y = X_A + X_B$

Somma di due binomiali indipendenti con lo stesso $p$: è una binomiale con i numeri di prove sommati (Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →). Il motivo, senza conti: $Y$ conta le teste in $50 + 50 = 100$ lanci indipendenti di monete eque.

Con un conto. La Funzione generatrice dei momentiLa funzione generatrice dei momenti M_X(t) = E[e^(tX)] (quando è finita vicino a 0) produce i momenti per derivazione, E[X^k] = M_X^(k)(0); trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti, M_(X+Y) = M_X M_Y, e se finita in un intorno di 0 determina la legge.Funzione generatrice dei momenti → di $\text{Bin}(50, \frac12)$ è $\left(\frac12 + \frac12e^t\right)^{50}$; per l'indipendenza la f.g.m. della somma è il prodotto, $$M_Y(t) = M_{X_A}(t)\,M_{X_B}(t) = \left(\tfrac12 + \tfrac12e^t\right)^{50}\left(\tfrac12 + \tfrac12e^t\right)^{50} = \left(\tfrac12 + \tfrac12e^t\right)^{100},$$ che è la f.g.m. di $\text{Bin}(100, \frac12)$; per il teorema di unicità $Y$ ha quella legge.

$$\boxed{X_A, X_B \sim \text{Bin}\left(50, \tfrac12\right), \qquad Y \sim \text{Bin}\left(100, \tfrac12\right), \quad P(Y = n) = \binom{100}{n}\frac{1}{2^{100}}, \ n = 0, \dots, 100}$$

(b) $P(Y \le 47)$ con l'approssimazione normale

Perché si può approssimare

Il calcolo esatto richiede $\sum_{n=0}^{47}\binom{100}{n}\frac1{2^{100}}$: 48 termini con coefficienti enormi. Ma $Y$ è somma di 100 Bernoulli indipendenti, e per il teorema del limite centraleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale → (teorema di De Moivre-Laplace) ha legge approssimativamente gaussiana con la stessa media e varianza. Le condizioni pratiche $np = 50 \ge 5$ e $n(1 - p) = 50 \ge 5$ sono ampiamente soddisfatte.

Media e varianza

$$E[Y] = np = 100\cdot\tfrac12 = 50, \qquad \text{Var}(Y) = np(1 - p) = 100\cdot\tfrac12\cdot\tfrac12 = 25, \qquad \sigma_Y = 5.$$

Sono le formule della binomiale; si ritrovano anche vedendo $Y$ come somma di 100 Bernoulli indipendenti, ognuna con media $\frac12$ e varianza $\frac12 \cdot \frac12 = \frac14$: le medie si sommano sempre (linearitàIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →), le varianze si sommano perché i lanci sono indipendenti (Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →). La deviazione standard è $\sqrt{25} = 5$.

Standardizzazione

Con $Z \sim N(0, 1)$:

$$P(Y \le 47) = P\left(\frac{Y - 50}{5} \le \frac{47 - 50}{5}\right) \approx P(Z \le -0{,}6) = \Phi(-0{,}6) = 1 - \Phi(0{,}6).$$

Il primo passaggio sottrae $50$ e divide per $5$ i due membri della disuguaglianza: l'evento non cambia, perché dividere per un numero positivo non cambia il verso. Il secondo ($\approx$) è il TLC: $\frac{Y - 50}{5}$ è la somma standardizzata, che ha legge circa $N(0, 1)$. L'ultimo passaggio usa la simmetria $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →): la densità gaussiana è pari, quindi l'area a sinistra di $-z$ è uguale all'area a destra di $z$, che è $1 - \Phi(z)$. Le tavole danno solo $z \ge 0$, per questo si passa a $\Phi(0{,}6)$.

$$\boxed{P(Y \le 47) \approx 1 - \Phi(0{,}6) \approx 1 - 0{,}7257 = 0{,}274}$$

Con la correzione di continuità

$Y$ è a valori interi: $\{Y \le 47\} = \{Y < 48\}$. Senza correzione, la gaussiana darebbe a questi due eventi probabilità diverse ($\Phi(-0{,}6)$ contro $\Phi(-0{,}4)$). La correzione di continuità taglia a metà strada, in $47{,}5$ (ogni intero $j$ "occupa" l'intervallo $[j - 0{,}5, j + 0{,}5]$):

$$P(Y \le 47) = P(Y \le 47{,}5) \approx P\left(Z \le \frac{47{,}5 - 50}{5}\right) = \Phi(-0{,}5) = 1 - \Phi(0{,}5).$$

$$\boxed{P(Y \le 47) \approx 1 - \Phi(0{,}5) \approx 1 - 0{,}6915 = 0{,}309}$$

Confronto con il valore esatto

Il valore esatto si calcola al computer sommando i 48 termini:

from math import comb
esatto = sum(comb(100, k) for k in range(48)) / 2**100   # k = 0, ..., 47
print(round(esatto, 4))   # 0.3086

Con la correzione di continuità l'errore è di un decimillesimo; senza, di circa $0{,}03$. La soluzione ufficiale accetta entrambe le risposte, ma la seconda è molto migliore: conviene usarla sempre con v.a. a valori interi.

Plausibilità. $47$ è sotto la media $50$ di poco più di mezza deviazione standard: la probabilità deve essere un po' meno di $\frac12$. Infatti la probabilità di "al più 50" sarebbe circa $\frac12$ (un po' di più, per il peso del valore $50$ stesso, $P(Y = 50) = \binom{100}{50}\frac{1}{2^{100}} \approx 0{,}08$). Più precisamente, $P(Y \le 50) = \frac12 + \frac12P(Y = 50) \approx 0{,}540$, perché per simmetria $P(Y \le 49) = P(Y \ge 51)$.

Errori comuni

• $Y \sim \text{Bin}(50, 1)$ o $\text{Bin}(50, \frac12)\cdot 2$: la somma di due binomiali indipendenti con lo stesso $p$ somma i numeri di prove, non le probabilità.
• Standardizzare dividendo per la varianza $25$ invece che per $\sigma = 5$.
• Correzione di continuità nel verso sbagliato: per $P(Y \le 47)$ si usa $47{,}5$, non $46{,}5$.
• Scrivere $\Phi(-0{,}6) = -\Phi(0{,}6)$.