Esercizio 20vettore gaussiano, combinazione lineare e correlazione

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Lettura dei dati

• $E[X] = 1$, $E[Y] = -1$;
• $\text{Var}(X) = 4$, $\text{Var}(Y) = 2$ (diagonale);
• $\text{Cov}(X, Y) = 2$ (fuori diagonale). Qui $X$ e $Y$ non sono indipendenti: $\rho(X, Y) = \frac{2}{\sqrt{4\cdot 2}} = \frac{2}{2\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0{,}71$ (covarianza non nulla, e per v.a. indipendenti la covarianza sarebbe $0$, vedi Covarianza e coefficiente di correlazioneCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →).

(a) Densità congiunta

Formula del vettore gaussianoX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani → in dimensione $2$:

$$f(x, y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{\det\Sigma}}\exp\left(-\frac12(x - m_1,\ y - m_2)\,\Sigma^{-1}\begin{pmatrix} x - m_1 \\ y - m_2 \end{pmatrix}\right).$$

La notazione $(u, v)\,\Sigma^{-1}(u, v)^T$ è un prodotto riga per matrice per colonna (Operazioni tra matriciLe matrici m×n formano uno spazio vettoriale (somma e prodotto per scalare elemento per elemento); il prodotto righe per colonne corrisponde alla composizione di funzioni lineari, è associativo ma non commutativo; la trasposta scambia righe e colonne e (AB)^T = B^T A^T.Operazioni tra matrici →), che dà un numero.

Passo 1: determinante. $\det\Sigma = 4\cdot 2 - 2\cdot 2 = 4 > 0$ (prodotto della diagonale principale meno prodotto dell'altra diagonale): la matrice è invertibile e la densità esiste.

Passo 2: inversa. Per una $2 \times 2$ $\begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$: si scambiano gli elementi diagonali, si cambia segno a quelli fuori diagonale e si divide per il determinante (è la formula con la matrice aggiuntaLa matrice aggiunta A* è la trasposta della matrice dei complementi algebrici e soddisfa A·A* = det A · I; quindi A è invertibile se e solo se det A ≠ 0, con A⁻¹ = A*/det A. Cramer: xᵢ = Δᵢ/Δ. Matrici simili hanno lo stesso determinante.Matrice aggiunta e teorema di Cramer →):

$$\Sigma^{-1} = \frac14\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 & -\frac12 \\ -\frac12 & 1 \end{pmatrix}.$$

Controllo: $\Sigma\Sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 4\cdot\frac12 - 2\cdot\frac12 & -4\cdot\frac12 + 2 \\ 2\cdot\frac12 - 2\cdot\frac12 & -2\cdot\frac12 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ ✓.

Passo 3: forma quadratica. Con $u = x - 1$ e $v = y + 1$ (scarti dalle medie):

$$(u, v)\begin{pmatrix} \frac12 & -\frac12 \\ -\frac12 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \frac12 u^2 - \frac12 uv - \frac12 uv + v^2 = \frac12 u^2 - uv + v^2.$$

(I due termini fuori diagonale danno ciascuno $-\frac12 uv$.)

Passo 4: costante. $2\pi\sqrt{\det\Sigma} = 2\pi\cdot 2 = 4\pi$.

$$\boxed{f(x, y) = \frac{1}{4\pi}\exp\left(-\frac12\left(\frac12 u^2 - uv + v^2\right)\right), \qquad u = x - 1,\ v = y + 1}$$

Per esteso: $f(x, y) = \frac{1}{4\pi}\exp\left(-\frac{(x - 1)^2}{4} + \frac{(x - 1)(y + 1)}{2} - \frac{(y + 1)^2}{2}\right)$ (il fattore $-\frac12$ moltiplica ciascuno dei tre termini: $-\frac12 \cdot \frac12 u^2 = -\frac{u^2}{4}$, $-\frac12 \cdot (-uv) = +\frac{uv}{2}$, $-\frac12 v^2$).

Il termine misto $uv$ c'è perché la covarianza è diversa da zero: la densità non si fattorizza, coerentemente con la non indipendenza.

(b) Legge di $U = X - 2Y$ e $P(U > 5)$

La legge

Ogni combinazione lineare delle componenti di un vettore gaussiano è gaussiana (è la definizione di vettore gaussianoX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →). Quindi $U$ è gaussiana e bastano media e varianza.

Media (linearità): $$E[U] = E[X] - 2E[Y] = 1 - 2\cdot(-1) = 3.$$

Varianza (varianza di una combinazione lineareCov(X, Y) = E[(X − E X)(Y − E Y)] = E[XY] − E[X]E[Y] misura quanto X e Y variano insieme; è bilineare, Cov(X, X) = Var(X), Var(X + Y) = Var X + Var Y + 2Cov(X, Y); ρ = Cov / (σ_X σ_Y) sta in [−1, 1] e vale ±1 solo per legami lineari. Indipendenti ⇒ non correlate, ma non viceversa (tranne per i vettori gaussiani).Covarianza e coefficiente di correlazione →, con $a = 1$, $b = -2$): $$\text{Var}(U) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y) + 2ab\,\text{Cov}(X, Y) = 4 + 4\cdot 2 + 2\cdot 1\cdot(-2)\cdot 2 = 4 + 8 - 8 = 4.$$

$$\boxed{U \sim N(3, 4)}$$

Il termine con la covarianza è negativo (perché $a$ e $b$ hanno segni opposti e la covarianza è positiva) e compensa in parte le varianze: $X$ e $Y$ tendono a muoversi insieme, e nella differenza $X - 2Y$ le loro oscillazioni si cancellano parzialmente. Senza covarianza si sarebbe trovato $12$.

La probabilità

$\sigma_U = \sqrt4 = 2$. Standardizzando con $Z = \frac{U - 3}{2} \sim N(0, 1)$ (Distribuzione gaussiana (normale)N(μ, σ²) ha densità e^(−(x−μ)²/(2σ²)) / √(2πσ²), a campana centrata in μ con larghezza σ; media μ, varianza σ²; si standardizza con Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1) e si calcola P(X ≤ x) = Φ((x − μ)/σ), con Φ(−z) = 1 − Φ(z); aX + b è ancora gaussiana, N(aμ + b, a²σ²).Distribuzione gaussiana (normale) →):

$$P(U > 5) = P\left(Z > \frac{5 - 3}{2}\right) = P(Z > 1) = 1 - \Phi(1).$$

Il primo passaggio: $U > 5 \iff U - 3 > 2 \iff \frac{U - 3}{2} > 1$ (si sottrae $3$ e si divide per $2 > 0$, che non cambia il verso). L'ultimo usa il complementare: $P(Z > 1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - \Phi(1)$. Dalle tavole $\Phi(1) \approx 0{,}8413$.

$$\boxed{P(U > 5) = 1 - \Phi(1) \approx 0{,}159}$$

(c) Covarianza e correlazione tra $X$ e $U$

Covarianza, per bilinearità:

$$\text{Cov}(X, U) = \text{Cov}(X, X - 2Y) = \text{Cov}(X, X) - 2\,\text{Cov}(X, Y) = \text{Var}(X) - 2\,\text{Cov}(X, Y) = 4 - 2\cdot 2 = 0.$$

Coefficiente di correlazione, con $\text{Var}(X) = 4$ e $\text{Var}(U) = 4$:

$$\rho(X, U) = \frac{\text{Cov}(X, U)}{\sqrt{\text{Var}(X)\,\text{Var}(U)}} = \frac{0}{\sqrt{16}} = 0.$$

$$\boxed{\text{Cov}(X, U) = 0, \qquad \rho(X, U) = 0}$$

$X$ e $U$ sono non correlate. Di più: $(X, U)$ è un vettore gaussiano (trasformazione lineare di $(X, Y)$), quindi $X$ e $U$ sono anche indipendenti (Vettori gaussianiX = (X₁, ..., Xₙ) è un vettore gaussiano N(m, Σ) se ogni combinazione lineare a·X è gaussiana (equivalentemente X = m + AZ con Z gaussiane standard indipendenti); se Σ è invertibile ha densità exp(−½(x−m)ᵀΣ⁻¹(x−m)) / √((2π)ⁿ det Σ). Proprietà chiave: AX + b ~ N(Am + b, AΣAᵀ), le marginali sono gaussiane e componenti non correlate sono indipendenti.Vettori gaussiani →). Controllo con le matrici: $(X, U) = B(X, Y)$ con $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, e $$B\Sigma B^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}:$$ varianze $4$ e $4$, covarianza $0$ ✓.

Perché proprio $-2$. Il coefficiente di $Y$ in $U$ non è casuale: $U = X - cY$ è non correlata con $X$ quando $\text{Var}(X) - c\,\text{Cov}(X, Y) = 0$, cioè $c = \frac{\text{Var}(X)}{\text{Cov}(X, Y)} = \frac42 = 2$. È lo stesso trucco con cui si dimostra la formula del vettore gaussiano condizionatoLa densità condizionata di X dato Y = y è p(x, y)/p_Y(y) nel discreto e f(x, y)/f_Y(y) nel continuo; la sua media è E[X | Y = y], e E[X | Y] è la v.a. che si ottiene sostituendo y con Y. Proprietà della torre: E[E[X | Y]] = E[X]. Per un vettore gaussiano, X dato Y = y è gaussiana con media m₁ + (Cov/Var Y)(y − m₂) e varianza σ₁²(1 − ρ²).Densità e media condizionata →: si scompone una v.a. in una parte "spiegata" dall'altra e una parte indipendente da essa.

Errori comuni

• Inversa $2 \times 2$ sbagliata: dimenticare di cambiare segno agli elementi fuori diagonale, o di dividere per il determinante.
• Forma quadratica con $-\frac12 uv$ invece di $-uv$: i termini fuori diagonale sono due.
• Dimenticare $2ab\,\text{Cov}(X, Y)$ nella varianza di $U$ (si otterrebbe $12$ invece di $4$).
• Standardizzare dividendo per $4$: si divide per $\sigma_U = 2$.