Convergenza di successioni di variabili aleatorie

Punto 7 del programma ("convergenza quasi certa, in probabilità, in distribuzione e in media p-esima: definizione, primi esempi, relazioni; convergenza della funzione caratteristica e teorema di continuità di Lévy"). Prerequisiti: Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e JensenMarkov: per X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a; Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε²; Jensen: per φ convessa, φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]. Stimano probabilità e medie conoscendo solo media e varianza.Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen →, Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →, Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →. Seguito: Legge dei grandi numeri e metodo Monte CarloSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ, la media campionaria X̄ₙ = (X₁ + ... + Xₙ)/n converge a μ: in probabilità (legge debole, dimostrata con Chebyshev se la varianza è finita: P(|X̄ₙ − μ| > ε) ≤ σ²/(nε²)) e quasi certamente (legge forte). Metodo Monte Carlo: ∫ g = E[g(U)] si stima con la media di g(U₁), ..., g(Uₙ) per uniformi indipendenti.Legge dei grandi numeri e metodo Monte Carlo →, Teorema del limite centrale e approssimazione normaleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →. In ogni appello del 2025-26 l'ultimo esercizio (4 punti) è su questo argomento.

Perché più di una nozione

Per una successione di numeri $a_n \to a$ c'è un solo significato (Limiti di successioniUna successione ha limite l se, da un certo indice in poi, i suoi termini stanno vicini a l quanto si vuole; definizioni con epsilon, limiti infiniti e unicità.Limiti di successioni →: per ogni $\varepsilon > 0$, da un certo indice in poi $|a_n - a| < \varepsilon$). Una v.a. invece è una funzione $X_n(\omega)$ con una legge, e "$X_n$ si avvicina a $X$" può voler dire cose diverse:

• che i valori $X_n(\omega)$ tendono a $X(\omega)$ per quasi ogni esito (è la convergenza puntuale di una successione di funzioni, come in Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioniLa convergenza puntuale valuta il limite per ogni x fissato, mentre la convergenza uniforme controlla l'errore massimo su tutto l'insieme tramite la norma del sup. La convergenza uniforme preserva la continuità e consente lo scambio con integrale e derivata; per le serie di funzioni, il criterio M di Weierstrass ne garantisce la convergenza totale e uniforme.Convergenza puntuale e uniforme di successioni e serie di funzioni →, ma ammettendo un insieme di esiti di probabilità $0$ in cui fallisce);
• che la probabilità di essere lontani da $X$ tende a zero;
• che la distanza media tende a zero;
• che solo le leggi si assomigliano (le v.a. potrebbero anche essere definite su spazi diversi).

Le quattro definizioni

Sia $(X_n)_{n \ge 1}$ una successione di v.a. e $X$ una v.a.

Definizione (quattro tipi di convergenza). Quasi certa ($X_n \xrightarrow{q.c.} X$): $$P\left(\left\{\omega : \lim_{n\to\infty} X_n(\omega) = X(\omega)\right\}\right) = 1.$$

In probabilità ($X_n \xrightarrow{p} X$): per ogni $\varepsilon > 0$ $$\lim_{n\to\infty} P(|X_n - X| > \varepsilon) = 0.$$

In media $p$-esima, o in $L^p$, con $p \ge 1$ ($X_n \xrightarrow{L^p} X$): $$\lim_{n\to\infty} E\big[|X_n - X|^p\big] = 0.$$ Per $p = 1$ si dice in media, per $p = 2$ in media quadratica (o media seconda).

In distribuzione (o in legge, $X_n \xrightarrow{d} X$): $$\lim_{n\to\infty} F_{X_n}(x) = F_X(x) \qquad \text{per ogni } x \text{ in cui } F_X \text{ è continua}.$$

Esempio. La successione deterministica $X_n = \frac{1}{n}$ converge a $0$ in tutti e quattro i sensi: $|X_n - 0| = \frac{1}{n} \to 0$. In dettaglio: q.c. perché $X_n(\omega) = \frac1n \to 0$ per ogni $\omega$; in probabilità perché $P(\frac1n > \varepsilon) = 0$ appena $n > \frac1\varepsilon$; in $L^p$ perché $E[|X_n|^p] = \frac{1}{n^p} \to 0$; in distribuzione per quanto segue.

Perché "nei punti di continuità". Sia $X_n = \frac1n$ (costante). Intuitivamente $X_n \to 0$. Ma $F_{X_n}(0) = P(\frac1n \le 0) = 0$ per ogni $n$, mentre $F_0(0) = 1$: nel punto di salto di $F_X$ la convergenza fallisce. Negli altri punti invece funziona: per $x < 0$, $F_{X_n}(x) = 0 = F_0(x)$; per $x > 0$, appena $n > \frac1x$ si ha $\frac1n \le x$ e $F_{X_n}(x) = 1 = F_0(x)$. Si escludono i punti di salto della Funzione di distribuzioneLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione → limite, che sono al più numerabili (i salti sono probabilità $P(X = x)$ che sommate non superano $1$, quindi per ogni $k$ ci sono meno di $k$ salti più alti di $\frac1k$), per non perdere esempi così ovvi.

Relazioni

  q.c.  ─┐
         ├──▶  in probabilità  ──▶  in distribuzione
  L^p   ─┘
  (L² ⇒ L¹)

Proprietà (relazioni tra i tipi di convergenza).

1. q.c. ⇒ in probabilità.
2. $L^p$ ⇒ in probabilità.
3. In probabilità ⇒ in distribuzione.
4. $L^q$ ⇒ $L^p$ se $q \ge p$ (in particolare $L^2$ ⇒ $L^1$).
5. In distribuzione verso una costante $c$ ⇒ in probabilità verso $c$.

Esempio. Se $X_n \to X$ in $L^2$, allora $X_n \to X$ anche in $L^1$, in probabilità e in distribuzione.

Nessuna altra implicazione vale in generale.

Dimostrazione di 2 (Markov). L'evento $\{|X_n - X| > \varepsilon\}$ coincide con $\{|X_n - X|^p > \varepsilon^p\}$, quindi per la disuguaglianza di MarkovPer Y ≥ 0 e c > 0: P(Y ≥ c) ≤ E(Y) / c.Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen → $$P(|X_n - X| > \varepsilon) \le \frac{E[|X_n - X|^p]}{\varepsilon^p} \to 0.$$ (L'uguaglianza tra i due eventi vale perché $t \mapsto t^p$ è strettamente crescente su $[0, \infty)$; Markov si applica a $Y = |X_n - X|^p \ge 0$ con $c = \varepsilon^p$.)

Dimostrazione di 3 (traccia). Sia $x$ un punto di continuità di $F_X$ e $\varepsilon > 0$. Se $X_n \le x$, allora o $X \le x + \varepsilon$, oppure $X$ e $X_n$ distano più di $\varepsilon$; quindi $F_{X_n}(x) \le F_X(x + \varepsilon) + P(|X_n - X| > \varepsilon)$. Allo stesso modo, scambiando i ruoli, $F_X(x - \varepsilon) \le F_{X_n}(x) + P(|X_n - X| > \varepsilon)$. Per $n \to \infty$ l'ultimo termine tende a $0$, quindi da un certo $n$ in poi $F_{X_n}(x)$ sta (a meno di un errore piccolo) tra $F_X(x - \varepsilon)$ e $F_X(x + \varepsilon)$; facendo tendere $\varepsilon \to 0$ i due estremi tendono a $F_X(x)$ proprio perché $F_X$ è continua in $x$.

Dimostrazione di 4 (Jensen). $\psi(t) = t^{q/p}$ è convessa su $[0, \infty)$ (l'esponente $\frac qp \ge 1$, quindi $\psi''(t) = \frac qp\left(\frac qp - 1\right)t^{q/p - 2} \ge 0$, vedi Funzioni convesse, concave e punti di flessof è convessa se ogni corda sta sopra il grafico (concava se sta sotto). Una funzione convessa è continua e ha derivate destra e sinistra in ogni punto interno. Per f derivabile: convessa ⇔ grafico sopra ogni tangente ⇔ f' crescente ⇔ (se esiste) f'' ≥ 0. f'' > 0 ⇒ strettamente convessa, non viceversa (x⁴). Flesso: punto in cui f passa da convessa a concava; lì, se esiste, f''(x0) = 0, ma non basta (x⁴ in 0).Funzioni convesse, concave e punti di flesso →). La disuguaglianza di JensenPer ψ convessa: ψ(E(W)) ≤ E(ψ(W)).Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen → applicata a $W = |Y|^p$ dà $\psi(E[|Y|^p]) \le E[\psi(|Y|^p)]$, cioè $E[|Y|^p]^{q/p} \le E[|Y|^q]$, e prendendo la potenza $\frac pq$ (crescente) $E[|Y|^p] \le E[|Y|^q]^{p/q}$: se il secondo tende a $0$, anche il primo. Si usa con $Y = X_n - X$.

Dimostrazione di 5. Se $F_{X_n}(x) \to F_c(x)$, che vale $0$ per $x < c$ e $1$ per $x \ge c$ (continua ovunque tranne in $c$), allora per ogni $\varepsilon > 0$ $$P(|X_n - c| > \varepsilon) \le F_{X_n}(c - \varepsilon) + 1 - F_{X_n}(c + \varepsilon) \to 0 + 1 - 1 = 0.$$ Passaggi. L'evento $\{|X_n - c| > \varepsilon\}$ è l'unione disgiunta di $\{X_n < c - \varepsilon\}$ e $\{X_n > c + \varepsilon\}$. Il primo è contenuto in $\{X_n \le c - \varepsilon\}$, che ha probabilità $F_{X_n}(c - \varepsilon)$; il secondo ha probabilità $1 - F_{X_n}(c + \varepsilon)$ (complementare di $\{X_n \le c + \varepsilon\}$). I punti $c \pm \varepsilon$ sono diversi da $c$, quindi punti di continuità di $F_c$: lì vale la convergenza, a $F_c(c - \varepsilon) = 0$ e $F_c(c + \varepsilon) = 1$. È l'argomento usato in tutte le soluzioni d'esame: si studia la FdD, si trova un limite costante, e si ottiene gratis anche la convergenza in probabilità.

Il limite è unico (dove ha senso): se $X_n \to X$ in probabilità, in $L^p$ o q.c., e anche $X_n \to Y$ in uno qualsiasi di questi sensi, allora $X = Y$ quasi certamente. Quindi: se c'è convergenza in $L^p$, il limite deve essere quello trovato in probabilità. È il primo passo nello studio della convergenza in media.

Controesempi utili

In probabilità ma non in $L^p$. $P(X_n = 0) = 1 - \frac1n$, $P(X_n = n) = \frac1n$. Fissato $\varepsilon > 0$, appena $n > \varepsilon$ l'evento $\{|X_n| > \varepsilon\}$ è $\{X_n = n\}$, quindi $P(|X_n| > \varepsilon) = \frac1n \to 0$: in probabilità a $0$. Ma $E[|X_n|] = n \cdot \frac1n = 1 \not\to 0$: non in $L^1$. Una massa piccolissima molto lontana basta a tenere alta la media.

In distribuzione ma non in probabilità. $X \sim N(0, 1)$ e $X_n = -X$ per ogni $n$. Tutte le $X_n$ hanno la stessa legge di $X$ (simmetria: $F_{-X}(x) = P(X \ge -x) = 1 - \Phi(-x) = \Phi(x)$), quindi $X_n \to X$ in distribuzione banalmente. Ma $|X_n - X| = 2|X|$ non tende a $0$: non in probabilità. Infatti $P(|X_n - X| > \varepsilon) = P(|X| > \frac\varepsilon2) = 2\big(1 - \Phi(\frac\varepsilon2)\big)$, che non dipende da $n$ ed è positivo (con $\varepsilon = 1$ vale circa $0{,}617$). La convergenza in distribuzione guarda solo le leggi, non i valori.

Teorema di continuità di Lévy

Teorema (di continuità di Lévy). $X_n \xrightarrow{d} X$ se e solo se $\varphi_{X_n}(\theta) \to \varphi_X(\theta)$ per ogni $\theta \in \mathbb R$.

Più precisamente: se $\varphi_{X_n}(\theta) \to \varphi(\theta)$ per ogni $\theta$ e il limite $\varphi$ è continuo in $0$, allora $\varphi$ è la funzione caratteristica di una v.a. $X$ e $X_n \xrightarrow{d} X$.

Esempio. $X_n \sim \text{Bin}(n, \frac{\lambda}{n})$ ha $\varphi_{X_n}(\theta) = \left(1 + \frac{\lambda(e^{i\theta} - 1)}{n}\right)^n \to e^{\lambda(e^{i\theta} - 1)}$, la funzione caratteristica di $\text{Poi}(\lambda)$.

Passaggi. Dalla tabella di Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →, $\varphi_{\text{Bin}(n,p)}(\theta) = (1 - p + pe^{i\theta})^n = \big(1 + p(e^{i\theta} - 1)\big)^n$; con $p = \frac\lambda n$ si ottiene la formula. Posto $z = \lambda(e^{i\theta} - 1)$ (un numero fissato, che non dipende da $n$), il limite è quello notevoleI limiti di base per sciogliere le forme indeterminate delle successioni: potenze, polinomi, il numero e, esponenziali, la gerarchia logaritmi < potenze < esponenziali < fattoriale < n^n e la razionalizzazione.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → $\left(1 + \frac zn\right)^n \to e^z$, che vale anche per $z$ complesso. Il limite è continuo in $0$ (anzi ovunque), quindi per Lévy $X_n \xrightarrow{d} \text{Poi}(\lambda)$: è l'approssimazione di Poisson della binomialePoi(λ) conta eventi rari: P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k! per k = 0, 1, 2, …, con media e varianza entrambe uguali a λ; approssima la binomiale Bin(n, p) quando n è grande e p piccolo, con λ = np.Distribuzione di Poisson → dimostrata in una riga.

È lo strumento per dimostrare il teorema del limite centraleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →: le funzioni caratteristiche delle somme sono prodotti, facili da mandare al limite. La continuità in $0$ serve a escludere che la probabilità "scappi all'infinito": per $X_n \sim N(0, n)$, $\varphi_n(\theta) = e^{-n\theta^2/2} \to 0$ per $\theta \ne 0$ (l'esponente $-\frac{n\theta^2}{2} \to -\infty$) e $\to 1$ in $\theta = 0$; il limite è discontinuo in $0$ e infatti $X_n$ non converge in distribuzione. Lo si vede sulle FdD: $F_{X_n}(x) = \Phi\left(\frac{x}{\sqrt n}\right) \to \Phi(0) = \frac12$ per ogni $x$, e la costante $\frac12$ non è una FdD (non tende a $0$ e a $1$ agli estremi): metà della probabilità "scappa" verso $+\infty$ e metà verso $-\infty$.

Metodo per gli esercizi d'esame

Lo schema delle soluzioni ufficiali per successioni del tipo "$X_n$ vale $0$ con probabilità quasi $1$ e un valore grande con probabilità piccola":

1. Distribuzione. Scrivere $F_{X_n}$ e farne il limite per ogni $x$ fissato (oppure il limite di $\varphi_{X_n}$ e usare Lévy). Riconoscere la FdD limite, di solito quella della costante $0$.
2. Probabilità. Se il limite è una costante, segue dalla 5. In alternativa, calcolare direttamente $P(|X_n| > \varepsilon)$ per $n$ grande.
3. $L^1$ e $L^2$. Il limite, se c'è, è la stessa costante. Calcolare $E[|X_n - 0|]$ ed $E[|X_n - 0|^2]$ e vedere se tendono a $0$.

In tutti e tre i casi c'è convergenza in distribuzione, in probabilità e in $L^1$ a $0$, ma non in $L^2$. Il motivo è sempre lo stesso: il momento secondo pesa il valore grande al quadrato, e il quadrato compensa esattamente la probabilità piccola.

Esempio svolto (I appello 15.01.2026). $P(X_n = 0) = 1 - \frac{1}{n^2}$, $P(X_n = n) = \frac1{n^2}$.

• $F_{X_n}(x) = 0$ per $x < 0$, $1 - \frac1{n^2}$ per $0 \le x < n$, $1$ per $x \ge n$. Per $x$ fissato e $n > x$, siamo nel tratto centrale (se $x \ge 0$), quindi $F_{X_n}(x) = 1 - \frac1{n^2} \to 1$ per $x \ge 0$ e resta $0$ per $x < 0$: è la FdD della costante $0$. Quindi $X_n \xrightarrow{d} 0$ e, per la 5, $X_n \xrightarrow{p} 0$. (Qui la convergenza vale anche nel punto di salto $x = 0$.)
• $E[|X_n|] = n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac1n \to 0$: $X_n \xrightarrow{L^1} 0$.
• $E[X_n^2] = n^2 \cdot \frac1{n^2} = 1 \not\to 0$: niente convergenza in $L^2$.

Altri limiti tipici (II parziale 15.01.2026, Esercizio 27 · media campionaria e massimo di uniformi): il massimo $Z_n$ di $n$ uniformi indipendenti su $[0, 1]$ ha $F_{Z_n}(x) = x^n$ per $0 \le x \le 1$ ($Z_n \le x$ se e solo se tutte le $n$ uniformi sono $\le x$, e ciascuna lo è con probabilità $x$), $0$ per $x < 0$ e $1$ per $x > 1$. Per $0 \le x < 1$, $x^n \to 0$ (potenze di un numero in $[0, 1)$, come per la ragione di una serie geometricaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica →), e per $x \ge 1$ vale $1$: il limite è la FdD della costante $1$, quindi $Z_n$ converge in distribuzione, e per la 5 in probabilità, alla costante $1$.

Riepilogo

Errori comuni

• Dedurre la convergenza in $L^1$ da quella in probabilità: il controesempio $X_n = n$ con probabilità $\frac1n$ mostra che è falso.
• Pretendere la convergenza della FdD anche nei punti di salto del limite.
• Calcolare $E[X_n] \to 0$ e concludere la convergenza in $L^1$: serve $E[|X_n - X|]$, col modulo. Nel II appello $E[X_n] = 0$ per ogni $n$ (per simmetria), ma la convergenza in $L^1$ va verificata con $E[|X_n|] = \frac{2}{\sqrt n}$.
• Dimenticare che il limite in $L^p$ deve coincidere con quello in probabilità.