Distribuzione di Poisson

Caso notevole del punto 2 del programma. Prerequisiti: Bernoulli, binomiale e uniforme discretaBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →, Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →. Media e varianza: Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →, Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →.

Situazione

Si contano gli eventi di un certo tipo che avvengono in un intervallo di tempo (o di spazio) fissato, quando gli eventi sono tanti tentativi, ciascuno molto improbabile: chiamate a un centralino in un'ora, pacchetti che arrivano a un router in un secondo, errori di trasmissione in un file, malati di una malattia rara in un campione. Il numero di tentativi è enorme (o nemmeno ben definito) e ognuno ha probabilità piccolissima: conta solo il numero medio $\lambda$ di eventi. È la "legge degli eventi rari".

Densità

Definizione (distribuzione di Poisson). $X \sim \text{Poi}(\lambda)$, con $\lambda > 0$, se $X$ ha alfabeto $\mathbb N = \{0, 1, 2, \dots\}$ e $$p_X(k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots$$

Esempio. $X \sim \text{Poi}(2)$: $P(X = 0) = e^{-2} \approx 0{,}135$ e $P(X = 1) = 2e^{-2} \approx 0{,}271$ (con $k = 0$: $\lambda^0 = 1$ e $0! = 1$, resta $e^{-\lambda}$; con $k = 1$: $\frac{\lambda^1}{1!} = \lambda$).

Controllo che la somma fa 1. Si usa la serie esponenzialePer ogni numero reale λ, la somma dei λ^k/k! per k da 0 a infinito vale e^λ.Serie di potenze e serie di Taylor →:

$$\sum_{k = 0}^\infty e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k = 0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda} = 1. \ ✓$$

La serie $\sum_k \frac{x^k}{k!}$ è la serie di Taylor di $e^x$ centrata in $0$ (vedi anche Sviluppi di Mac-Laurin notevoliTabella degli sviluppi di Mac-Laurin da sapere a memoria (e^x, sin, cos, log(1+x), (1+x)^alpha, arctan, sinh, cosh, tan) e regole per combinarli: algebra degli o piccoli, prodotti, funzioni composte, quanti termini tenere.Sviluppi di Mac-Laurin notevoli →) e converge a $e^x$ per ogni $x$ reale: per questo $\lambda$ può essere qualsiasi numero positivo. Il fattore $e^{-\lambda}$ non dipende da $k$ ed esce dalla somma; poi $e^{-\lambda} e^{\lambda} = e^0 = 1$.

Il fattore $e^{-\lambda}$ è esattamente la costante che serve a normalizzare i termini $\frac{\lambda^k}{k!}$.

Forma della densità

Il rapporto tra due termini consecutivi è

$$\frac{p_X(k)}{p_X(k - 1)} = \frac{\lambda^k / k!}{\lambda^{k - 1}/(k - 1)!} = \frac{\lambda}{k}.$$

(Il fattore $e^{-\lambda}$ si semplifica; $\frac{\lambda^k}{\lambda^{k-1}} = \lambda$ e $\frac{(k-1)!}{k!} = \frac1k$, perché $k! = k \cdot (k-1)!$.)

Quindi la densità cresce finché $k < \lambda$ (rapporto $\frac\lambda k > 1$: il termine è più grande del precedente) e decresce quando $k > \lambda$ (rapporto $< 1$): il massimo è in $k = \lfloor \lambda \rfloor$ (se $\lambda$ è intero, $k = \lambda - 1$ e $k = \lambda$ hanno la stessa probabilità). Per $\lambda = 5$: $p_X(4) = p_X(5) \approx 0{,}1755$.

Media e varianza

Proprietà (media e varianza della Poisson). Se $X \sim \text{Poi}(\lambda)$: $\quad E[X] = \lambda, \qquad \text{Var}(X) = \lambda.$

Esempio. $X \sim \text{Poi}(3)$ ha $E[X] = \text{Var}(X) = 3$.

Media. Il termine $k = 0$ è nullo; per $k \ge 1$ si semplifica $\frac{k}{k!} = \frac{1}{(k - 1)!}$:

$$E[X] = \sum_{k = 1}^\infty k \, e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \lambda \sum_{k = 1}^\infty e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k - 1}}{(k - 1)!} = \lambda \sum_{j = 0}^\infty e^{-\lambda}\frac{\lambda^j}{j!} = \lambda \cdot 1.$$

Passaggi: si scrive $\lambda^k = \lambda \cdot \lambda^{k-1}$ e si porta fuori $\lambda$; con $j = k - 1$ la somma parte da $j = 0$ ed è la somma di tutta la densità di $\text{Poi}(\lambda)$, cioè $1$.

Varianza. Stesso trucco con $\frac{k(k - 1)}{k!} = \frac{1}{(k - 2)!}$ per $k \ge 2$ (i termini $k = 0, 1$ sono nulli per il fattore $k(k-1)$; si porta fuori $\lambda^2$ e si pone $j = k - 2$):

$$E[X(X - 1)] = \lambda^2 \sum_{k = 2}^\infty e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k - 2}}{(k - 2)!} = \lambda^2, \qquad \text{Var}(X) = E[X(X-1)] + E[X] - E[X]^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda.$$

La formula della varianza viene da $\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2$ (Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →) con $E[X^2] = E[X(X - 1) + X] = E[X(X-1)] + E[X]$ per linearità.

Media e varianza uguali sono una "firma" della Poisson: nei dati reali di conteggio, se la varianza empirica è molto diversa dalla media, il modello di Poisson è sospetto.

Approssimazione di Poisson della binomiale

Teorema. Sia $\lambda > 0$ e $X_n \sim \text{Bin}(n, \frac\lambda n)$. Allora per ogni $k \in \mathbb N$ fissato $$\lim_{n \to \infty} P(X_n = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.$$

Esempio. $X \sim \text{Bin}(100, 0{,}02)$ ha $\lambda = np = 2$: $P(X = 3) \approx e^{-2}\frac{2^3}{3!} = \frac43 e^{-2} \approx 0{,}180$ (il valore esatto è $\binom{100}{3} 0{,}02^3 \, 0{,}98^{97} \approx 0{,}182$).

Cioè: tante prove ($n \to \infty$), ciascuna con probabilità piccola ($p = \frac\lambda n \to 0$), con numero medio di successi fisso ($np = \lambda$), danno una Poisson.

Dimostrazione. Si scrive il coefficiente binomialeFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali → come $\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ (in $\frac{n!}{k!\,(n-k)!}$ i fattori di $(n-k)!$ si semplificano con gli ultimi $n - k$ fattori di $n!$, e restano i primi $k$) e si riordinano i fattori: $\left(\frac\lambda n\right)^k = \frac{\lambda^k}{n^k}$, e il denominatore $n^k$ va sotto il prodotto $n(n-1)\cdots(n-k+1)$; la potenza $\left(1 - \frac\lambda n\right)^{n-k}$ si spezza in $\left(1 - \frac\lambda n\right)^{n} \cdot \left(1 - \frac\lambda n\right)^{-k}$:

$$\binom nk \left(\frac\lambda n\right)^k \left(1 - \frac\lambda n\right)^{n - k} = \underbrace{\frac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{n^k}}_{(1)} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \underbrace{\left(1 - \frac\lambda n\right)^n}_{(2)} \cdot \underbrace{\left(1 - \frac\lambda n\right)^{-k}}_{(3)}.$$

1. $(1) = \frac nn \cdot \frac{n-1}{n} \cdots \frac{n-k+1}{n} = 1 \cdot \left(1 - \frac1n\right) \cdots \left(1 - \frac{k - 1}{n}\right)$: sono $k$ fattori (numero fisso), ognuno tende a $1$, quindi $(1) \to 1$ per il limite del prodotto. Serve che $k$ sia fisso: con un numero di fattori che cresce con $n$ il ragionamento non varrebbe più.
2. $(2) \to e^{-\lambda}$, per il limite notevole(1 + x/n)^n tende a e^x per n che tende a infinito, per ogni x reale; qui x = −λ.Limiti notevoli e gerarchia degli infiniti → $\left(1 + \frac xn\right)^n \to e^x$ con $x = -\lambda$.
3. $(3) \to 1^{-k} = 1$, perché l'esponente $-k$ è fisso e la base tende a $1$ (la potenza con esponente fisso è una funzione continua della base).

Il prodotto tende a $\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$. ∎

Il grafico mostra la convergenza per $\lambda = 5$: con $n = 10$ ($p = 0{,}5$) la binomiale è ancora molto più stretta della Poisson, con $n = 50$ ($p = 0{,}1$) è già vicina. Ogni gradino largo 1 è centrato su un intero $k$ e ha altezza $P(X = k)$.

Valori nel picco: $P(X = 5)$ vale $0{,}2461$ per $\text{Bin}(10; 0{,}5)$, $0{,}1849$ per $\text{Bin}(50; 0{,}1)$ e $0{,}1755$ per $\text{Poi}(5)$.

Regola pratica. Se $X \sim \text{Bin}(n, p)$ con $n$ grande e $p$ piccolo (indicativamente $n \ge 50$, $p \le 0{,}1$, $np$ dell'ordine delle unità), si approssima

$$X \approx Y \sim \text{Poi}(\lambda), \qquad \lambda = np \quad (\text{stessa media}).$$

Il vantaggio: le somme con i coefficienti $\binom{1000}{k}$ sono scomode, quelle con $\frac{5^k}{k!}$ no; e serve solo il prodotto $np$.

Esempio d'esame

(I parziale 17.11.2025, esercizio 2c.) In un campione di 1000 femmine, ognuna malata con probabilità $0{,}005$ indipendentemente dalle altre, il numero di malate è $X \sim \text{Bin}(1000;\ 0{,}005)$. Si chiede $P(X > 5)$.

• Esatta: $P(X > 5) = 1 - \sum_{k = 0}^5 \binom{1000}{k} 0{,}005^k \, 0{,}995^{1000 - k}$.
• Approssimata: $\lambda = 1000 \cdot 0{,}005 = 5$, quindi $P(X > 5) \approx 1 - e^{-5}\sum_{k = 0}^5 \frac{5^k}{k!}$.

Passando al complementare si sommano 6 termini invece di 995: $\{X > 5\}$ è il complementare di $\{X \le 5\} = \{X \in \{0, 1, \dots, 5\}\}$, mentre direttamente servirebbero i valori da $6$ a $1000$. Per la Poisson: $\sum_{k=0}^5 \frac{5^k}{k!} = 1 + 5 + \frac{25}{2} + \frac{125}{6} + \frac{625}{24} + \frac{3125}{120} \approx 91{,}417$, e $e^{-5} \cdot 91{,}417 \approx 0{,}61596$, quindi $P(X > 5) \approx 0{,}38404$. Numericamente (verificato in Python):

L'errore sulla probabilità richiesta è dell'ordine di $10^{-7}$.

Somma di Poisson indipendenti

Se $X \sim \text{Poi}(\lambda)$ e $Y \sim \text{Poi}(\mu)$ sono indipendenti, $X + Y \sim \text{Poi}(\lambda + \mu)$: le chiamate di due centralini indipendenti si sommano in un unico flusso di Poisson con media somma. Dimostrazione in Somma di variabili aleatorie indipendentiSe X e Y sono indipendenti, la legge di Z = X + Y è la convoluzione: p_Z(n) = Σ_k p_X(k) p_Y(n − k) nel discreto, f_Z(z) = ∫ f_X(z − y) f_Y(y) dy nel continuo. Casi notevoli: Bin(n,p) + Bin(m,p) = Bin(n+m,p), Poi(λ) + Poi(μ) = Poi(λ+μ), Geo + Geo con densità (n−1)p²(1−p)^(n−2), Exp(λ) + Exp(λ) = Γ(2,λ), gaussiane indipendenti sommano medie e varianze.Somma di variabili aleatorie indipendenti → (o con la Funzione caratteristicaLa funzione caratteristica φ_X(θ) = E[e^(iθX)] = E[cos θX] + iE[sin θX] esiste per ogni v.a. e ogni θ, vale 1 in 0, ha modulo ≤ 1, determina la legge (è la trasformata di Fourier della densità), trasforma le somme di v.a. indipendenti in prodotti e dà i momenti: E[X^k] = φ^(k)(0) / i^k. Per N(μ, σ²) vale e^(iμθ − σ²θ²/2).Funzione caratteristica →).

Riepilogo

Errori comuni

• Dimenticare $k = 0$ nelle somme: l'alfabeto parte da $0$, quindi $P(Y \le 5)$ ha sei termini.
• Scegliere $\lambda$ male: $\lambda$ è la media $np$, non $p$ né $n$.
• Usare l'approssimazione di Poisson con $p$ non piccolo (es. $\text{Bin}(100, \frac12)$): lì si usa l'approssimazione normale (Teorema del limite centrale e approssimazione normaleSe X₁, X₂, ... sono i.i.d. con media μ e varianza σ² ∈ (0, ∞), la somma standardizzata (Sₙ − nμ)/(σ√n) converge in distribuzione a N(0, 1): per n grande P(Sₙ ≤ x) ≈ Φ((x − nμ)/(σ√n)). Caso binomiale (De Moivre-Laplace): Bin(n, p) ≈ N(np, np(1 − p)), con correzione di continuità ±0,5. Si dimostra con le funzioni caratteristiche e il teorema di Lévy.Teorema del limite centrale e approssimazione normale →).
• Scrivere $\lambda^k e^{-k}$: l'esponenziale è $e^{-\lambda}$, non dipende da $k$.