Sviluppi di Mac-Laurin notevoli

Raccolta degli sviluppi per $x \to 0$ che si usano continuamente negli esercizi (lezioni 31–32), con il modo di combinarli. La teoria è in Formula di Taylor con resto di PeanoUna funzione derivabile n volte in x0 si scrive, vicino a x0, come un polinomio di grado al più n (il polinomio di Taylor, costruito con le derivate in x0) più un errore o((x-x0)^n); il polinomio è unico. Per x0 = 0 si chiama sviluppo di Mac-Laurin.Formula di Taylor con resto di Peano →. Esercizi: Esercizio 102 · sviluppo di Mac-Laurin di log(cos x).

La tabella

Formula (sviluppi di Mac-Laurin notevoli). Tutte le formule valgono per $x \to 0$. Ognuna si ricava dalla formula $T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$ calcolando le derivate in $0$ (sotto c'è la ricavazione delle meno ovvie).

Funzione	Sviluppo	Termine generale
$e^x$	$1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$	$\frac{x^k}{k!}$
$\sin x$	$x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^6)$	$(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
$\cos x$	$1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$	$(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}$
$\log(1+x)$	$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + o(x^4)$	$(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}$
$(1+x)^\alpha$	$1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{6}x^3 + o(x^3)$	$\binom{\alpha}{k}x^k$
$\frac{1}{1+x}$	$1 - x + x^2 - x^3 + o(x^3)$	$(-1)^k x^k$
$\sqrt{1+x}$	$1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3)$	caso $\alpha = \frac12$
$\arctan x$	$x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^6)$	$(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$
$\sinh x$	$x + \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^6)$	$\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
$\cosh x$	$1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$	$\frac{x^{2k}}{(2k)!}$
$\tan x$	$x + \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15}x^5 + o(x^6)$	(non serve)

Esempio. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2}$.

Come ricordarle.

• $\sin$ e $\cos$ hanno gli stessi termini di $e^x$, presi alternando i segni: $\sin$ i dispari, $\cos$ i pari. $\sinh$ e $\cosh$ sono uguali ma con tutti i segni $+$.
• Funzioni dispari ($\sin$, $\arctan$, $\sinh$, $\tan$) hanno solo potenze dispari; funzioni pari ($\cos$, $\cosh$) solo potenze pari. Per questo dopo l'ultimo termine si può scrivere l'o piccolo di un grado in più: in $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^5)$ il termine di grado 5 ha coefficiente $0$.
• $\log(1+x)$ e $\arctan x$ hanno al denominatore solo $k$, non $k!$.
• Nella riga di $(1+x)^\alpha$ compare il coefficiente binomiale generalizzato $\binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}$, che ha senso per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$ (se $\alpha$ è un naturale si ritrova il Binomio di NewtonLa formula per sviluppare (a+b)^n con i coefficienti binomiali.Binomio di Newton →).

Da dove vengono

$\cos x$. Le derivate in $0$ sono $\cos 0 = 1$, $-\sin 0 = 0$, $-\cos 0 = -1$, $\sin 0 = 0$, poi si ripetono. Le dispari sono nulle, le pari valgono alternativamente $+1$ e $-1$: coefficienti $1, -\frac1{2!}, +\frac1{4!}, \dots$

$\log(1+x)$. $f(x) = \log(1+x)$, $f'(x) = (1+x)^{-1}$, $f''(x) = -(1+x)^{-2}$, $f'''(x) = 2(1+x)^{-3}$, $f^{(4)}(x) = -3!\,(1+x)^{-4}$; in generale $f^{(k)}(x) = (-1)^{k+1}(k-1)!\,(1+x)^{-k}$. In $0$: $f^{(k)}(0) = (-1)^{k+1}(k-1)!$, e dividendo per $k!$ resta $\frac{(-1)^{k+1}}{k}$ (perché $\frac{(k-1)!}{k!} = \frac1k$).

$(1+x)^\alpha$. $f'(x) = \alpha(1+x)^{\alpha-1}$, $f''(x) = \alpha(\alpha-1)(1+x)^{\alpha-2}$, e così via: ogni derivata fa scendere l'esponente e lo porta davanti. In $0$, $(1+0)^{\text{qualsiasi}} = 1$, quindi $f^{(k)}(0) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)$. Esempio $\alpha = \frac13$: $(1+x)^{1/3} = 1 + \frac13 x - \frac19 x^2 + o(x^2)$ (il coefficiente di $x^2$ è $\frac{\frac13 \cdot (-\frac23)}{2} = -\frac19$).

$\frac{1}{1+x}$ è il caso $\alpha = -1$: $\binom{-1}{k} = \frac{(-1)(-2)\cdots(-k)}{k!} = (-1)^k$.

$\sinh x$, $\cosh x$. Le derivate di $\sinh$ sono $\cosh, \sinh, \cosh, \dots$ e in $0$ valgono $\cosh 0 = 1$, $\sinh 0 = 0$: tutte le dispari valgono $1$ e le pari $0$ (vedi Funzioni iperbolicheSeno, coseno e tangente iperbolici costruiti con e^x ed e^(-x), la relazione cosh^2 - sinh^2 = 1 e le loro inverse con formula esplicita.Funzioni iperboliche →). Per $\cosh$ al contrario.

$\arctan x$. $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$; calcolando le derivate successive in $0$ si trovano $f'(0) = 1$, $f'''(0) = -2$, $f^{(5)}(0) = 24$ e le pari nulle ($\arctan$ è dispari), cioè coefficienti $1, -\frac{2}{3!} = -\frac13, \frac{24}{5!} = \frac15$.

Come si combinano gli sviluppi

Algebra degli o piccoli (per $x \to 0$)

Sono le regole che si usano a ogni riga; ognuna si verifica con la definizione ($g = o(x^n)$ se $g/x^n \to 0$).

L'ultima-ma-una è quella che fa "buttare via" le potenze troppo alte: quando si lavora con $o(x^5)$, ogni $x^6, x^7, \dots$ si assorbe nell'$o(x^5)$. Attenzione: la "$=$" con gli o piccoli si legge solo da sinistra a destra ($o(x^3) = o(x^2)$ è vero, $o(x^2) = o(x^3)$ è falso).

Somma e prodotto

• Somma: si sommano i polinomi e si tiene l'o piccolo di grado più basso tra quelli che compaiono.
• Prodotto: si moltiplicano i polinomi termine per termine (anche gli o piccoli, con le regole della tabella), si buttano le potenze oltre l'ordine che si vuole, e l'errore finale è l'o piccolo di grado più basso che si è generato. Esempio: $$\left(x + \tfrac{x^2}{2} + o(x^2)\right)\left(1 - x + o(x)\right) = x - x^2 + \underbrace{x \cdot o(x)}_{o(x^2)} + \tfrac{x^2}{2} \underbrace{- \tfrac{x^3}{2} + \tfrac{x^2}{2}\,o(x)}_{o(x^2)} + \underbrace{o(x^2)(1 - x + o(x))}_{o(x^2)} = x - \tfrac{x^2}{2} + o(x^2)$$ Il risultato è valido fino all'ordine 2 e non oltre: il fattore $x \cdot o(x)$ è solo $o(x^2)$.

Funzioni composte: $f(g(x))$ con $g(x) \to 0$

È il caso più frequente: $\log(\cos x)$, $e^{\sin x}$, $(1+2x)^{\sinh x}$… Il metodo:

1. Scrivere la funzione esterna nella forma di una della tabella con un argomento $y \to 0$. Per esempio $\log(\cos x) = \log\big(1 + (\cos x - 1)\big)$ con $y = \cos x - 1 \to 0$; e $a(x)^{b(x)} = e^{b(x)\log a(x)}$ con $y = b(x) \log a(x)$.
2. Sviluppare $y$ in $x$ fino all'ordine $n$ richiesto.
3. Capire quante potenze di $y$ servono. Se $y \sim c\,x^p$, allora $y^k \sim c^k x^{kp}$: servono solo i $k$ con $kp \le n$, le altre potenze di $y$ finiscono nell'$o(x^n)$. Però anche l'errore della funzione esterna, $o(y^K)$, deve essere $o(x^n)$: bisogna sviluppare la funzione esterna fino al più piccolo $K$ con $Kp \ge n$ (così $o(y^K) = o(x^{Kp})$, che è $o(x^n)$). I termini $y^k$ con $kp > n$ che compaiono si buttano. Esempio: in $\log(\cos x)$ all'ordine $n = 5$ si ha $y = \cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$, $p = 2$: serve $K = 3$ (perché $2K \ge 5$), cioè $\log(1+y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} + o(y^3)$, e poi $y^3 \sim -\frac{x^6}{8}$ si butta.
4. Sostituire, sviluppare le potenze, buttare ciò che supera il grado $n$.

Esempio completo: Esercizio 102 · sviluppo di Mac-Laurin di log(cos x).

L'errore più frequente è usare solo il primo termine della funzione esterna: da $\log(1+y) \sim y$ concludere $\log(\cos x) = \cos x - 1 + o(x^5)$. È falso: $\log(1+y) = y + o(y)$, e $o(y) = o(x^2)$, quindi tutto ciò che si è scritto oltre $x^2$ è privo di valore. Il termine $-\frac{y^2}{2}$ contribuisce a $x^4$ e cambia il coefficiente.

Sviluppi per $x \to +\infty$

Le formule della tabella valgono quando l'argomento tende a $0$. Per $x \to +\infty$ si fa comparire un argomento che va a $0$, di solito $\frac1x$ o una sua potenza. Esempio tipico con le radici: si raccoglie la potenza dominante sotto radice, la si porta fuori e si usa $(1+y)^\alpha$ con $y \to 0$:

$$\sqrt[3]{x + 4} = \sqrt[3]{x\left(1 + \tfrac4x\right)} = x^{1/3}\left(1 + \tfrac4x\right)^{1/3} = x^{1/3}\left(1 + \frac13 \cdot \frac4x + o\!\left(\tfrac1x\right)\right) \qquad (x \to +\infty)$$

Qui l'o piccolo è rispetto a $\frac1x$ per $x \to +\infty$. Esercizio: Esercizio 105 · limite con radici al variare di α.

Quanti termini tenere in un limite

In un limite con una frazione si sviluppano numeratore e denominatore finché non compare il primo termine che non si cancella in entrambi. Esempio:

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}: \quad e^x - 1 - x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) - 1 - x = \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$

quindi il limite è $\frac12$. Se si fosse sviluppato solo fino a $e^x = 1 + x + o(x)$ si sarebbe ottenuto $\frac{o(x)}{x^2}$, che non dice niente: segno che bisognava andare più avanti.

Errori comuni

• Sviluppare la funzione esterna troppo poco (vedi sopra, $\log(\cos x)$).
• Usare la tabella con argomento che non tende a $0$: $\arctan\left(\frac{1}{x^\alpha}\right) = \frac{1}{x^\alpha} - \dots$ per $x \to +\infty$ vale solo se $\frac1{x^\alpha} \to 0$, cioè $\alpha > 0$ (Esercizio 106 · ordine di infinito al variare di α).
• Sommare o piccoli di gradi diversi tenendo quello alto: $o(x^2) + o(x^4) = o(x^2)$, non $o(x^4)$.
• Dimenticare il segno alternato in $\log(1+x)$, $\sin x$, $\cos x$, $\arctan x$, o metterlo in $\sinh$, $\cosh$.