Prodotto vettoriale e prodotto misto

Lezione 41, seconda parte (videolezione n. 41). Prerequisiti: Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →, Permutazioni e definizione di determinanteIl determinante di una matrice quadrata è la somma, su tutte le n! permutazioni, dei prodotti di n elementi presi uno per riga e uno per colonna, con segno + o − secondo la parità della permutazione; per 2×2 è ad − bc, per 3×3 c'è la regola di Sarrus, per le triangolari è il prodotto della diagonale.Permutazioni e definizione di determinante →. Usi: Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →, Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →. Esercizi: Esercizio 100 · un rettangolo nello spazio e il suo piano (appello 15/6/2021), Esercizio 103 · rette parallele, area di un triangolo e punto simmetrico (appello 7/2/2023).

Il prodotto vettoriale esiste solo in $\mathbb{R}^3$ (è una particolarità della dimensione $3$). In fisica è lo stesso prodotto con cui si definiscono il momento di una forza e il momento angolare (Prodotto scalare e prodotto vettorialeIl prodotto scalare a·b = ab cosθ è un numero, massimo per vettori paralleli e nullo per vettori perpendicolari; serve per proiezioni e lavoro. Il prodotto vettoriale a×b è un vettore perpendicolare ad entrambi, di modulo ab sinθ, verso con la mano destra; serve per momenti e rotazioni.Prodotto scalare e prodotto vettoriale → e Momento angolare e momento di una forzaMomento di una forza M = r × F e momento angolare L = r × m v rispetto a un polo. Teorema del momento angolare: dL/dt = M (polo fisso o CM); per un sistema contano solo i momenti esterni. Con forze centrali o momento esterno nullo L si conserva.Momento angolare e momento di una forza →, Fisica Generale 1).

Definizione

Il problema. Dati due vettori $v, w \in \mathbb{R}^3$ linearmente indipendenti, lo spazio dei vettori ortogonali a entrambi è il complemento ortogonaleL'ortogonale U⊥ di un sottospazio è un sottospazio di dimensione n − dim U, e R^n = U ⊕ U⊥; ogni vettore si scompone in proiezione su U più componente ortogonale; la proiezione è il punto di U più vicino e si calcola con un sistema o con la matrice di proiezione A(AᵀA)⁻¹Aᵀ.Complemento ortogonale e proiezioni ortogonali → $\langle v, w \rangle^\perp$, che ha dimensione $3 - 2 = 1$ (perché $\dim U + \dim U^\perp = 3$): una retta per l'origine. Si vuole scegliere su questa retta un vettore preciso: servono una lunghezza e uno dei due versi.

Definizione. Se $v, w$ sono indipendenti, il prodotto vettoriale $v \times w$ è l'unico vettore tale che

1. $v \times w$ è ortogonale sia a $v$ sia a $w$ (direzione);
2. $\|v \times w\|$ è l'area del parallelogramma di lati $v$ e $w$, cioè $\|v\|\,\|w\| \sin\theta$ con $\theta$ l'angolo tra $v$ e $w$ (lunghezza);
3. la matrice con colonne $v$, $w$, $v \times w$ ha determinante positivo, cioè $\{v, w, v \times w\}$ è orientata come $\{e_1, e_2, e_3\}$ (verso: regola della mano destra).

Se $v, w$ sono dipendenti si pone $v \times w = \vec 0$ (il parallelogramma è schiacciato e ha area $0$).

Esempio. $e_1 \times e_2 = e_3$: $e_3$ è ortogonale a $e_1$ e $e_2$, ha norma $1$ (l'area del quadrato unitario) e la matrice con colonne $e_1, e_2, e_3$ è $I_3$, con determinante $1 > 0$. Con la formula qui sotto: $(1,2,3) \times (0,1,0) = (2\cdot 0 - 3\cdot 1,\ 3\cdot 0 - 1\cdot 0,\ 1\cdot 1 - 2\cdot 0) = (-3, 0, 1)$.

Qui $\|v\| = \sqrt{10}$ e il piede dell'altezza è la proiezioneIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli → di $w$ sulla retta di $v$, $\frac{w \cdot v}{v \cdot v}\, v = \frac{5}{10}(3, 1) = \left(\frac32, \frac12\right)$; quindi $h = \|(1, 2) - (\frac32, \frac12)\| = \|(-\frac12, \frac32)\| = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ e l'area è base per altezza, $\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{10}}{2} = 5$ ✓. Con la formula: $v \times w = (1 \cdot 0 - 0 \cdot 2, \ 0 \cdot 1 - 3 \cdot 0, \ 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (0, 0, 5)$.

La formula in componenti

$$v \times w = \det\begin{pmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix} = (v_2 w_3 - v_3 w_2, \ \ v_3 w_1 - v_1 w_3, \ \ v_1 w_2 - v_2 w_1).$$

Il "determinante" ha nella prima riga dei vettori invece che numeri: è un modo mnemonico per lo sviluppo di LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → lungo la prima riga, $e_1 \det\begin{pmatrix} v_2 & v_3 \\ w_2 & w_3 \end{pmatrix} - e_2 \det\begin{pmatrix} v_1 & v_3 \\ w_1 & w_3 \end{pmatrix} + e_3 \det\begin{pmatrix} v_1 & v_2 \\ w_1 & w_2 \end{pmatrix}$ (i segni $+, -, +$ sono quelli di $(-1)^{1 + j}$). Attenzione al segno $-$ della seconda componente: $-(v_1 w_3 - v_3 w_1) = v_3 w_1 - v_1 w_3$.

Perché la formula soddisfa la definizione.

• Ortogonalità: per un vettore qualsiasi $u$, $u \cdot (v \times w) = u_1 (v_2 w_3 - v_3 w_2) + u_2 (v_3 w_1 - v_1 w_3) + u_3 (v_1 w_2 - v_2 w_1)$, che è lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga del determinante con righe $u, v, w$ (si sostituiscono $e_1, e_2, e_3$ con $u_1, u_2, u_3$). Per $u = v$ o $u = w$ il determinante ha due righe uguali ed è $0$ (proprietà del determinante): quindi $v \cdot (v \times w) = 0$ e $w \cdot (v \times w) = 0$.
• Verso: il determinante con righe $v \times w, v, w$ vale $(v \times w) \cdot (v \times w) = \|v \times w\|^2 > 0$ (stessa osservazione con $u = v \times w$). La matrice con colonne $v, w, v \times w$ è la trasposta di quella con righe $v, w, v \times w$, che si ottiene dalla precedente con due scambi di righe; trasporre non cambia il determinante e due scambi lo lasciano invariato, quindi anche quel determinante è positivo.
• Lunghezza: vale l'identità di Lagrange $\|v \times w\|^2 = \|v\|^2\|w\|^2 - (v \cdot w)^2$, e il secondo membro è $\|v\|^2\|w\|^2(1 - \cos^2\theta) = (\|v\|\,\|w\| \sin\theta)^2$, usando $v \cdot w = \|v\|\,\|w\| \cos\theta$ (Prodotto scalare, norma e angoliIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli →) e $1 - \cos^2\theta = \sin^2\theta$ (Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente; come risolvere a sin t + b cos t ≥ c.Funzioni trigonometriche e loro inverse →). Siccome $0 \le \theta \le \pi$, $\sin\theta \ge 0$ e si può togliere il quadrato.

Verifica dell'identità di Lagrange. A sinistra c'è $(v_2 w_3 - v_3 w_2)^2 + (v_3 w_1 - v_1 w_3)^2 + (v_1 w_2 - v_2 w_1)^2$: una somma sulle tre coppie di indici $i < j$ dei termini $(v_i w_j - v_j w_i)^2$. A destra, moltiplicando $(v_1^2 + v_2^2 + v_3^2)(w_1^2 + w_2^2 + w_3^2)$ si ottengono i nove termini $v_i^2 w_j^2$, e sviluppando $(v_1 w_1 + v_2 w_2 + v_3 w_3)^2$ si ottengono i tre $v_i^2 w_i^2$ più i doppi prodotti $2 v_i w_i v_j w_j$ con $i < j$. Nella differenza i termini con $i = j$ si cancellano e resta, per ogni coppia $i < j$, $$v_i^2 w_j^2 + v_j^2 w_i^2 - 2 v_i w_j\, v_j w_i = (v_i w_j - v_j w_i)^2,$$ cioè proprio i tre quadrati di sinistra.

Esempio. $v = (1, 2, 3)$, $w = (4, 5, 6)$:

$$v \times w = (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, \ \ 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, \ \ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = (-3, 6, -3).$$

Controlli: $v \cdot (v \times w) = -3 + 12 - 9 = 0$ ✓; $w \cdot (v \times w) = -12 + 30 - 18 = 0$ ✓; Lagrange: $\|v \times w\|^2 = 9 + 36 + 9 = 54$ e $\|v\|^2\|w\|^2 - (v \cdot w)^2 = 14 \cdot 77 - 32^2 = 1078 - 1024 = 54$ ✓.

Sui vettori della base: $e_1 \times e_2 = e_3$, $e_2 \times e_3 = e_1$, $e_3 \times e_1 = e_2$ (permutazioni cicliche), e scambiando l'ordine cambia il segno: $e_2 \times e_1 = -e_3$.

Proprietà

L'anticommutatività viene dal determinante simbolico: $w \times v$ ha le righe di $v$ e $w$ scambiate, e scambiare due righeIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace → cambia segno. La bilinearità viene dal fatto che il determinante è lineare in ciascuna riga (oppure si controlla direttamente sulle componenti, che sono somme di prodotti $v_i w_j$). Il criterio "nullo sui dipendenti" viene dalla definizione: per vettori indipendenti $\|v \times w\| = \|v\|\,\|w\|\sin\theta > 0$ perché $\theta \ne 0, \pi$. È un modo veloce per controllare se due vettori di $\mathbb{R}^3$ sono proporzionali: per esempio $(1, 2, 3) \times (2, 4, 6) = (12 - 12, \ 6 - 6, \ 4 - 4) = \vec 0$.

Per la non associatività: $e_1 \times e_1 = \vec 0$ (vettore dipendente da sé stesso), e $e_1 \times e_3 = -(e_3 \times e_1) = -e_2$ per l'anticommutatività.

Il prodotto misto

Definizione. Il prodotto misto di $u, v, w \in \mathbb{R}^3$ è il numero $$u \cdot (v \times w) = \det\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{pmatrix}.$$

Esempio. $u = (1,0,0)$, $v = (0,2,0)$, $w = (0,0,3)$: $v \times w = (2 \cdot 3 - 0 \cdot 0, \ 0 \cdot 0 - 0 \cdot 3, \ 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0) = (6, 0, 0)$ e $u \cdot (v \times w) = 6 = \det\operatorname{diag}(1,2,3)$ (il determinante di una matrice diagonale è il prodotto della diagonale), il volume del parallelepipedo, che qui è una scatola di lati $1, 2, 3$.

(Lo si è già visto nella dimostrazione dell'ortogonalità: è lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga.)

Significato geometrico. $|u \cdot (v \times w)|$ è il volume del parallelepipedo di spigoli $u, v, w$: la base è il parallelogramma di $v, w$ (area $\|v \times w\|$) e l'altezza è la lunghezza della proiezioneIl prodotto scalare aggiunge a uno spazio vettoriale lunghezze e angoli: norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, angolo tra vettori in R^n, ortogonalità, proiezione su una retta, aree e volumi con il determinante della matrice dei prodotti scalari.Prodotto scalare, norma e angoli → di $u$ sulla direzione perpendicolare alla base, cioè su $v \times w$: $h = \frac{|u \cdot (v \times w)|}{\|v \times w\|}$. Volume = base per altezza $= \|v \times w\| \cdot \frac{|u \cdot (v \times w)|}{\|v \times w\|} = |u \cdot (v \times w)|$. Il segno dice l'orientazione (positivo se $u, v, w$ sono orientati come $e_1, e_2, e_3$). Lo stesso volume si era ottenuto con il determinante di Gram nella nota sul prodotto scalare.

Conseguenze.

• $u, v, w$ sono complanari (linearmente dipendenti) se e solo se il prodotto misto è $0$: è il criterio "il determinante è zero se e solo se le righe sono dipendenti", cioè $\operatorname{rango} < 3$ (Proprietà del determinante, Binet e LaplaceIl determinante è lineare in ogni riga, cambia segno scambiando due righe, non cambia sommando a una riga un multiplo di un'altra: così si calcola con Gauss riducendo a triangolare. Binet: det(AB) = det A · det B. Laplace: sviluppo lungo una riga o colonna con i complementi algebrici.Proprietà del determinante, Binet e Laplace →).
• Quattro punti $A, B, C, D$ stanno su uno stesso piano se e solo se $\det(B - A, C - A, D - A) = 0$ (i tre vettori che partono da $A$ devono stare nello spazio direttore di un piano, di dimensione $2$).
• Il volume del tetraedro $ABCD$ è $\frac16 |\det(B - A, C - A, D - A)|$ (un sesto del parallelepipedo).

Esempio. $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 2, 0)$, $C = (0, 0, 3)$ e $D = (1, 1, 1)$. Con $B - A = (-1, 2, 0)$, $C - A = (-1, 0, 3)$, $D - A = (0, 1, 1)$, sviluppando lungo la prima colonna, $$\det\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = -1 \cdot (0 \cdot 1 - 3 \cdot 1) - (-1) \cdot (2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + 0 = 3 + 2 = 5 \ne 0 :$$ i quattro punti non sono complanari e il tetraedro $ABCD$ ha volume $\frac56$. Con $D' = (0, 1, \frac32)$ invece $D' - A = (-1, 1, \frac32)$ e il determinante vale $-1 \cdot (0 - 3) + 1 \cdot (3 - 0) - 1 \cdot (6 - 0) = 3 + 3 - 6 = 0$ (sviluppo lungo la prima colonna della matrice con righe $B - A$, $C - A$, $D' - A$): $D'$ sta sul piano $6x + 3y + 2z = 6$ di $A, B, C$ (infatti $0 + 3 + 3 = 6$).

Applicazioni in geometria affine

1. Normale a un piano per tre punti. $n = (B - A) \times (C - A)$, poi si impone il passaggio per $A$. Esempio: $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 2, 0)$, $C = (0, 0, 3)$: $(-1, 2, 0) \times (-1, 0, 3) = (6 - 0, \ 0 + 3, \ 0 + 2) = (6, 3, 2)$, e il piano è $6x + 3y + 2z = 6$.

2. Direzione della retta intersezione di due piani. È ortogonale a entrambe le normali: $v = n_1 \times n_2$. Esempio: $x + y - z = 1$ e $x - y = 3$: $(1, 1, -1) \times (1, -1, 0) = (0 - 1, \ -1 - 0, \ -1 - 1) = (-1, -1, -2)$, proporzionale a $(1, 1, 2)$, come trovato risolvendo il sistema in Spazi affini, rette e pianiNello spazio affine Aⁿ si distinguono punti e vettori (Q − P è il vettore da P a Q). Un sottospazio affine è L = P + W, un punto più un sottospazio vettoriale (lo spazio direttore): si descrive con equazioni parametriche X = P + t₁w₁ + … oppure cartesiane AX = B. Rette e piani di A³, passaggio tra i due tipi di equazioni, posizione reciproca: incidenti, paralleli, sghembi.Spazi affini, rette e piani →.

3. Area di un triangolo. $\text{Area}(ABC) = \frac12 \|(B - A) \times (C - A)\|$ (metà del parallelogramma). Per il triangolo dell'esempio 1: $\frac12\|(6, 3, 2)\| = \frac12\sqrt{36 + 9 + 4} = \frac72$.

4. Volume. Il tetraedro di vertici $O = (0, 0, 0)$, $A$, $B$, $C$ dell'esempio 1 ha volume $\frac16 |\det(A, B, C)| = \frac16 \cdot |1 \cdot 2 \cdot 3| = 1$ (la matrice è diagonale).

5. Distanza tra rette sghembe. $d(r, s) = \frac{|(Q - P) \cdot (v \times w)|}{\|v \times w\|}$ (vedi Distanze e angoli nello spazio affineLa distanza tra due punti è la norma del vettore che li unisce. La distanza di un punto Q da un sottospazio affine L si misura dal piede della perpendicolare H, l'unico punto di L con Q − H ortogonale allo spazio direttore. Per un iperpiano a·x = b vale la formula |a·Q − b|/‖a‖. Rette sghembe: perpendicolare comune. Angoli tra rette e piani dai vettori direttori e normali.Distanze e angoli nello spazio affine →): volume del parallelepipedo diviso per l'area della base.

6. Piano per un punto parallelo a due direzioni. Normale $u_1 \times u_2$.

Errori comuni

• Sbagliare il segno della seconda componente: è $v_3 w_1 - v_1 w_3$, non $v_1 w_3 - v_3 w_1$.
• Scambiare l'ordine dei fattori quando il verso conta (per le normali di solito non conta: $-n$ va bene quanto $n$).
• Usare il prodotto vettoriale in $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^4$: è definito solo in $\mathbb{R}^3$. In $\mathbb{R}^4$ per trovare un vettore ortogonale si risolve un sistema.
• Applicare la proprietà associativa: $u \times (v \times w) \ne (u \times v) \times w$ in generale.