Misura di probabilità e sue proprietà

Lezioni 2 e 3. Prima: Sigma-algebre di eventiUna σ-algebra è una famiglia di eventi che contiene ∅ ed è chiusa per complementare e unioni numerabili; è la famiglia degli eventi a cui si assegna una probabilità. Nel caso discreto si prende tutto 𝒫(Ω).Sigma-algebre di eventi →. Dopo: Spazi di probabilità discreti e uniformiIn uno spazio discreto la probabilità è determinata dalla densità discreta p(ω) = P({ω}), con somma 1, e P(A) è la somma di p(ω) sugli esiti di A; negli spazi uniformi (esiti equiprobabili) P(A) = |A| / |Ω|, casi favorevoli su casi possibili.Spazi di probabilità discreti e uniformi →. Esercizio svolto: Esercizio 2 · eventi di probabilità 0 e 1.

Definizione (assiomi di Kolmogorov)

La probabilità è una "misura di fiducia" assegnata a ogni evento di $\mathcal{F}$.

Definizione (misura di probabilità, assiomi di Kolmogorov). Una misura di probabilità su $(\Omega, \mathcal{F})$ è una funzione $$\mathbb{P} : \mathcal{F} \to [0, 1], \qquad A \mapsto \mathbb{P}(A) \ \text{(probabilità dell'evento } A\text{)}$$ tale che:

1. $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ (normalizzazione);
2. se $(A_n)_{n \ge 1}$ sono eventi di $\mathcal{F}$ a due a due disgiunti ($A_i \cap A_j = \emptyset$ per $i \ne j$), allora $$\mathbb{P}\Big(\bigcup_{n \ge 1} A_n\Big) = \sum_{n \ge 1} \mathbb{P}(A_n) \qquad \text{(}\boldsymbol{\sigma}\textbf{-additività}\text{)}$$

Come si legge.

• $\mathbb{P}$ è definita solo sugli eventi di $\mathcal{F}$ (per questo serviva prima la σ-algebra) e prende valori tra $0$ e $1$.
• La normalizzazione dice che l'evento certo ha probabilità $1$ (il "100%").
• La σ-additività dice che per eventi incompatibili le probabilità si sommano, anche quando sono infiniti (numerabili). A destra c'è una serieΣ a_n è il limite, se esiste, delle somme parziali s_N = a_1 + ... + a_N.Serie numeriche →, che converge sempre: i termini sono $\ge 0$, quindi le somme parziali $s_N = \mathbb{P}(A_1) + \dots + \mathbb{P}(A_N)$ crescono con $N$, e una successione crescente ha sempre limite (Successioni limitate e monotoneOgni successione convergente è limitata (non viceversa); ogni successione monotona ha limite, uguale al sup se crescente e all'inf se decrescente.Successioni limitate e monotone →); il limite è finito perché, come si vedrà (monotonia, punto c), $s_N = \mathbb{P}(A_1 \cup \dots \cup A_N) \le 1$. È il criterio delle serie a termini non negativiUna serie a termini >= 0 converge o diverge a +infinito, mai irregolare. Criterio del confronto (0 <= a_k <= b_k), del confronto asintotico (a_k ~ L b_k) e suo corollario con le serie notevoli: si studia una serie paragonandola a 1/n^alpha o a q^n.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →.

Esempio. Dado equo: $\mathbb{P}(\{k\}) = \frac16$ per $k = 1, \dots, 6$. Gli eventi $\{2\}, \{4\}, \{6\}$ sono disgiunti, quindi $\mathbb{P}(\text{pari}) = \mathbb{P}(\{2\}) + \mathbb{P}(\{4\}) + \mathbb{P}(\{6\}) = \frac36 = \frac12$.

Proprietà fondamentali

Tutte le regole di calcolo seguono dai due assiomi. Ognuna ha una dimostrazione di una o due righe, ed è utile saperla rifare perché agli esami si chiede di dimostrare proprietà simili (I parziale, esercizio 1).

a) Probabilità del complementare

Proprietà (probabilità del complementare). $$\boxed{\mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A)}$$

Esempio. Dado equo: $\mathbb{P}(\text{non esce } 6) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Perché: $A$ e $A^c$ sono disgiunti e $A \cup A^c = \Omega$. Per normalizzazione e additività:

$$1 = \mathbb{P}(\Omega) = \mathbb{P}(A \cup A^c) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(A^c)$$

(l'additività per due eventi si ottiene dalla σ-additività completando con $A_3 = A_4 = \dots = \emptyset$, una volta noto che $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$: vedi b).

È la regola più usata: quando "$A$" è complicato (es. "almeno una testa in 10 lanci") ma "$A^c$" è semplice ("nessuna testa"), si calcola $\mathbb{P}(A^c)$ e si sottrae da $1$.

b) L'evento impossibile ha probabilità zero

$$\mathbb{P}(\emptyset) = 0$$

Perché: la successione $\emptyset, \emptyset, \emptyset, \dots$ è fatta di eventi disgiunti ($\emptyset \cap \emptyset = \emptyset$) con unione $\emptyset$, quindi per σ-additività $\mathbb{P}(\emptyset) = \sum_{n \ge 1} \mathbb{P}(\emptyset)$. Chiamato $c = \mathbb{P}(\emptyset) \ge 0$, le somme parziali della serie sono $s_N = N c$: se $c > 0$ tendono a $+\infty$ e la serie diverge, mentre a sinistra c'è il numero finito $c$. L'unico valore compatibile è $c = 0$ (e allora $0 = \sum 0$ ✓). Si noti che $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$ non è un assioma: si dimostra, ed è proprio quello che serve per passare dalla σ-additività all'additività finita in a). Controllo: da a) con $A = \Omega$ si ritrova $\mathbb{P}(\emptyset) = \mathbb{P}(\Omega^c) = 1 - 1 = 0$ (questo è solo un controllo e non una seconda dimostrazione, perché a) usa già b)).

Attenzione: il viceversa è falso. Un evento con probabilità $0$ non è necessariamente vuoto: nel caso continuo l'evento "il tempo di attesa è esattamente 3 minuti" è non vuoto ma ha probabilità $0$.

c) Monotonia

Proprietà (monotonia). $$\boxed{A \subseteq B \implies \mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)}$$

Esempio. Dado equo: $\{6\} \subseteq \{4,5,6\}$ e infatti $\mathbb{P}(\{6\}) = \frac{1}{6} \le \frac{3}{6} = \mathbb{P}(\{4,5,6\})$.

Perché: se $A \subseteq B$ si può scrivere $B$ come unione disgiunta di $A$ e di ciò che resta, $B \setminus A$:

$$B = A \cup (B \setminus A) \implies \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A) + \underbrace{\mathbb{P}(B \setminus A)}_{\ge 0} \ge \mathbb{P}(A)$$

Di passaggio si è ottenuta anche la formula $\mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A)$, valida solo se $A \subseteq B$. Se $A$ non è contenuto in $B$ vale invece $\mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$ (stessa dimostrazione con $A \cap B$ al posto di $A$).

A parole: se ogni volta che accade $A$ accade anche $B$, allora $B$ è almeno altrettanto probabile. In particolare $0 \le \mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(\Omega) = 1$ per ogni evento.

d) Probabilità dell'unione

Formula (probabilità dell'unione). $$\boxed{\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)} \qquad \text{per } A, B \text{ qualsiasi}$$

Perché: $A$ e $B$ in generale non sono disgiunti, quindi non si può sommare direttamente. Si spezza $A \cup B$ in pezzi disgiunti:

$$A \cup B = A \cup (B \setminus A) \quad \text{(disgiunti)} \implies \mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B \setminus A) \qquad (*)$$

Poi si spezza anche $B$: $B = (B \setminus A) \cup (A \cap B)$, disgiunti, quindi

$$\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(B \setminus A) + \mathbb{P}(A \cap B) \implies \mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$$

e sostituendo in $(*)$ si ottiene la formula.

Idea: sommando $\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$ la parte comune $A \cap B$ viene contata due volte; la si toglie una volta.

Due casi particolari importanti:

• se $A \cap B = \emptyset$: $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$ (additività);
• sempre: $\mathbb{P}(A \cup B) \le \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$ (subadditività), perché si toglie un numero $\mathbb{P}(A \cap B) \ge 0$.

Esempio. Dado equo, $A =$ "pari" $= \{2, 4, 6\}$, $B =$ "almeno 4" $= \{4, 5, 6\}$: $\mathbb{P}(A \cup B) = \frac36 + \frac36 - \frac26 = \frac46$. Controllo diretto: $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$ ha 4 esiti su 6 ✓.

Riepilogo

Due esercizi della lezione 3 usano proprio queste regole: se $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = 0$ allora $\mathbb{P}(A \cup B) = 0$, e se $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = 1$ allora $\mathbb{P}(A \cap B) = 1$: Esercizio 2 · eventi di probabilità 0 e 1.

Formula di inclusione-esclusione

La formula d) si generalizza a più eventi.

Tre eventi

$$\mathbb{P}(A \cup B \cup C) = \underbrace{\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(C)}_{\ell = 1} \;\underbrace{-\, \mathbb{P}(A \cap B) - \mathbb{P}(A \cap C) - \mathbb{P}(B \cap C)}_{\ell = 2} \;\underbrace{+\, \mathbb{P}(A \cap B \cap C)}_{\ell = 3}$$

Perché il segno $+$ alla fine. Si conti quante volte la formula conta ogni zona del diagramma di Venn:

• un esito che sta solo in $A$ è contato una volta (in $\mathbb{P}(A)$) ✓;
• un esito in $A \cap B$ ma non in $C$ è contato $2$ volte al passo $\ell = 1$ e tolto $1$ volta al passo $\ell = 2$: totale $1$ ✓;
• un esito in $A \cap B \cap C$ è contato $3$ volte al passo $\ell = 1$, tolto $3$ volte al passo $\ell = 2$ (sta in tutte e tre le intersezioni a due), quindi finora $0$: va rimesso una volta al passo $\ell = 3$ ✓.

$n$ eventi

Formula (inclusione-esclusione). $$\mathbb{P}\Big(\bigcup_{k=1}^n A_k\Big) = \sum_{\ell = 1}^{n} (-1)^{\ell - 1} \sum_{\substack{I \subseteq \{1, \dots, n\} \\ |I| = \ell}} \mathbb{P}\Big(\bigcap_{i \in I} A_i\Big)$$

Come si legge: per ogni $\ell = 1, 2, \dots, n$ si sommano le probabilità delle intersezioni di $\ell$ eventi scelti tra gli $n$ (una per ogni sottoinsieme $I$ di indici con $\ell$ elementi: sono $\binom{n}{\ell}$ termini) e si alternano i segni: $+$ per $\ell$ dispari, $-$ per $\ell$ pari. Con $n = 2$ si ritrova d), con $n = 3$ la formula sopra. Il numero $\binom{n}{\ell}$ di sottoinsiemi di $\ell$ indici è il coefficiente binomialeFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali →; le doppie somme si leggono come in SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie →.

Da dove viene per $n$ qualsiasi. Si dimostra per induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione → su $n$: supposta vera per $n - 1$ eventi, si applica d) ai due eventi $B = A_1 \cup \dots \cup A_{n-1}$ e $A_n$, $$\mathbb{P}(B \cup A_n) = \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(B \cap A_n), \qquad B \cap A_n = \bigcup_{k=1}^{n-1} (A_k \cap A_n),$$ e si usa l'ipotesi induttiva sia per $\mathbb{P}(B)$ sia per $\mathbb{P}(B \cap A_n)$ (che è di nuovo la probabilità di un'unione di $n - 1$ eventi, gli $A_k \cap A_n$). Il segno meno davanti a $\mathbb{P}(B \cap A_n)$ fa cambiare segno alle intersezioni che contengono $A_n$, e così si ricompone l'alternanza dei segni.

Esempio numerico. Si lancia un dado equo 3 volte; $A_k =$ "al lancio $k$ esce 6". Gli esiti sono le terne $(x_1, x_2, x_3)$ con $x_i \in \{1, \dots, 6\}$, in tutto $6^3 = 216$, tutte equiprobabili. Si contano i casi favorevoli:

• $A_1$: il primo lancio è fissato a 6, gli altri due sono liberi, $1 \cdot 6 \cdot 6 = 36$ terne, quindi $\mathbb{P}(A_k) = \frac{36}{216} = \frac16$ (stesso conto per ogni $k$);
• $A_1 \cap A_2$: due lanci fissati, uno libero, $6$ terne, quindi $\mathbb{P}(A_j \cap A_k) = \frac{6}{216} = \frac1{36}$; le coppie $\{j, k\}$ sono $\binom32 = 3$;
• $A_1 \cap A_2 \cap A_3$: solo la terna $(6,6,6)$, probabilità $\frac1{216}$.

Allora

$$\mathbb{P}(\text{almeno un } 6) = 3 \cdot \frac16 - 3 \cdot \frac1{36} + \frac1{216} = \frac{108 - 18 + 1}{216} = \frac{91}{216} \approx 0{,}421$$

Controllo con il complementare: $\mathbb{P}(\text{nessun } 6) = \left(\frac56\right)^3 = \frac{125}{216}$, e $1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$ ✓. (Il complementare è più rapido: l'inclusione-esclusione serve quando il complementare non è più semplice.)

Come si sceglie $\mathbb{P}$

Gli assiomi dicono quali regole deve rispettare $\mathbb{P}$, non quale $\mathbb{P}$ usare. La scelta dipende dal fenomeno e si basa su:

• proprietà di simmetria del fenomeno (dado equo, moneta equa, carta pescata a caso): portano agli spazi uniformiTutti gli esiti hanno la stessa probabilità, quindi P(A) = (numero di esiti in A) / (numero di esiti in Ω).Spazi di probabilità discreti e uniformi →;
• osservazioni statistiche, se il fenomeno è ripetibile: la probabilità si stima con la frequenza osservata (ad esempio la percentuale di pezzi difettosi in un lotto).

Errori comuni

• Sommare le probabilità di eventi non disgiunti: $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B)$ solo se $A \cap B = \emptyset$.
• Usare $\mathbb{P}(B \setminus A) = \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A)$ senza che $A \subseteq B$: in generale si sottrae $\mathbb{P}(A \cap B)$.
• Dedurre $A = \emptyset$ da $\mathbb{P}(A) = 0$.
• Ottenere probabilità negative o maggiori di 1 senza accorgersene: è sempre il segnale di un errore di calcolo.