Esercizio 16due esponenziali indipendenti, quadrato e somma

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Dati

Dalle Distribuzioni uniforme continua ed esponenzialeU(a, b) ha densità costante 1/(b − a) su [a, b], media (a + b)/2 e varianza (b − a)²/12; Exp(λ) ha densità λe^(−λx) per x ≥ 0, FdD 1 − e^(−λx), P(X > t) = e^(−λt), media 1/λ, varianza 1/λ², ed è l'unica legge continua senza memoria (versione continua della geometrica).Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale →, con $\lambda = 2$:

$$f_X(x) = 2e^{-2x}\,\mathbb 1_{[0,\infty)}(x), \qquad F_X(x) = 1 - e^{-2x} \ \ (x \ge 0).$$

Stessa densità per $Y$.

(a) Densità congiunta

Per v.a. indipendenti a.c. la densità congiunta è il prodotto delle marginali (Vettori aleatori assolutamente continuiUn vettore (X, Y) è assolutamente continuo se P((X, Y) ∈ A) = ∬_A f(x, y) dx dy per una densità congiunta f ≥ 0 con integrale 1; le marginali si ottengono integrando sull'altra variabile (f_X(x) = ∫ f(x, y) dy), X e Y sono indipendenti se f(x, y) = f_X(x) f_Y(y), e E[g(X, Y)] = ∬ g f. Il punto delicato degli esercizi è descrivere bene la regione dove f > 0.Vettori aleatori assolutamente continui →):

$$f_{X,Y}(x, y) = f_X(x)\,f_Y(y) = 2e^{-2x}\cdot 2e^{-2y} = 4e^{-2(x + y)} \quad \text{se } x \ge 0 \text{ e } y \ge 0,$$

e $0$ altrove (basta che una delle due coordinate sia negativa perché uno dei fattori si annulli).

$$\boxed{f_{X,Y}(x, y) = 4e^{-2(x + y)}\,\mathbb 1_{\{x \ge 0,\ y \ge 0\}}}$$

Il supporto è il primo quadrante chiuso. Controllo: $\int_0^\infty\int_0^\infty 4e^{-2x}e^{-2y}dx\,dy = \left(\int_0^\infty 2e^{-2x}dx\right)^2 = 1$ ✓. L'integrale doppio di un prodotto $g(x)h(y)$ su un "rettangolo" (qui il quadrante $[0, \infty) \times [0, \infty)$) è il prodotto dei due integrali (Integrali doppi e teorema di FubiniL'integrale doppio di f su un rettangolo si definisce con somme inferiori e superiori su partizioni in rettangolini (per f ≥ 0 è il volume sotto il grafico); su un dominio limitato D si estende f con 0 fuori da D. Area(D) = ∬D 1. Per f continua su un dominio y-semplice {a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} vale Fubini: ∬D f = ∫ab (∫g1(x)g2(x) f dy) dx, e simmetricamente per i domini x-semplici; scambiare l'ordine può rendere calcolabile l'integrale.Integrali doppi e teorema di Fubini →), e $\int_0^\infty 2e^{-2x} dx = \lim_{M \to \infty}\big[-e^{-2x}\big]_0^M = \lim_{M \to \infty}(1 - e^{-2M}) = 1$ è un integrale improprioL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri → convergente.

(b) Densità di $W = X^2$

Valori di $W$

$X \ge 0$, quindi $W = X^2 \ge 0$, e $W$ può assumere ogni valore $\ge 0$.

Funzione di distribuzione

Metodo della FdD (Funzioni di una variabile aleatoriaPer trovare la legge di Y = g(X) si calcola la FdD: F_Y(y) = P(g(X) ≤ y) = P(X ∈ g⁻¹((−∞, y])), poi si deriva; se g è strettamente monotona e derivabile vale la formula f_Y(y) = f_X(g⁻¹(y)) · |(g⁻¹)'(y)|; se g è costante a tratti Y è discreta; se g non è iniettiva (es. X²) si spezza l'evento.Funzioni di una variabile aleatoria →):

• $w < 0$: $F_W(w) = P(X^2 \le w) = 0$, perché un quadrato non è mai negativo.
• $w \ge 0$: $X^2 \le w \iff |X| \le \sqrt w \iff -\sqrt w \le X \le \sqrt w$ (si prende la radice di entrambi i membri, che sono $\ge 0$, e $\sqrt{X^2} = |X|$; poi la disequazione col valore assolutoIl valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) → $|X| \le a$ equivale a $-a \le X \le a$). Poiché $X \ge 0$, questo è $0 \le X \le \sqrt w$: $$F_W(w) = P(X \le \sqrt w) = F_X(\sqrt w) = 1 - e^{-2\sqrt w}.$$

Equivalentemente $F_W(w) = \int_0^{\sqrt w} 2e^{-2t}dt$, come nella soluzione ufficiale.

$$F_W(w) = \left(1 - e^{-2\sqrt w}\right)\mathbb 1_{(0,\infty)}(w).$$

Densità

$F_W$ è continua (in $0$ vale $0$ da entrambi i lati: $1 - e^{0} = 0$) e derivabile per $w > 0$. Derivando con la regola della catena (Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →): la funzione esterna è $1 - e^{-2t}$, con derivata $2e^{-2t}$, calcolata in $t = \sqrt w$ e moltiplicata per la derivata della funzione interna, $\frac{d}{dw}\sqrt w = \frac{1}{2\sqrt w}$:

$$f_W(w) = 2e^{-2\sqrt w}\cdot\frac{1}{2\sqrt w} = \frac{e^{-2\sqrt w}}{\sqrt w}, \qquad w > 0.$$

In $w = 0$ la derivata non esiste (la densità tende a $+\infty$), ma il valore in un solo punto non conta: si può porre $f_W(0) = 0$.

$$\boxed{f_W(w) = \frac{1}{\sqrt w}e^{-2\sqrt w}\,\mathbb 1_{(0,\infty)}(w)}$$

Osservazioni.

• Vicino a $0$ la densità esplode (va come $\frac{1}{\sqrt w}$, perché $e^{-2\sqrt w} \to 1$), ma resta integrabile: $\int_0^1 \frac{dw}{\sqrt w} = \lim_{\varepsilon \to 0^+}\big[2\sqrt w\big]_\varepsilon^1 = 2$, un integrale improprioL'integrale improprio (o in senso generalizzato) estende l'integrale definito a intervalli illimitati, ∫ da a a +∞ = lim per x→+∞ di ∫ da a a x, e a funzioni illimitate vicino a un estremo, ∫ da a a b = lim per x→a⁺ di ∫ da x a b. Se il limite è finito l'integrale converge, se è ±∞ diverge, se non esiste f non è integrabile in senso generalizzato. Si calcola con primitiva, integrale definito e poi limite. Per f ≥ 0 valgono il confronto e il confronto asintotico con le funzioni test 1/x^α: a +∞ convergono per α > 1, vicino a 0 per α < 1.Integrali impropri → convergente (le potenze $\frac{1}{w^a}$ sono integrabili vicino a $0$ quando $a < 1$, Criteri di convergenza per gli integrali impropriPer f ≥ 0 l'integrale improprio esiste sempre (finito o +∞); valgono il confronto e il confronto asintotico, basta che le ipotesi valgano vicino all'estremo problematico. Funzioni test: 1/x^α converge a +∞ per α > 1 e vicino a 0 per α < 1; 1/(x^α log^β x) aggiunge il caso α = 1, β > 1. Se f → L ≠ 0 a +∞ l'integrale diverge. Criterio dell'integrale: per f decrescente, la serie di f(n) e l'integrale da 1 a +∞ hanno lo stesso carattere.Criteri di convergenza per gli integrali impropri →). Ha senso: l'esponenziale ha molta probabilità vicino a $0$, e il quadrato "comprime" i valori piccoli (es. $[0; 0{,}1]$ diventa $[0; 0{,}01]$), quindi concentra la probabilità vicino a $0$.
• "Eventualmente generalizzata" nel testo prevede la possibilità che $W$ abbia una parte discreta (delta di Dirac). Qui non serve: $F_W$ non ha salti, quindi $W$ è assolutamente continua.
• Controllo con la formula per $g$ monotona (su $[0, \infty)$ il quadrato è crescente), $h(w) = \sqrt w$ la sua inversaIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →: $f_W(w) = f_X(\sqrt w)\cdot|h'(w)| = 2e^{-2\sqrt w}\cdot\frac{1}{2\sqrt w}$ ✓.
• Controllo della normalizzazione: con la sostituzione $t = \sqrt w$ ($w = t^2$, $dw = 2t \, dt$, estremi $0 \to 0$ e $\infty \to \infty$) si ha $\int_0^\infty \frac{e^{-2\sqrt w}}{\sqrt w} dw = \int_0^\infty \frac{e^{-2t}}{t} 2t \, dt = \int_0^\infty 2e^{-2t} dt = 1$ ✓ (Integrazione per sostituzioneSe nell'integranda c'è g(f(x))·f'(x), la sostituzione y = f(x), dy = f'(x)dx trasforma l'integrale in ∫g(y)dy = G(y) + k, poi si torna a x: G(f(x)) + k. Negli integrali definiti cambiano anche gli estremi (da c, d a f(c), f(d)). Si può usare anche al contrario, con x = f⁻¹(y). È il primo metodo a cui pensare; dà la tabella degli integrali "immediati per sostituzione".Integrazione per sostituzione →).

(c) Densità di $Z = X + Y$

$X$ e $Y$ sono indipendenti, quindi si usa la convoluzione (Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →):

$$f_Z(z) = \int_{\mathbb R} f_X(z - y)\,f_Y(y)\,dy.$$

Estremi di integrazione

L'integranda è non nulla solo se entrambi i fattori lo sono:

• $f_Y(y) \ne 0 \iff y \ge 0$;
• $f_X(z - y) \ne 0 \iff z - y \ge 0 \iff y \le z$.

Quindi $y \in [0, z]$. Se $z < 0$ l'intervallo è vuoto e $f_Z(z) = 0$ (la somma di due v.a. positive è positiva).

Calcolo per $z \ge 0$

$$f_Z(z) = \int_0^z 2e^{-2(z - y)}\cdot 2e^{-2y}\,dy = 4\int_0^z e^{-2z + 2y - 2y}\,dy = 4e^{-2z}\int_0^z dy = 4z\,e^{-2z}.$$

Gli esponenti si combinano in $-2z$, che non dipende dalla variabile di integrazione $y$: si porta fuori e resta l'integrale di $1$ su un intervallo di lunghezza $z$.

$$\boxed{f_Z(z) = 4z\,e^{-2z}\,\mathbb 1_{(0,\infty)}(z)}$$

Riconoscimento. È la densità della Distribuzione gammaΓ(α, λ) ha densità λ^α x^(α−1) e^(−λx) / Γ(α) per x > 0, dove Γ(α) = ∫ x^(α−1) e^(−x) dx è la funzione Gamma (Γ(n) = (n − 1)!, Γ(1/2) = √π); media α/λ, varianza α/λ²; Γ(1, λ) = Exp(λ), e la somma di n esponenziali Exp(λ) indipendenti è Γ(n, λ), il tempo d'attesa dell'n-esimo evento.Distribuzione gamma → $\Gamma(2, 2)$: $\frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}z^{\alpha - 1}e^{-\lambda z}$ con $\alpha = \lambda = 2$ dà $\frac{4}{1!}z\,e^{-2z}$ ✓. In generale $\text{Exp}(\lambda) + \text{Exp}(\lambda) = \Gamma(2, \lambda)$: il tempo d'attesa del secondo evento.

Controlli.

• Normalizzazione: $\int_0^\infty 4z e^{-2z}dz = 4\cdot\frac{1!}{2^2} = 1$ ✓ (formula $\int_0^\infty z^n e^{-\lambda z}dz = \frac{n!}{\lambda^{n+1}}$). La formula si ottiene per parti∫ f·g' dx = f·g − ∫ f'·g dx (regola del prodotto letta al contrario). Si usa per log x, arcsin x, arctan x (scritti come "funzione per 1"), per sin²x, cos²x, sinh²x, cosh²x (integrale circolare: l'integrale di partenza ricompare e si porta a sinistra) e per prodotti come x^n·e^(αx), x^n·sin(βx), e^(αx)·sin(βx).Integrazione per parti →: derivando $z^n$ e integrando $e^{-\lambda z}$, $\int_0^\infty z^n e^{-\lambda z} dz = \big[-\frac{z^n e^{-\lambda z}}{\lambda}\big]_0^\infty + \frac n\lambda \int_0^\infty z^{n-1} e^{-\lambda z} dz$; il termine di bordo è $0$ (in $0$ per il fattore $z^n$, all'infinito perché l'esponenziale batte la potenza, Limiti notevoli e gerarchia degli infinitiI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti →), e ripetendo $n$ volte si arriva a $\frac{n!}{\lambda^n}\int_0^\infty e^{-\lambda z} dz = \frac{n!}{\lambda^{n+1}}$.
• Media: $E[Z] = E[X] + E[Y] = \frac12 + \frac12 = 1$ (media di $\text{Exp}(\lambda)$: $\frac1\lambda$), e $\int_0^\infty z\cdot 4ze^{-2z}dz = 4\cdot\frac{2!}{2^3} = 4\cdot\frac{2}{8} = 1$ ✓.
• $f_Z(0) = 0$: è difficile che la somma sia vicina a $0$, perché servirebbero entrambe piccole. Diversamente dall'esponenziale, la densità parte da $0$, sale e poi scende (massimo in $z = \frac12$). Il massimo: $f_Z'(z) = 4e^{-2z} + 4z \cdot (-2)e^{-2z} = 4e^{-2z}(1 - 2z)$ (derivata del prodottoDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →), positiva per $z < \frac12$ e negativa dopo, quindi $z = \frac12$ è il punto di massimo, dove $f_Z\left(\frac12\right) = 2e^{-1} \approx 0{,}736$.

Errori comuni

• (a) Dimenticare il supporto: la formula $4e^{-2(x + y)}$ vale solo nel primo quadrante.
• (b) Scrivere $F_W(w) = F_X(\sqrt w) - F_X(-\sqrt w)$ e poi usare $1 - e^{2\sqrt w}$ per $F_X(-\sqrt w)$: per argomento negativo $F_X$ vale $0$.
• (b) Dimenticare il fattore $\frac{1}{2\sqrt w}$ nella derivata.
• (c) Moltiplicare le densità, $f_Z(z) = f_X(z)f_Y(z) = 4e^{-4z}$: è sbagliato, serve la convoluzione.
• (c) Integrare su $[0, \infty)$ invece che su $[0, z]$, dimenticando il vincolo $z - y \ge 0$.