Esercizio 24convergenze di Xn a valori 0 e n

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L'intuizione prima dei conti

$X_n$ vale quasi sempre $0$; con probabilità piccolissima ($\frac1{n^2}$) vale $n$, un numero grande. Al crescere di $n$ il valore "anomalo" diventa sempre più grande ma sempre più raro. Ci si aspetta che $X_n \to 0$ nei sensi che guardano quanto spesso si è lontani da $0$ (distribuzione, probabilità); per le medie bisogna vedere chi vince tra "più grande" e "più raro".

Metodo: lo schema in tre passi di Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →.

(a) Distribuzione e probabilità

Funzione di distribuzione di $X_n$

$X_n$ è discreta con due valori, $0$ e $n$: la FdDLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione → è a gradini, con un salto di $1 - \frac1{n^2}$ in $0$ e un salto di $\frac1{n^2}$ in $n$:

$$F_{X_n}(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 - \frac{1}{n^2} & 0 \le x < n \\ 1 & x \ge n. \end{cases}$$

Si ricava da $F_{X_n}(x) = P(X_n \le x)$ sommando le probabilità dei valori $\le x$: nessuno se $x < 0$; solo il valore $0$ se $0 \le x < n$; entrambi se $x \ge n$. I gradini sono continui a destra, come ogni FdD.

Limite per $n \to \infty$, con $x$ fissato

• $x < 0$: $F_{X_n}(x) = 0$ per ogni $n$, limite $0$.
• $x \ge 0$: appena $n > x$, il punto $x$ cade nel tratto centrale, quindi $F_{X_n}(x) = 1 - \frac1{n^2} \to 1$.

(Il punto chiave è che $x$ è fissato mentre $n$ cresce: prima o poi il secondo gradino, che sta in $n$, supera $x$ e "scappa via" a destra.)

$$\lim_{n\to\infty}F_{X_n}(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 1 & x \ge 0 \end{cases}$$

È la FdD della v.a. costante $X = 0$. Quindi

$$\boxed{X_n \xrightarrow{d} 0}$$

(Qui la convergenza vale anche nel punto di salto $x = 0$, ma non era necessario.)

Probabilità

La convergenza in distribuzione verso una costante implica la convergenza in probabilità verso la stessa costante (proprietà 5 in Convergenza di successioni di variabili aleatorieQuattro modi in cui X_n → X: quasi certa (P(X_n → X) = 1), in probabilità (P(|X_n − X| > ε) → 0 per ogni ε), in media p-esima (E|X_n − X|^p → 0), in distribuzione (F_(X_n)(x) → F_X(x) nei punti di continuità di F_X). Relazioni: q.c. ⇒ prob., L^p ⇒ prob. ⇒ distr., L² ⇒ L¹; in distribuzione verso una costante ⇔ in probabilità. Teorema di Lévy: convergenza in distribuzione ⇔ convergenza puntuale delle funzioni caratteristiche.Convergenza di successioni di variabili aleatorie →). Quindi

$$\boxed{X_n \xrightarrow{p} 0}$$

Verifica diretta. Per $\varepsilon > 0$ e $n > \varepsilon$, $|X_n| > \varepsilon$ succede solo quando $X_n = n$: $$P(|X_n - 0| > \varepsilon) = P(X_n = n) = \frac1{n^2} \to 0 \ ✓$$

(Il valore $0$ non supera mai $\varepsilon$, il valore $n$ lo supera appena $n > \varepsilon$. Per gli $n \le \varepsilon$ la probabilità è $0$, ma per il limite contano solo gli $n$ grandi.) Un'altra strada: per la disuguaglianza di MarkovMarkov: per X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a; Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε²; Jensen: per φ convessa, φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]. Stimano probabilità e medie conoscendo solo media e varianza.Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen → $P(|X_n| > \varepsilon) \le \frac{E[|X_n|]}{\varepsilon} = \frac{1}{n\varepsilon} \to 0$, usando la media calcolata in (b).

(b) Media e media seconda

Il candidato limite

Se $X_n$ convergesse in $L^1$ o in $L^2$ a qualche $X$, convergerebbe a $X$ anche in probabilità (per Markov: $P(|X_n - X| > \varepsilon) \le \frac{E[|X_n - X|^p]}{\varepsilon^p}$); ma il limite in probabilità è unico (quasi certamente) ed è $0$. Quindi l'unico limite possibile è $X = 0$: basta studiare $E[|X_n - 0|]$ ed $E[|X_n - 0|^2]$.

Momenti

$X_n \ge 0$, quindi $|X_n| = X_n$. Con il teorema fondamentale del valor medioLa media di g(X) è la somma di g(x) per la densità di X.Valore atteso → ($g(x) = |x|$ e $g(x) = x^2$), si somma ogni valore per la sua probabilità:

$$E[|X_n|] = 0\cdot\left(1 - \tfrac1{n^2}\right) + n\cdot\tfrac{1}{n^2} = \frac1n, \qquad E[|X_n|^2] = 0 + n^2\cdot\tfrac{1}{n^2} = 1.$$

Ad esempio per $n = 10$: $E[|X_{10}|] = 10 \cdot \frac{1}{100} = 0{,}1$ ed $E[X_{10}^2] = 100 \cdot \frac{1}{100} = 1$.

Conclusioni

$$\lim_{n\to\infty}E[|X_n - 0|] = \lim_{n\to\infty}\frac1n = 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_n \xrightarrow{L^1} 0}$$

$$\lim_{n\to\infty}E[|X_n - 0|^2] = 1 \ne 0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{X_n \text{ non converge a } 0 \text{ in } L^2}$$

e, per quanto detto sul candidato limite, $X_n$ non converge in $L^2$ a nessuna v.a.: se convergesse in $L^2$ a una $X$, convergerebbe a $X$ in probabilità, quindi $X = 0$, ma verso $0$ abbiamo appena visto che non converge.

Perché $L^1$ sì e $L^2$ no

Il contributo del valore anomalo al momento $p$-esimo è $n^p\cdot\frac{1}{n^2} = n^{p - 2}$:

Nella media il valore $n$ conta "una volta" e la probabilità $\frac{1}{n^2}$ vince; nella media seconda conta "al quadrato", $n^2$, e compensa esattamente la probabilità. Più alto è $p$, più le medie sono sensibili ai valori grandi e rari. È coerente con la relazione generale $L^2 \Rightarrow L^1$, non viceversa. (Il limite di $n^{p-2}$ è quello di una potenza: tende a $0$ se l'esponente è negativo, vale $1$ se è nullo, tende a $+\infty$ se è positivo; vedi Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →.)

Riepilogo

Errori comuni

• Calcolare il limite di $F_{X_n}(x)$ "in $x = n$": $x$ è fissato, non dipende da $n$.
• Cercare un limite in $L^2$ diverso da $0$: il limite deve essere quello in probabilità.
• Dedurre la convergenza in $L^2$ da quella in $L^1$: l'implicazione va nell'altro verso.