Bernoulli, binomiale e uniforme discreta

Casi notevoli del punto 2 del programma. Prerequisiti: Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →, Prove ripetute e modello binomialen prove indipendenti, ciascuna con probabilità di successo p: una sequenza con k successi ha probabilità p^k (1−p)^(n−k), e la probabilità di esattamente k successi è (n su k) p^k (1−p)^(n−k) (modello binomiale); il primo successo alla prova k ha probabilità (1−p)^(k−1) p.Prove ripetute e modello binomiale →, Calcolo combinatorio per la probabilitàNegli spazi uniformi bisogna contare: principio di moltiplicazione, disposizioni con ripetizione n^k, disposizioni semplici n!/(n−k)!, permutazioni n!, combinazioni (n su k); estrazioni con e senza reinserimento e distribuzione ipergeometrica.Calcolo combinatorio per la probabilità →. Media e varianza sono definite in Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso → e Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →; qui si calcolano per queste leggi.

Distribuzione di Bernoulli

Situazione. Un solo esperimento con due esiti: "successo" (testa, pezzo difettoso, pallina nera…) con probabilità $p$ e "insuccesso" con probabilità $1 - p$. Si pone $X = 1$ se c'è successo e $X = 0$ altrimenti.

Definizione (distribuzione di Bernoulli). $X \sim \text{Be}(p)$, con $p \in [0, 1]$, se $X$ ha alfabeto $\{0, 1\}$ e $$p_X(1) = p, \qquad p_X(0) = 1 - p.$$

Esempio. Lancio di una moneta equa (testa $= 1$): $X \sim \text{Be}(\frac{1}{2})$, con $P(X = 1) = P(X = 0) = \frac{1}{2}$.

Indicatrice di un evento. Per ogni evento $A$, la v.a. $\mathbb 1_A(\omega) = 1$ se $\omega \in A$ e $0$ altrimenti è una Bernoulli di parametro $P(A)$. Ogni Bernoulli è di questo tipo (con $A = \{X = 1\}$): "Bernoulli" e "indicatrice di un evento" sono la stessa cosa.

Media e varianza.

$$E[X] = 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p, \qquad E[X^2] = 0^2 (1 - p) + 1^2 p = p \ \ (\text{perché } X^2 = X),$$

$$\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2 = p - p^2 = p(1 - p).$$

Ogni media è "valore per probabilità, sommato su tutti i valori" (Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →); $X^2 = X$ perché i soli valori sono $0$ e $1$, e $0^2 = 0$, $1^2 = 1$. La varianza usa la formula $\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$ di Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →.

La varianza è massima per $p = \frac12$ (vale $\frac14$) e nulla per $p = 0$ o $p = 1$, quando l'esito è certo: torna con l'idea che la varianza misura l'incertezza. Perché il massimo è in $\frac12$: $f(p) = p - p^2$ è una parabola rivolta verso il basso; la derivataDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione → $f'(p) = 1 - 2p$ si annulla in $p = \frac12$, è positiva prima e negativa dopo, quindi lì c'è il massimo, $f(\frac12) = \frac12 - \frac14 = \frac14$.

Distribuzione binomiale

Situazione. Si ripete $n$ volte, in modo indipendente, lo stesso esperimento con probabilità di successo $p$ (prove ripetute indipendentin prove, ognuna con due esiti, con la stessa probabilità p di successo e con esiti indipendenti tra loro.Prove ripetute e modello binomiale →). $X =$ numero di successi nelle $n$ prove.

Definizione (distribuzione binomiale). $X \sim \text{Bin}(n, p)$, con $n \in \mathbb N^*$ e $p \in [0, 1]$, se $X$ ha alfabeto $\{0, 1, \dots, n\}$ e $$p_X(k) = \binom nk p^k (1 - p)^{n - k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n.$$

Esempio. $X \sim \text{Bin}(3, \frac{1}{2})$: $P(X = 2) = \binom{3}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$. Qui $p^k (1 - p)^{n - k} = \left(\frac12\right)^2 \left(\frac12\right)^1 = \frac18$ e $\binom32 = 3$ conta le sequenze $SSF$, $SFS$, $FSS$.

Il numero $\binom nk = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ è il coefficiente binomialeFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali →.

Da dove viene la formula

Si codifica l'esito delle $n$ prove come una sequenza di $S$ (successo) e $F$ (fallimento), ad esempio $SSFSF$ per $n = 5$.

1. Probabilità di una sequenza fissata con $k$ successi. Per l'indipendenza le probabilità si moltiplicano: ogni $S$ porta un fattore $p$, ogni $F$ un fattore $1 - p$. Con $k$ successi e $n - k$ fallimenti la sequenza ha probabilità $p^k (1 - p)^{n - k}$, qualunque sia l'ordine in cui compaiono.
2. Quante sono le sequenze con $k$ successi. Bisogna scegliere quali $k$ delle $n$ posizioni contengono $S$: sono $\binom nk$ (combinazioni, vedi Calcolo combinatorio per la probabilitàNegli spazi uniformi bisogna contare: principio di moltiplicazione, disposizioni con ripetizione n^k, disposizioni semplici n!/(n−k)!, permutazioni n!, combinazioni (n su k); estrazioni con e senza reinserimento e distribuzione ipergeometrica.Calcolo combinatorio per la probabilità →).
3. Gli eventi "esce proprio questa sequenza" sono disgiunti, quindi si sommano $\binom nk$ termini uguali: $P(X = k) = \binom nk p^k (1 - p)^{n - k}$.

Controllo che la somma fa 1. Per il binomio di Newton(a + b)^n è uguale alla somma, per k da 0 a n, di C(n,k) a^k b^(n−k).Binomio di Newton → con $a = p$ e $b = 1 - p$:

$$\sum_{k = 0}^n \binom nk p^k (1 - p)^{n - k} = (p + (1 - p))^n = 1^n = 1. \ ✓$$

Esempio (lezione 3): 42 teste su 100 lanci. Con $X \sim \text{Bin}(100, \frac12)$:

$$P(X = 42) = \binom{100}{42} \frac{1}{2^{42}} \cdot \frac{1}{2^{58}} = \frac{\binom{100}{42}}{2^{100}} \approx 0{,}0223.$$

I due fattori sono $p^{42} = \left(\frac12\right)^{42}$ (le 42 teste) e $(1 - p)^{58} = \left(\frac12\right)^{58}$ (le $100 - 42 = 58$ croci); con le potenze di base uguale gli esponenti si sommano, $2^{42} \cdot 2^{58} = 2^{100}$. Il numero $\binom{100}{42} \approx 2{,}83 \times 10^{28}$ non si calcola a mano: basta lasciarlo indicato, o usare una calcolatrice.

Con $p = \frac12$ tutte le sequenze hanno la stessa probabilità $2^{-100}$ e si ritrova la formula "casi favorevoli su casi possibili" dello spazio uniformeIn uno spazio discreto la probabilità è determinata dalla densità discreta p(ω) = P({ω}), con somma 1, e P(A) è la somma di p(ω) sugli esiti di A; negli spazi uniformi (esiti equiprobabili) P(A) = |A| / |Ω|, casi favorevoli su casi possibili.Spazi di probabilità discreti e uniformi →.

Grafici

La forma a campana del secondo grafico non è un caso: è il Teorema del limite centrale e approssimazione normaleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →.

Media e varianza

Proprietà (media e varianza della binomiale). Se $X \sim \text{Bin}(n, p)$: $\quad E[X] = np, \qquad \text{Var}(X) = np(1 - p).$

Esempio. $X \sim \text{Bin}(100, \frac{1}{2})$: $E[X] = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50$ e $\text{Var}(X) = 100 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 25$.

Dimostrazione veloce (somma di Bernoulli). Sia $X_i = 1$ se la prova $i$ è un successo, $0$ altrimenti: $X_i \sim \text{Be}(p)$ e il numero di successi è $X = X_1 + \dots + X_n$. Per la linearità del valore attesoLa media di una somma è la somma delle medie, anche senza indipendenza.Valore atteso → $E[X] = \sum_i E[X_i] = np$. Le $X_i$ sono indipendenti, e per v.a. indipendenti la varianza della somma è la somma delle varianze (Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →): $\text{Var}(X) = \sum_i p(1 - p) = np(1 - p)$.

Dimostrazione diretta della media (utile come allenamento con le SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie →). Per definizione $E[X] = \sum_{k=0}^n k \, p_X(k)$. Il termine $k = 0$ vale zero; per $k \ge 1$ si usa $k \binom nk = n \binom{n - 1}{k - 1}$ (perché $k \cdot \frac{n!}{k!(n - k)!} = n \cdot \frac{(n - 1)!}{(k - 1)!(n - k)!}$).

Perché l'identità. $\frac{k}{k!} = \frac{1}{(k - 1)!}$ (si semplifica l'ultimo fattore di $k! = (k - 1)! \cdot k$) e $n! = n \cdot (n - 1)!$; inoltre $n - k = (n - 1) - (k - 1)$, quindi a destra c'è proprio $n \binom{n - 1}{k - 1}$. Allora:

$$E[X] = \sum_{k = 1}^n n \binom{n - 1}{k - 1} p^k (1 - p)^{n - k} = np \sum_{j = 0}^{n - 1} \binom{n - 1}{j} p^j (1 - p)^{n - 1 - j} = np \cdot 1,$$

dove si è posto $j = k - 1$ e l'ultima somma è la somma della densità di $\text{Bin}(n - 1, p)$, cioè $1$. Nel secondo passaggio si porta fuori dalla somma la costante $n$ e un fattore $p$, scrivendo $p^k = p \cdot p^{k-1} = p \cdot p^j$; l'esponente di $1 - p$ diventa $n - k = n - 1 - j$; quando $k$ va da $1$ a $n$, $j = k - 1$ va da $0$ a $n - 1$ (cambio di indice nella sommatoria).

Varianza diretta. Con lo stesso trucco applicato due volte, $k(k - 1)\binom nk = n(n - 1)\binom{n - 2}{k - 2}$ (per $k \ge 2$; i termini $k = 0, 1$ valgono zero per il fattore $k(k - 1)$). Raccogliendo $n(n - 1)p^2$ e ponendo $j = k - 2$:

$$E[X(X - 1)] = \sum_{k=2}^n k(k-1)\binom nk p^k (1-p)^{n-k} = n(n-1)p^2 \sum_{j=0}^{n-2} \binom{n-2}{j} p^j (1-p)^{n-2-j} = n(n - 1)p^2,$$

perché l'ultima somma è quella della densità di $\text{Bin}(n - 2, p)$. Poi $X^2 = X(X - 1) + X$, e per linearità $E[X^2] = E[X(X - 1)] + E[X]$. Allora

$$E[X^2] = E[X(X - 1)] + E[X] = n(n - 1)p^2 + np, \qquad \text{Var}(X) = n(n-1)p^2 + np - n^2p^2 = np - np^2 = np(1 - p).$$

Nell'ultimo passaggio $n(n - 1)p^2 - n^2 p^2 = (n^2 - n - n^2) p^2 = -np^2$. Si calcola $E[X(X - 1)]$ invece di $E[X^2]$ perché il fattore $k(k - 1)$ si semplifica con $k!$, mentre $k^2$ no.

Esempio d'esame: la vincita all'urna

(I parziale 17.11.2025, esercizio 3.) $Y \sim \text{Bin}(2, \frac47)$ numero di nere in 2 estrazioni con reinserimento: $E[Y] = 2 \cdot \frac47 = \frac87$, $\text{Var}(Y) = 2 \cdot \frac47 \cdot \frac37 = \frac{24}{49}$. La vincita $X = 3Y - 2$ ha quindi $E[X] = 3 \cdot \frac87 - 2 = \frac{24 - 14}{7} = \frac{10}{7}$ e $\text{Var}(X) = 9 \cdot \frac{24}{49} = \frac{216}{49}$ (proprietà in Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso → e Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →): la media di $aY + b$ è $aE[Y] + b$, mentre nella varianza la costante $b = -2$ sparisce (sposta i valori senza disperderli) e il fattore $a = 3$ esce al quadrato, $3^2 = 9$.

Perché binomiale e non altro. Servono tre ingredienti: numero di prove fissato ($n = 2$), prove indipendenti con la stessa probabilità di successo (garantito dal reinserimento: l'urna torna sempre uguale). Senza reinserimento la seconda estrazione dipenderebbe dalla prima e la legge sarebbe ipergeometrica, non binomiale (Calcolo combinatorio per la probabilitàNegli spazi uniformi bisogna contare: principio di moltiplicazione, disposizioni con ripetizione n^k, disposizioni semplici n!/(n−k)!, permutazioni n!, combinazioni (n su k); estrazioni con e senza reinserimento e distribuzione ipergeometrica.Calcolo combinatorio per la probabilità →).

Somma di binomiali indipendenti

Se $X \sim \text{Bin}(n, p)$ e $Y \sim \text{Bin}(m, p)$ sono indipendenti con lo stesso $p$, allora $X + Y \sim \text{Bin}(n + m, p)$: contare i successi in $n$ prove e poi in altre $m$ prove indipendenti è come contarli in $n + m$ prove. È il ragionamento del I appello 15.01.2026 (due monete eque lanciate 50 volte ciascuna: il totale di teste è $\text{Bin}(100, \frac12)$). Dettagli in Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti →.

Distribuzione uniforme discreta

Situazione. $n$ valori possibili, tutti con la stessa probabilità, per simmetria: la faccia di un dado equo, il numero di una pallina estratta da un'urna con palline numerate.

Definizione (uniforme discreta). $X$ è uniforme discreta su $\{x_1, \dots, x_n\}$ (valori distinti) se $p_X(x_i) = \frac1n$ per ogni $i$.

Esempio. Dado equo: $X$ è uniforme su $\{1, \dots, 6\}$, con $E[X] = \frac{n+1}{2} = \frac{7}{2}$ e $\text{Var}(X) = \frac{n^2 - 1}{12} = \frac{35}{12}$.

È la v.a. che corrisponde agli Spazi di probabilità discreti e uniformiIn uno spazio discreto la probabilità è determinata dalla densità discreta p(ω) = P({ω}), con somma 1, e P(A) è la somma di p(ω) sugli esiti di A; negli spazi uniformi (esiti equiprobabili) P(A) = |A| / |Ω|, casi favorevoli su casi possibili.Spazi di probabilità discreti e uniformi →: $P(X \in B) = \frac{\#(B \cap \{x_1, \dots, x_n\})}{n}$.

Caso $\{1, 2, \dots, n\}$. Usando $\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n + 1)}{2}$ (somma di Gauss, vedi SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie →) e $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ (si dimostra per induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione →: per $n = 1$ entrambi i lati valgono $1$, e aggiungendo $(n + 1)^2$ alla formula per $n$ si ottiene quella per $n + 1$):

$$E[X] = \frac1n \sum_{k = 1}^n k = \frac{n + 1}{2}, \qquad E[X^2] = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6},$$

(ogni valore $k$ ha peso $\frac1n$, che esce dalla somma; poi $\frac1n \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$ e $\frac1n \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$)

$$\text{Var}(X) = \frac{(n + 1)(2n + 1)}{6} - \frac{(n + 1)^2}{4} = \frac{(n + 1)\big(2(2n + 1) - 3(n + 1)\big)}{12} = \frac{(n + 1)(n - 1)}{12} = \frac{n^2 - 1}{12}.$$

Passaggi: il denominatore comune di $6$ e $4$ è $12$, quindi il primo termine diventa $\frac{2(n+1)(2n+1)}{12}$ e il secondo $\frac{3(n+1)^2}{12}$; si raccoglie $(n + 1)$; nella parentesi $4n + 2 - 3n - 3 = n - 1$; infine $(n + 1)(n - 1) = n^2 - 1$ (differenza di quadrati).

Dado ($n = 6$): $E[X] = \frac72 = 3{,}5$ (un valore che il dado non assume mai: la media non deve essere un valore possibile) e $\text{Var}(X) = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$.

Tabella riassuntiva

Le altre leggi discrete del programma: Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica → e Distribuzione di PoissonPoi(λ) conta eventi rari: P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k! per k = 0, 1, 2, …, con media e varianza entrambe uguali a λ; approssima la binomiale Bin(n, p) quando n è grande e p piccolo, con λ = np.Distribuzione di Poisson →.

Errori comuni

• Dimenticare il coefficiente binomiale: $p^k(1 - p)^{n - k}$ è la probabilità di una sequenza, non di "$k$ successi in qualche ordine".
• Usare la binomiale senza indipendenza (estrazioni senza reinserimento) o con probabilità di successo che cambia da prova a prova.
• Confondere $n$ e $k$: $n$ è il numero di prove (fisso), $k$ è il valore della v.a. (varia da $0$ a $n$).
• Varianza della binomiale scritta come $np$: quella è la media; la varianza ha il fattore $(1 - p)$ in più.