Funzioni trigonometriche e loro inverse

Lezione 11. Prerequisiti: Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T; f(cx) ha periodo T/c, e somme o prodotti di periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale.Funzioni periodiche →, Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →, Funzioni iniettive, suriettive e inverseIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →. Esercizi svolti: Esercizio 28 · studio di arcsin(sin x), Esercizio 27 · dominio e segno con l'arcocoseno.

La circonferenza goniometrica e i radianti

La prof dà la definizione "intuitiva". Si considera la circonferenza goniometrica (o trigonometrica): centro nell'origine $O = (0, 0)$, raggio $r = 1$. Si parte dal punto $(1, 0)$ e si gira in senso antiorario di un angolo $\vartheta$, arrivando a un punto $P = (X, Y)$ della circonferenza.

Radianti. L'angolo non si misura in gradi ma in radianti: la misura in radianti $x$ è la lunghezza dell'arco di circonferenza (di raggio $1$) percorso da $(1, 0)$ a $P$. Il giro completo è lungo $2\pi$ (circonferenza di raggio $1$), quindi $360° = 2\pi$. Formula di conversione:

Formula (da gradi a radianti). $$x : \vartheta° = \pi : 180° \qquad \Longleftrightarrow \qquad x = \frac{\pi}{180°}\, \vartheta°$$

Esempio. $\vartheta° = 60°$ dà $x = \frac{\pi}{180°} \cdot 60° = \frac{\pi}{3}$; viceversa $x = \frac{3}{4}\pi$ corrisponde a $135°$.

Per $x \in [0, 2\pi)$ c'è una corrispondenza biunivoca tra l'angolo $x$ e il punto $P = (X, Y)$ della circonferenza.

Seno e coseno

Definizione (seno e coseno). $$\cos x = X \ (\text{ascissa di } P) \qquad \sin x = Y \ (\text{ordinata di } P) \qquad x \in [0, 2\pi)$$

Esempio. Per $x = \frac{\pi}{6}$ il punto è $P = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, quindi $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ e $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Muovendo $P$ lungo la circonferenza si ottengono i grafici su $[0, 2\pi)$; poi si estendono a tutto $\mathbb{R}$ per periodicità con periodo $T = 2\pi$ (fare un giro in più riporta nello stesso punto). Si ottengono $y = \sin x$ e $y = \cos x$ definite per ogni $x \in \mathbb{R}$.

Proprietà principali

Proprietà (principali di seno e coseno).

• Limitate: $-1 \le \sin x \le 1$ e $-1 \le \cos x \le 1$ (coordinate di un punto di una circonferenza di raggio $1$).
• $2\pi$-periodiche: $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$, $\sin(x + 2k\pi) = \sin x$ per ogni $x \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Identità trigonometrica fondamentale: $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \qquad \forall x \in \mathbb{R}$$ (è il teorema di Pitagora: $P = (\cos x, \sin x)$ sta sulla circonferenza $X^2 + Y^2 = 1$).
• Simmetrie: $\cos(-x) = \cos x$ (pari), $\sin(-x) = -\sin x$ (dispari). Sulla circonferenza: l'angolo $-x$ si ottiene riflettendo $P$ rispetto all'asse $X$, che lascia uguale l'ascissa e cambia segno all'ordinata.
• Spostamenti di $\pi$: $\cos(x \pm \pi) = -\cos x$, $\sin(x \pm \pi) = -\sin x$ (mezzo giro porta $P$ nel punto opposto).
• Spostamenti di $\frac{\pi}{2}$: $\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x$, $\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x$.

Esempio. $\sin\frac{7\pi}{6} = \sin\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right) = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.

Le altre formule (addizione e sottrazione, duplicazione, bisezione…) sono nel formulario.

Valori da sapere:

Tangente

Definizione (tangente). $$\tan x = \mathrm{tg}\, x = \frac{\sin x}{\cos x} \qquad x \in \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, \ k \in \mathbb{Z}\right\}$$

Esempio. $\tan\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = 1$ e $\tan\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(si tolgono i punti dove $\cos x = 0$).

• Dispari: $\tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$.
• $\pi$-periodica: $\tan(x + \pi) = \frac{\sin(x + \pi)}{\cos(x + \pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x$. (Il periodo è $\pi$, non $2\pi$.)
• Quindi per disegnarla basta studiarla su $\mathrm{dom} \cap \left[0, \frac{\pi}{2}\right] = \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$: lì cresce da $0$ e sale senza limite avvicinandosi a $x = \frac{\pi}{2}$. Poi simmetria (dispari) e periodicità.

Significato geometrico (per $x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right)$). Sulla retta verticale $X = 1$ (tangente alla circonferenza in $(1, 0)$) il prolungamento del raggio $OP$ taglia un segmento di altezza $T$. Per la similitudine dei triangoli, $T : 1 = \sin x : \cos x$, cioè $T = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Le funzioni trigonometriche inverse

Nessuna funzione periodica è iniettiva (vedi Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T; f(cx) ha periodo T/c, e somme o prodotti di periodiche sono periodici solo se il rapporto dei periodi è razionale.Funzioni periodiche →), quindi seno, coseno e tangente non sono invertibili sul loro dominio. Si invertono le loro restrizioni a intervalli scelti per convenzione, dove sono strettamente monotone.

Definizione (arcoseno). 1. Arcoseno. $\sin : \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \to [-1, 1]$ è strettamente crescente e suriettiva. La sua inversa è

$$\arcsin : [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$

strettamente crescente e dispari. $\arcsin y$ è "l'angolo tra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$ il cui seno è $y$". Esempi: $\arcsin 0 = 0$, $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$, $\arcsin \frac12 = \frac{\pi}{6}$.

Esempio. $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$, perché $\frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ e $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Definizione (arcocoseno). 2. Arcocoseno. $\cos : [0, \pi] \to [-1, 1]$ è strettamente decrescente e suriettiva. L'inversa è

$$\arccos : [-1, 1] \to [0, \pi]$$

strettamente decrescente. Esempi: $\arccos(-1) = \pi$, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$, $\arccos 1 = 0$.

Esempio. $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, perché $\frac{\pi}{3} \in [0, \pi]$ e $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

Definizione (arcotangente). 3. Arcotangente. $\tan : \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \to \mathbb{R}$ è strettamente crescente, dispari e suriettiva. L'inversa è

$$\arctan : \mathbb{R} \to \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

strettamente crescente e dispari, con il grafico chiuso tra le rette $y = -\frac{\pi}{2}$ e $y = \frac{\pi}{2}$. Esempi: $\arctan 0 = 0$, $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$.

Esempio. $\arctan\sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$, perché $\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ e $\frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.

Attenzione: non sono le inverse "vere" di $\sin$, $\cos$, $\tan$

Sono le inverse delle restrizioni. Dalla caratterizzazione dell'inversa:

• $\sin(\arcsin x) = x$ per ogni $x \in [-1, 1]$ ✓;
• $\arcsin(\sin x) = x$ solo per $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, non per ogni $x \in \mathbb{R}$!

Per esempio $\arcsin(\sin \pi) = \arcsin 0 = 0 \ne \pi$. Lo studio completo di $\arcsin(\sin x)$ è nell'Esercizio 28 · studio di arcsin(sin x).

Disequazioni lineari in seno e coseno

Lezione 17. Sono le disequazioni del tipo

$$a\sin t + b\cos t \ge c \qquad (a, b, c \in \mathbb{R},\ a, b \text{ non entrambi nulli})$$

Esempio guida (dall'Esercizio 49 · dominio con settcosh e una disequazione trigonometrica lineare): $\sin t - \sqrt3\cos t \ge 1$.

Metodo 1: geometrico, con la circonferenza

Si pone $X = \cos t$, $Y = \sin t$: il punto $(X, Y)$ sta sulla circonferenza goniometrica $X^2 + Y^2 = 1$, e la disequazione diventa lineare in $X$ e $Y$: nell'esempio $Y - \sqrt3 X \ge 1$, cioè $Y \ge \sqrt3 X + 1$ (il semipiano sopra la retta $Y = \sqrt3 X + 1$).

1. Si trovano i punti in cui la retta taglia la circonferenza, risolvendo il sistema $$\begin{cases} X^2 + Y^2 = 1 \\ Y = \sqrt3 X + 1 \end{cases} \ \Rightarrow \ X^2 + 3X^2 + 2\sqrt3 X + 1 = 1 \ \Rightarrow \ 2X(2X + \sqrt3) = 0$$ cioè $(X, Y) = (0, 1)$ e $(X, Y) = \left(-\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12\right)$.
2. Si leggono gli angoli corrispondenti: $(0, 1)$ è $t_1 = \frac{\pi}{2}$; $\left(-\frac{\sqrt3}{2}, -\frac12\right)$ sta nel terzo quadrante ed è $t_2 = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac76\pi$ (l'angolo con seno $\frac12$ nel primo quadrante è $\frac{\pi}{6}$, e il punto opposto si ottiene aggiungendo $\pi$).
3. Si prende l'arco di circonferenza che sta sopra la retta: va da $\frac{\pi}{2}$ a $\frac76\pi$ in senso antiorario. Aggiungendo i giri: $$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le t \le \frac76\pi + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}$$

Metodo 2: algebrico, con la formula di addizione

1. Si divide per $\sqrt{a^2 + b^2} > 0$ (il verso non cambia): $$\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin t + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos t \ge \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
2. Il punto $\left(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)$ ha distanza $1$ dall'origine (la somma dei quadrati delle coordinate è $\frac{a^2 + b^2}{a^2 + b^2} = 1$): sta sulla circonferenza goniometrica. Quindi esiste un unico angolo $\alpha \in [0, 2\pi)$ con $$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \qquad \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
3. Per la formula di addizione $\sin(t + \alpha) = \sin t\cos\alpha + \cos t\sin\alpha$, il primo membro è proprio $\sin(t + \alpha)$: $$\sin(t + \alpha) \ge \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ che è una disequazione elementare del tipo $\sin s \ge A$.

Nell'esempio: $a = 1$, $b = -\sqrt3$, $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$. Si cerca $\alpha$ con $\cos\alpha = \frac12 > 0$ e $\sin\alpha = -\frac{\sqrt3}{2} < 0$: quarto quadrante, $\alpha = -\frac{\pi}{3}$. La disequazione diventa $$\sin\left(t - \frac{\pi}{3}\right) \ge \frac12$$ Con $s = t - \frac{\pi}{3}$: $\sin s \ge \frac12 \iff \frac{\pi}{6} + 2k\pi \le s \le \frac56\pi + 2k\pi$ (l'arco della circonferenza sopra la retta $Y = \frac12$). Tornando a $t = s + \frac{\pi}{3}$: $$\frac{\pi}{2} + 2k\pi \le t \le \frac76\pi + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}$$ la stessa soluzione del metodo 1.

Errori comuni

• Usare i gradi nelle formule: in Analisi gli angoli sono sempre in radianti.
• Scrivere $\arcsin(\sin x) = x$ per ogni $x$.
• Dimenticare il dominio di $\arcsin$ e $\arccos$: l'argomento deve stare in $[-1, 1]$.
• Dimenticare che $\arccos$ è decrescente (nelle disequazioni il verso si inverte).